精品解析：江苏省南京市鼓楼区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题（解析版）.docx

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1、九年级（上）期末试卷数学注意事项：本试卷共6页全卷满分120分考试时间为120分钟考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）1. 平面内，O的半径为3，若点P在O外，则OP的长可能为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】根据点与圆的位置关系得出OP3即可【详解】解：O的半径为3，点P在O外，OP3，故选：A【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解答的关键是熟知点与圆的位置关系：设平面内的点与圆心的距离为d，圆的半径为r，则点在圆外

2、dr，点在圆上d=r，点在圆内dr2. 一元二次方程的根的情况是（ ）A. 没有实数根B. 有一个实数根C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等的实数根【答案】D【解析】【分析】整理后得出，求出，再根据根判别式的内容得出答案即可【详解】解：，整理，得，方程有两个相等的实数根，故选：D【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是能熟记根的判别式的内容3. 下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）A. 正方体集装箱的体积ym3，棱长xmB. 高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xmC. 妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤D. 小莉驾车以108km/h

3、的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可【详解】解：A正方体集装箱的体积ym3，棱长xm，则y=x3，故不是二次函数；B高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm，则y=14x2，故是二次函数；C妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤，则，故不是二次函数；D小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm，则y南京与上海之间的距离-108x，故不是二次函数故选：B【点睛】本题考查二次函数的定义，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的定义去判断4. 如图，D，E分别

4、是的边AB，AC上的点，若的周长为6，则的周长等于（ ）A. 24B. 18C. 12D. 9【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理可得，利用其性质，相似三角形的周长比等于相似比即可得出【详解】解：，故选：B【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握运用相似三角形的性质是解题关键5. 在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时下落，如果除地球引力外不考虑其他外力的作用，那么它们的落地时间相同物体的下落距离h（m）与下落时间t（s）之间的函数表达式为hgt2其中g取值为9.8m/s2小莉进行自由落体实验，她从某建筑物抛下一个小球，经过4s后落地，则该建筑物的高度约为（

5、）A. 98mB. 78.4mC. 49mD. 36.2m【答案】B【解析】【分析】把t=4代入hgt2可得答案【详解】解：把t=4代入hgt2得，故选：B【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意把t=4代入是解题关键6. 平面直角坐标系内，已知点，当时，若最大，则t的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】过A、B作与y轴相切的圆，设圆心为M，切点为C，连接AC、BC，取C1为y轴上相异于C的一点，连接C1A、C1B，设C1B交圆于D，利用圆周角定理和三角形外角性质可证得ACB最大，过M作MNAB于N，根据垂径定理证得AN=BN=AB，可证明四边形MNOC为矩形，则有

6、MA=MC=ON，t=MN，利用勾股定理求解MN即可解答【详解】解：过A、B作与y轴相切的圆，设圆心为M，切点为C，连接AC、BC，取C1为y轴上相异于C的一点，连接C1A、C1B，设C1B交圆于D，如图，则ADB=ACB，ADB是ADC1的外角，ADBAC1B，ACBAC1B，即ACB就是所求的最大角，过M作MNAB于N，连接MC、MA，则MA=MC，AN=BN=AB，MCy轴，四边形MNOC为矩形， MC=ON，OC=MN，t0，AB=4，OC=t，OA=1，AN=AB=2，MC=ON=OA+AN=3，在RtAMN中，MA=MC =3，由勾股定理得：，OC=MN=，即t=，故选：C【点睛】

7、本题考查切线性质、圆周角定理、三角形外角性质、矩形的判定与性质、垂径定理、坐标与图形、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用，得出过A、B、C三点的圆与y轴相切时ACB最大是解答的关键二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7. 若，则的值为_【答案】【解析】【分析】由，设，然后再代入求解即可【详解】解：，设，故答案为：【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键8. 点C是线段AB的黄金分割点，若，则_cm【答案】#【解析】【分析】根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可【详解】解：点是线段的黄金分割点，而，故答案

8、为：【点睛】本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是掌握线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点，难度适中9. 某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为_【答案】4.86（1+x）2=6【解析】【分析】根据等量关系：增产前的产量（1+x）2=增产后的产量列出方程即可【详解】解：根据题意，得：4.86（1+x）2=6，故答案为：4.86（1+x）2=6【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键10. 一个圆锥的底面圆

9、半径是1，母线长是3，沿着一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，则这个扇形的圆心角度数为_【答案】120【解析】【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到=21，然后解关于的方程即可【详解】解：设扇形的圆心角为，根据题意得=21，解得=120故答案为：120【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长11. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的新图象函数的表达式为_【答案】【解析】【分析】根据二次函数图象平移规律“左加右减，

10、上加下减”解答即可【详解】解：将二次函数的图像向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的新图像函数的表达式为，故答案为：【点睛】本题考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数图象平移规律是解答的关键12. 有3个样本如下图所示，关于它们的离散程度有下列几种说法：样本1与样本3的离散程度相同；样本2的离散程度最小；三组数据的离散程度从小到大依次为：样本2、样本3、样本1正确的序号为_【答案】#【解析】【分析】根据离散程度的定义一一判断即可【详解】解：样本2的离散程度最小；三组数据的离散程度从小到大依次为：样本2、样本3、样本1故正确，样本1的离散程度比样本3的离散程度大，故错误，故答案为：【点睛】本

11、题考查了样本离散程度，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题13. 如图，AB是O的直径，弦于点E，若，则OA长为_【答案】3.4【解析】【分析】连接OC，根据垂径定理可得，然后设，则OE=BEOB=5r，在中，利用勾股定理求解即可得利用垂径定理，勾股定理解决问题即可【详解】解：连接OC，设，则OE=BEOB=5r，在中，解得：r=3.4，故答案为：3.4【点睛】题目主要考查垂径定理及勾股定理的应用，学会利用参数构建方程解决问题是解题关键14. 分别以等边的三个顶点为圆心，边长为半径画弧得到的曲边三角形叫莱洛三角形如图，等边的边长为2cm，则图中阴影部分的面积为_【答案】【解析】【分析

12、】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其阴影面积三块扇形的面积相加，再减去三个等边三角形的面积，求出即可【详解】解：过作于，是等边三角形，的面积为，阴影部分的面积，故答案为：【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，解题的关键是能根据图形得出阴影部分的面积三块扇形的面积相加、再减去三个等边三角形的面积15. 如图，夜晚路灯下，小莉在D处测得自己影长DE4m，在点G处测得自己影长DG3mE、D、G、B在同一条自线上，已知小莉身高为1.6m，则灯杆AB的高度为_m【答案】6.4【解析】【分析】由题意知，有，可得，求出的值，然后根据计算求解即可得到的值【详解】解：由题意知，解得解得

13、故答案为：6.4【点睛】本题考查了相似三角形的应用解题的关键在于正确的计算求解16. 中，点I是的内心，点O是的外心，则_【答案】14.3【解析】【分析】如图，过点A作交于点D，由等腰三角形得点I、点O都在直线AD上，连接OB、OC，过点I作交于点E，设，根据勾股定理求出，则，由勾股定理求出R的值，证明由相似三角形的性质得，求出r的值，即可计算【详解】如图，过点A作交于点D，是等腰三角形，点I是的内心，点O是的外心，点I、点O都在直线AD上，连接OB、OC，过点I作交于点E，设，在中，在中，解得：，即， 解得：，故答案为：14.3【点睛】本题考查内切圆与外接圆，等腰三角形的性质以及相似三角形的

14、判定与性质，掌握内切圆的圆心为三角形三条角平分线的交点，外接圆圆心为三角形三条垂直平分线的交点是解题的关键三、解答题（本大题共11小题，共88分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 解下列一元二次方程（1） x2=-3x；（2）x24x8=0【答案】（1）x1=0，x2=-3； （2）x1=x2=【解析】【分析】（1）先整理成一般式，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；（2）利用公式法求解即可【小问1详解】解：x2=-3x，x2+3x=0，x（x+3）=0，x=0或x+3=0x1=0，x2=-3；【小问2

15、详解】（2）a=1，b=-4，c=8，=b2-4ac=0，x=，x1=x2=【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键18. 已知二次函数y=x2-（m+2）x+2m（m为常数）（1）求证：不论m取何值，该二次函数的图象与x轴总有公共点；（2）若m=0，当x 时，y随x的增大而减小【答案】（1）见解析 （2）1【解析】【分析】（1）令y=0得到关于x的二元一次方程，然后证明=b2-4ac0即可；（2）根据二次函数的性质作答【小问1详解】证明：当y=0时，x2-（m+2）x+

16、2m=0b2-4ac=-8m=（m-2）20，方程总有两个实数根，该二次函数的图象与x轴总有公共点；【小问2详解】解：若m=0，y=x2-2x=（x-1）2-1，所以该抛物线的顶点坐标是（1，-1），由于a=10，所以当x1时，y随x的增大而减小故答案是：1【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，将函数问题转化为方程问题是解答问题（1）的关键，掌握二次函数的性质是解答问题（2）的关键19. 如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离已知某一时刻在地面的影长，在地面的影长，求窗户的高度【答案】【解析】【分析】阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性

17、可知透过窗户后的光线与仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出的长，即窗户的高度【详解】解：，即，解得，即窗户的高度为：【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题20. 近日，“复旦学霸图书馆”新闻引发网友热议，其中，“风雨无阻爱学习”的潘同学一年时间图书馆打卡301次，更是成为众多学子膜拜的对象某大学图书馆为了更好服务学子，对某周来馆人数进行统计，统计数据如下（单位：人）：时间周一周二周三周四周五周六周日人数65055071042065023203100（1）该周到馆人数的平均数为_人，众数为

18、_人，中位数为_人；（2）周一至周五到馆人数相差不多，用这五天的数据估算该周的平均数合适吗？为什么？（3）选择合适的数据，估算该校一个月的到馆人数（一个月按30天计）【答案】（1）1200，650，650； （2）不合适，理由见解析； （3）36000人【解析】【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的求法解答即可；（2）根据表格中的数据解答即可；（3）可利用平均数求解即可【小问1详解】解：平均数为（650+550+710+420+650+2320+3100）7=1200（人），众数为650人，将七个数据从小到大顺序排列：420，550，650，650，710，2320，3100，则中位数为65

19、0人，故答案为：1200，650，650；【小问2详解】解：周一至周五到馆人数相差不多，用这五天的数据估算该周的平均数不合适，因为该图书馆周六、周日到馆人数明显高于其他五天的人数，所以去掉周六、周天到馆人数对平均数影响较大，故用这前五天的数据估算该周的平均数不合适；【小问3详解】解：用该周到馆人数的平均数1200人估算该校一个月的到馆人数，则该校一个月的到馆人数为120030=36000人【点睛】本题考查平均数、中位数、众数、用样本估计总体，理解平均数、中位数、众数的特点，并会求解是解答的关键21. “三孩”政策实施后，甲、乙两个家庭有了各自的规划（假定生男生女的概率相同）：（1）甲家庭已有一

20、个男孩和一个女孩，准备再生一个孩子，则第三个孩子是男孩的概率是_；（2）乙家庭没有孩子，准备生三个孩子，求至少有两个孩子是女孩的概率【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出至少有一个孩子是女孩的结果数，然后根据概率公式求解【小问1详解】解：第三个孩子是男孩的概率；故答案为；【小问2详解】解：画树状图为：共有8种等可能的结果数，其中至少有两个孩子是女孩的结果数为4，所以至少有一个孩子是女孩的概率【点睛】本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用

21、概率公式计算事件或事件的概率22. 已知关于x的一元二次方程ax2bxc0（a、b、c是常数，a0）的两个实数根分别为x1，x2，用两种方法证明：x1x2，x1x2【答案】见解析【解析】【分析】证法一：利用求根公式表示出方程的两个根，进而求出两根之和与两根之积，即可即可得证证法二：方程为a(xx1)(xx2)0，再去括号，比较相同次数的项的系数从而得出结论【详解】解：证法一：由求根公式可得：x1，x2， x1x2 x1x2 证法二：设方程为a(xx1)(xx2)0，展开得ax2a(x1x2)xax1x20，ax2bxc0，a(x1x2)b，ax1x2ca 0，x1x2， x1x2【点睛】本题考

22、查了一元二次方程根与系数的关系的推导过程，掌握求根公式是解题的关键23. 图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为（1）求拱桥所在抛物线的函数表达式；（2）因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少？（结果保留根号）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）在所求函数解析式中求出时的值即可得【小问1详解】解：设抛物线的解析式为，将点、代入，得：，解得：，所以抛物线的解析式为；【小问2详解】当时，即，解得：，则水面的宽为【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数的问题求

23、解，并熟练掌握待定系数法求函数解析式24. 如图，AB是O的弦，AC是O的切线，BC交O于点D，E是的中点（1）求证：；（2）判断四边形ACDE的形状，并说明理由【答案】（1）见解析； （2）四边形ACDE是平行四边形，理由见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可证得结论；（2）根据切线性质和圆周角定理、等角的余角相等证得F=C=CAD，再根据三角形的外角性质和等弧所对的圆周角相等证得C=BDE，根据平行线的判定证明ACDE，AECD，进而可证明四边形ACDE是平行四边形【小问1详解】证明：AB=AC，C=B，B=E，C=E；【小问2详解】解：四边形ACDE是平行四边形

24、，理由：如图，连接AO并延长，交O于F，连接AD、DF，则ADF=90，即F+DAF=90，AC是O的切线，CAF=90，即CAD+DAF=90，F=CAD，F=E，C=E，F=C，C=CAD，ADB=C+CAD=2C，E是的中点，ADE=BDE，ADB=2BDE，C=BDE，ACDE，C=E，C=BDE，E=BDE，AECD，四边形ACDE是平行四边形【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、切线性质、等角的余角相等、三角形的外角性质、平行线的判定、平行四边形的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键25. 定义：我们把三边之比为的三角形叫做奇妙三角形（1）初步运用：如图是的正方形

25、网格（每个小正方形的边长均为1），请分别在图、图中画出顶点在格点上最小、最大的奇妙三角形；所画三角形中最大内角度数为_（2）再思探究：如图，点A为坐标原点，点C坐标，点D坐标，在坐标平面上取一点，使得AB平分，直接写出m的值并说明理由【答案】（1）见解析， （2），理由见解析【解析】【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意图形；直接利用相似三角形的判定与性质得出尾翼三角形的最大角；（2），利用网格结合勾股定理求出和各边的长证明，直接利用相似三角形的性质即可得出结论【小问1详解】解：解：（1）如图所示：由网格可得：，的三边比为，的三边比为，故答案为：135；【小问2详解】解：，理由：连

26、接、，由网格可得：，的三边比为，由网格可得：，的三边比为，平分【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了应用设计与作图，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是正确借助网格分析26. 某商店销售甲、乙两种礼品，每件利润分别为20元、10元，每天卖出件数分别为40件、80件为适应市场需求，该店决定降低甲种礼品的售价，同时提高乙种礼品的售价售卖时发现，甲种礼品单价每降1元可多卖4件，乙种礼品单价每提高1元就少卖2件若每天两种礼品共卖出140件，则每天销售的最大利润是多少？（1）分析：设甲种礼品每件降低了x元，填写表格（用含x的式子表示，并化简）；调价后的每件利润调价后的销售量甲种礼品乙种礼品（2

27、）解答： 【答案】（1）， （2）每天获得的最大利润为元.【解析】【分析】（1）设甲种礼品每件降低了x元，则调价后销售量为原销量加上增加的销量，可得乙的销量为件，再求解乙调价后的利润即可；（2）设每天的销售利润为元，再利用总利润等于甲礼品的利润加上乙礼品的利润，可得函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案.【小问1详解】解：设甲种礼品每件降低了x元，则调价后的销售量为：件，乙种礼品调价后的销售量为：件，乙种礼品调价后的利润为：元，填表如下：调价后的每件利润调价后的销售量甲种礼品 乙种礼品 【小问2详解】解：设每天的销售利润为元，则 当时，（元）所以每天获得的最大利润为元.【点睛】本题考查的是列

28、代数式，二次函数的实际应用，理解题意，列出二次函数的关系式是解本题的关键.27. 问题呈现：探究二次函数（其中，m为常数）的图像与一次函数的图像公共点（1）问题可转化为：二次函数的图像与一次函数_的图像的公共点（2）问题解决：在如图平面直角坐标系中画出的图像（3）请结合（2）中图像，就m的取值范围讨论两个图像公共点的个数（4）问题拓展：若二次函数（其中，m为常数）的图像与一次函数的图像有两个公共点，则m的取值范围为_【答案】（1） （2）见解析 （3）或或，两个图像公共点个数为1个；时，两个图像公共点的个数为2个；或时，两个图像公共点的个数为0个； （4）【解析】【分析】（1）令，整理得：，可

29、以转化为二次函数的图像与一次函数图像的公共点；（2）先在坐标轴上描出点，再连线即可；（3）通过数形结合的方式进行分类讨论；（4）通过数形结合的方式，分当时；当时；注意当时，要使有两个公共点，则满足，求解即可【小问1详解】解：令，整理得：，可以转化为二次函数的图像与一次函数图像的公共点，故答案为：；【小问2详解】解：先在坐标轴上描出点，再连线即可，如下图：【小问3详解】解：如图：当时，与有一个交点，当时，与有两个交点，当时，与有一个交点，综上：或或，两个图像公共点的个数为1个；时，两个图像公共点的个数为2个；或时，两个图像公共点的个数为0个；【小问4详解】解：如下图：当时，（其中，m为常数）与有一个交点有一个公共点；当时，（其中，m为常数）与没有公共点；要使（其中，m为常数）与有两个公共点，则满足且，解得：且，故时，（其中，m为常数）与有两个公共点，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，函数图象的交点问题，解题的关键是利用数形结合、分类讨论、转化的思想进行求解第26页/共26页学科网（北京）股份有限公司