1江苏省南京市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题（解析版）.docx

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1、 20212022学年度第一学期期末学业质量监测九年级数学注意事项：1.本试卷共6页全卷满分120分考试时间为120分钟考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分在每小题

2、所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 一元二次方程2x214x化成一般形式后，常数项是1，一次项系数是（）A. 2B. 2C. 4D. 4【答案】D【解析】【分析】首先化为一般形式，然后确定一次项系数即可【详解】解：一元二次方程2x2-14x化成一般形式为2x2-4x -10，故一次项系数为-4，故选D【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程ax2+bx+c=0的二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c2. 已知是线段的黄金分割点，且，则长约为（ ）A. 0.618B. 6.18C. 3.82D. 0.382【答案】B

3、【解析】【分析】根据黄金分割的定义=即可解题.【详解】是线段的黄金分割点，且，=即APAB=6.18故选B【点睛】本题考查了黄金分割的定义,属于简单题,熟悉定义概念是解题关键.3. 在一个不透明的袋中装有5个球，其中2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据简单事件的概率计算公式即可得【详解】解：由题意得：从不透明的袋中随机摸出1个球共有5种等可能性的结果，其中，摸出红球的结果有2种，则从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是，故选：C【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式是解题关键4. 将二次

4、函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ）A. y=x21B. y=x2+1C. y=（x1）2D. y=（x+1）2【答案】A【解析】【分析】据平移变化的规律，左右平移只改变横坐标，左减右加上下平移只改变纵坐标，下减上加【详解】解：根据题意得：将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，平移以后的二次函数的解析式为：y=x21故选A5. 如图，若的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系：当圆心到直线的距离等于半径时，则直线与圆相切，当圆心到直线的距离大于半径时，则直线与圆

5、相离，当圆心到直线的距离小于半径时，则直线与圆相交；由此问题可求解【详解】解：的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，这条直线与圆相交，由图可知只有直线与圆相交，故选B【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键6. 如图，身高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的影子继续向前走8m到达点N，影子为FN若测得EF10m，则路灯AH的高度为（ ）A. 6mB. 7mC. 8mD. 9m【答案】A【解析】【分析】设DE=x m，DH=y m，则FN=（10-x-8）m，HN=（8-y）m，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论【详解】解CDE

6、F，AHEF，MNEF，设DE=xm，DH=ym，则FN=（10-x-8）m，HN=（8-y）m，y=4x，AH=6，故路灯AH的高度为6m故选：A【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判断和性质列出关系式是解题的关键二填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分请把答案填写在答题卡相应位置）7. 若，则的值为_【答案】【解析】【分析】由，设，然后再代入求解即可【详解】解：，设，故答案为：【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键8. 一组数据7，2，1，6的极差为_【答案】9【解析】【分析】根据极差的定义：一组数据中，最大值与最小值的差即为极差，进行解答

7、即可【详解】解：一组数据，的极差为故答案为：9【点睛】本题考查了极差的定义解题的关键在于熟练掌握极差的定义9. 若、是方程x22022x20210的两个实数根，则的值为_【答案】2022【解析】【分析】根据根与系数的关系可得出，此题得解【详解】解：、是方程x22022x20210的两个实数根，则 故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于是解题的关键10. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_【答案】120【解析】【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：22=4（cm），设圆心角的度数是n度则=4，解得：n=120故答案为12011.

8、若方程x240844410的两根为2021，则方程x22x40844400的两根为_【答案】x12022，x22020【解析】【分析】利用配方法求解即可【详解】解：x22x40844400，x22x4084440，x22x+14084441，即（x1）24084441，方程x240844410的两根为2021，x12021，x12022，x22020故答案为：x12022，x22020【点睛】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等12. 如图，在边长为2的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在

9、该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是_.【答案】【解析】【分析】求解得图形中空白的面积： ，正方形的面积为 ，得出阴影部分的面积为； ，运用几何概率公式求解即可【详解】这只青蛙跳入阴影部分的概率等于阴影部分面积与总面积的比是：【点睛】本题考查了几何概型，掌握概率公式是解题的关键.13. 如图，AB是O的直径，C是O上的一点若ACO25，则B_ 【答案】65【解析】【分析】根据直径所对圆周角是直角，可得，进而根据已知条件即可求得，根据半径相等，等边对等角即可求得【详解】解： AB是O的直径，ACO25，故答案为：【点睛】本题考查了直径所对圆周角是直角，掌握直径所对圆周角是直角是解题关

10、键14. 如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为_【答案】【解析】【分析】根据题意可得AB3，ACBD，所以AECBED，进而可以解决问题【详解】解：根据题意可知：AB3，ACBD，AC2，BD3，AECBED，解得AE故答案为：【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键15. 如图，在O中，半径OC与弦AB垂直于点D，M为AD的中点，N为上的点，且MNCD若CD5，MN4，则O的半径为_【答案】#10.5【解析】【分析】连接AO，ON，延长NM交O于F，过O作OENF于E，如图

11、，设O的半径为r，AD=t，先证明四边形MEOD是矩形得到OE=DM=t，OD=ME=r-5，再利用勾股定理得，然后解方程组即可【详解】解：连接AO，ON，延长NM交O于F，过O作OENF于E，如图，设O的半径为r，AD=t，CDAB，MNCD，ODM=DME=MEO=90，四边形MEOD是矩形，OE=DM=t，OD=ME=r-5，在RtAOD中，在RtNOE中，4-得2r-21=0，解得r=，即O的半径为故答案为：【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键16. 如图，在中，P是斜边边上一点，且，分

12、别过点A、B作、平行于，若，则与之间的最大距离为_【答案】9【解析】【分析】本题分为A点在P点左侧与P点在A点右侧两种情况考虑，当点A在P点右侧时，过点A作于点G，延长交于点F，证明，过点C作于点D交与点E，证明，可得，由， ，整理得，当对称轴时，AF取最大值，因为，所以时不符合题意舍去，所以时，取得最大值为8，所以，；当点A在点P左侧时，利用相似三角形的性质同样可以求出其最大值为9，综合以上情况即可解决问题【详解】解：当点A在点P右侧时，如图，过点A作于点G，延长交于点F，设，（），过点C作于点D，交于点E，由题意得，四边形为矩形，同理，四边形ADCF也为矩形，CD=AF，AD=CF，在中，

13、根据勾股定理，得，因为二次函数开口向下，当对称轴时，取最大值，时不符合题意舍去，时，取得最大值为8，与之间的最大距离为；当点A在点P左侧时，延长交于点D，过C点作，垂足为G，取中点E，连接，设A点到的距离为h，与之间的距离为，与之间的距离最大值为9，综上可得：与之间的距离为9故答案为：9解法二：以圆心，长为半径作定圆，记为：；取的中点，以为圆心，以的长为半径，作动圆，记为：；与交于点，连接；作交于点 ，连接，交于点；AB为的直径， 故：为 所在直线，的长度为、 之间的距离；当时；如图： ，即： ； ， ， 增大时，的直径增大，点向上运动，逐渐增大；在直角中，；当时，取到最大值；点与点重合（因为

14、）， ；故时，存在最大值；设此时，则；在中 即： 解得： ，（舍）当时；如图，作，交于点；在和中 ， ， ， 设 ，则， 化简得： 当时，有最大值此时， 故 ， 故： 综上可得：、 之间距离最大值为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，平行线之间的距离，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握相关知识之间的转化与运用是解答的关键三解答题（本大题共11小题，共88分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 解方程：（1）x24x10；（2）100（x1）2121【答案】（1）x12，x22 （2）x1，x2【解析】【分析】（1）运用公式法求解即

15、可；（2）运用直接开平方法求解即可【小问1详解】解： a1，b4，c1，4241（1）200则x 2 即x12，x22【小问2详解】解 （x1）2，x1，即x1，x2【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法18. 甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：甲：8，8，7，8，9乙：5，9，7，10，9（1）填写下表：平均数众数中位数方差甲8 80.4乙 9 3.2 （2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差 （填“变大”、“变小”或“不变”）【答案】（1）填

16、表见解析；（2）理由见解析；（3）变小【解析】【分析】（1）根据众数、平均数和中位数的定义求解：（2）方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.（3）根据方差公式求解：如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小【详解】解：（1）根据数据可得：甲的众数为8，乙的平均数=（5+9+7+10+9）=8，将乙数据重新排序为：5，7，9，9，10乙的中位数为9；故填表如下：平均数众数中位数方差甲8 8 80.4乙 8 9 9 3.2（2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所

17、以选择甲参加射击比赛；（3）如果乙再射击1次，命中8环，平均数不变，则乙的方差为，所以乙的射击成绩的方差变小【点睛】题目主要考查众数、平均数和中位数的求法，利用方差作决策等，理解题意，熟练掌握运用各个数据的求法是解题关键19. 为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指其他垃圾小明、小亮各投放了一袋垃圾（1）小明投放的垃圾恰好是A类的概率为 ；（2）求小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求出小明投放

18、的垃圾恰好是A类的概率；（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案【小问1详解】解：垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋，小明投放了一袋垃圾，小明投放的垃圾恰好是A类的概率为：；故答案为：；【小问2详解】解：如图所示：由图可知，共有16种可能结果，其中小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的结果有4种，所以小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率为【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键20. 如图，已知A是直线l外一点用两种不同的方法作O，使O过A点，且与直线l相切要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必

19、要的文字说明【答案】见解析【解析】【分析】方法一：过点A作l的垂线，垂足为P作AP的垂直平分线，与AP的交点为圆心O以O为圆心，OA（或OP）为半径，作O方法二：取l上任意一点Q，作出AQ的垂直平分线过点Q作l的垂线，与垂直平分线的交点为圆心O以O为圆心，OA（或OQ）为半径，作O【详解】方法一：过点A作l的垂线，垂足为P作AP的垂直平分线，与AP的交点为圆心O以O为圆心，OA（或OP）为半径，作O方法二：取l上任意一点Q，作出AQ的垂直平分线过点Q作l的垂线，与垂直平分线的交点为圆心O以O为圆心，OA（或OQ）为半径，作O【点睛】本题主要考查了利用尺规作图画圆，熟练掌握线段垂直平分线的性质，

20、切线的性质是解题的关键21. 阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（ab）设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则；又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则；（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ）A.两个球体 B.两个锥体 C.两个圆柱体 D.两个长方体（2）请归纳出相似体的三条主要性质：相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于 ；相似体表面积的比等于 ；相似体体积比等于 （3）假定在完全正常发育的条件下，不同

21、时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）【答案】（1）A （2）相似比；相似比的平方；相似比的立方 （3）60.75kg【解析】【分析】（1）根据相似体的定义：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体，进行判断即可；（2）根据题意进行推导即可；（3）设到初三时，该小朋友的体重为x kg，根据相似体体积比等于相似比的立方；则有 ，计算求解即可【小问1详解】解：由题意知形状完全相同的几何体为球体故选A【小问2详解】解：由题意知：相似体的一切对应线段（或

22、弧）长的比等于相似比；故答案为：相似比由题意知：相似体表面积的比等于相似比的平方；故答案为：相似比的平方由题意知：相似体体积比等于相似比的立方；故答案为：相似比的立方【小问3详解】解：由题意，该小朋友的体积比为.又体重之比等于体积比，设到初三时，该小朋友的体重为xkg，则 ，解得，x60.75答：到初三时，该小朋友的体重是60.75kg【点睛】本题考查了相似的应用解题的关键在于对相似知识的掌握与类比22. 如图，以AB为直径的O经过点C，CP为O的切线，E是AB上一点，以C为圆心，CE长为半径作圆交CP于点F，连接AF，且AFAE求证：AB是C的切线【答案】见解析【解析】【分析】连结AC、OC

23、根据全等三角形的性质得到CAF=CAE，AFC=AEC，求得OCAF，根据平行线的性质得到AFC=90，根据切线的判定定理即可得到结论【详解】证明：连结AC、OCAEAF， CECF，ACAC，ACEACFCAFCAE，AFCAECOAOC，OACOCA又CAFCAE，CAFOCA，OCAFCP为O的切线，OCBF，即OCF90AFC90AECAFC90，即CEAB点E在C上，AB是C的切线【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键23. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一动点，过点E作EFAE，交BC于点

24、F，连接AF（1）求证：ABEECF；（2）求AF长度的最小值【答案】（1）见解析 （2）5【解析】【分析】(1)先利用等角的余角相等，证得BAECEF，再结合BC90，即可证得ABEECF(2) 由勾股定理得，在RtADF中，D90，要求AF长度的最小值，即求DF长度的最小值，也就是求CF长度的最大值即可求解【小问1详解】证明： 四边形ABCD是正方形，BC90，BAEBEA90EFAE，AEF90，BEACEF90，BAECEF又BC90，ABEECF【小问2详解】ABEECF，即CF设CEx，则BE4xCF（x2）21，当x2时，CF取最大值1；此时，DF取最小值3当DF3时，AF取最小

25、值，AF长度的最小值为5【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质进行几何计算，也考查了二次函数的性质和正方形的性质24. 如图，已知二次函数yax2bx3的图像经过点A（1，0），B（2，3）（1）求该二次函数的表达式；（2）用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l；（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）（3）结合图像，直接写出当y3时，x的取值范围是 【答案】（1）yx22x3 （2）见解析 （3）2x0【解析】【分析】（1）将A（1，0），B（2，3）代入yax2bx3即可

26、得到二次函数表达式（2）根据二次函数的对称性即可画出抛物线的对称轴（3）根据图象即可直接写出y3时，x的取值范围【小问1详解】将A（1，0），B（2，3）代入二次函数yax2bx3，得解得该二次函数的表达式为yx22x3【小问2详解】如图，直线l为所求对称轴【小问3详解】2x0【点睛】本题主要考查二次函数表达式的求解以及二次函数对称性的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键25. 已知二次函数yx22mxm2（m是常数）的图像是抛物线（1）若抛物线与x轴只有一个公共点，求m的值；（2）求证：抛物线顶点在函数yx2x2的图像上；（3）若点B（2，a），C（5，b）在抛物线上，且ab，则m的取值范围

27、是 【答案】（1）m12，m21 （2）见解析 （3）m【解析】【分析】（1）由抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系求解（2）根据顶点坐标公式表示出顶点坐标，代入解析式进而求解即可（3）由抛物线开口方向向上可得点B到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离，进而求解【小问1详解】解：a1，b2m，cm2，b24ac（2m）241（m2） 4（m2m2）因为抛物线与x轴只有一个公共点，所以b24ac4（m2m2）0，解得m12，m21【小问2详解】解：a1，b2m，cm2，顶点坐标（m，m2m2），令xm时，函数yx2x2m2m2，抛物线顶点在函数yx2x2的图像上【小问3详解】解：抛物线开口向上，

28、对称轴为直线xm，当ab时，|2m|5m|，当2m0时，2m5m，不符合题意，当2m0，5m0时可得m25m，解得m故答案为：m【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系26. 某公司电商平台，在2021年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）（x为正整数）的一次函数，下表列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据 x407090y1809030W360045002100（1）该商品进价 （元/件），y关于x的函数表达式是 （不要求写出自变

29、量的取值范围）；（2）因该商品原料涨价，进价提高了m（元/件）（m为正整数），该商品在今后的销售中，公司发现当售价为63元/件时，周销售利润最大，求m的值【答案】（1）20，y3x300 （2）6【解析】【分析】（1）利用进价=售价-利润求出进价，利用待定系数法求出函数解析式；（2）列出关于销售利润的函数解析式，利用函数性质解决问题【小问1详解】解：40-3600180=40-20=20，故答案为20；设函数解析式为y=kx+b,则有 ，解得 所以函数解析式为y=-3x+300，故答案为y3x300【小问2详解】原料涨价后周销售利润W（3x300）（x20m）3（x100）（x20m），该二次

30、函数开口向下，对称轴为直线x， 当售价为63元/件时，周销售利润W最大，63，解得，m6 m的值为6【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式以及利用二次函数解决利润问题，列出函数解析式是解决问题关键27. （1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q则DP DQ（填“”“”或“”）；（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD2，CD4，其他条件不变如图2，若PQ5，求AP长如图3，若BD平分PDQ则DP的长为 【答案】（1）；（2）1，【解析】【分析】（1）先证明ADPCDQ，即可求解；

31、（2）先证明ADPCDQ，可得 ，设APx，则CQ2x，再由勾股定理，即可求解；过点B作BEDP交DP延长线于点E，BFDQ于点F，根据ADPCDQ，可得APD=Q， ，从而得到BPE=Q，再由角平分线的性质定理可得BE=BF，进而证得BEPBFQ，得到BP=BQ，从而得到，再由勾股定理，即可求解【详解】解（1）在正方形ABCD中，A=BCD=DCQ=ADC=90，AD=CD，PDQ=90，PDQ=ADC=90，ADPPDCCDQPDC90，ADP=CDQ，ADPCDQ，DP=DQ；故答案为= （2）四边形ABCD是矩形，AADCBCD90ADPPDCCDQPDC90，ADPCDQ又ADCQ9

32、0ADPCDQ， ，设APx，则CQ2x，PB4x，BQ22x由勾股定理得，在RtPBQ中，PB2BQ2PQ2，代入得（4x）2（22x）252，解得x1，即AP1AP的长为1如图，过点B作BEDP交DP延长线于点E，BFDQ于点F，由得：ADPCDQ，APD=Q， ，CQ=2AP，APD=BPE，BPE=Q，BD平分PDQ，BEDE，BFDQ，BE=BF，E=BFQ=90，BEPBFQ，BP=BQ，设AP=m，则BQ=BP=4-m，CQ=2m，2+2m=4-m，解得：，即，【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键第28页/共28页学科网（北京）股份有限公司