导数及其应用--2024年新高考题型含答案.pdf

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1、1导数及其应用(新高考培优专用)导数及其应用(新高考培优专用)目录目录【重难保分考点】【重难保分考点一】导数的概念和几何意义【重难保分考点二】导数与函数单调性【重难保分考点三】导数与函数极值【重难保分考点四】导数与函数最值【重难保分考点五】导数的综合应用【能力培优考点】【能力培优考点一】导数与含参的单调区间问题【能力培优考点二】导数与恒成立问题【能力培优考点三】导数与函数的零点【能力培优考点四】导数与不等式证明【冲刺压轴考点】【冲刺压轴考点一】二次求导【冲刺压轴考点二】参变分离【冲刺压轴考点三】函数构造【冲刺压轴考点四】双变量导数及其应用-2024年新高考题型2【重难保分考点一】导数的概念和几

2、何意义【重难保分考点一】导数的概念和几何意义一、单选题一、单选题1.(2022上陕西咸阳高二咸阳市实验中学校考阶段练习)已知函数 f x在x=x0处的导数为6，则limx0f x0-x-f x02x=()A.-3B.3C.-6D.62.(2023上湖南高二邵阳市第二中学校联考阶段练习)已知直线y=3x与曲线y=ln 3x-a+2相切，则a的值为()A.14B.ln13+53C.2D.1二、多选题二、多选题3.(2023上贵州贵阳高三贵阳一中校考阶段练习)已知函数 f x=2x2x+1，则所有正确的结论是()A.函数 f x是增函数B.函数 f x的值域为 0,1C.曲线y=f x关于点 0,1

3、2对称D.曲线y=f x有且仅有两条斜率为15的切线4.(2023上河南周口高三校联考阶段练习)已知函数 f(x)=x3(3lnx-1)，则()A.函数 f(x)的最小值为-1B.若函数 f(x)在点(m,f(m)处的切线与直线y=9e2x-1平行，则 f(m)=2e3C.函数g(x)=f(x)-a(a0)有且仅有两个零点D.f ln3e2 f32 f log23三、填空题三、填空题5.(2023陕西宝鸡校联考模拟预测)已知曲线 f x=x+ex在点 0,f 0处的切线与曲线y=ln x-1+a相切，则a=.6.(2022上山东青岛高三山东省青岛第一中学校考期中)若曲线C1:f x=x2+a和

4、曲线C2:g x=4lnx-2x存在有公共切点的公切线，则该公切线的方程为.【重难保分考点二】导数与函数单调性【重难保分考点二】导数与函数单调性一、单选题一、单选题1.(2024上河南南阳高三方城第一高级中学校联考期末)已知函数 f(x)在R R上的导函数为 f(x)，且 f(x)-1 f(3x-8)的解集为()A.(-,4)B.(0,+)C.(-,0)D.(4,+)2.(2023四川成都统考一模)若a=ln ln,b=23ln23,c=-1e，则()A.cabB.bcaC.cbaD.ba0时，g x的值域为 2,+C.当x0时，若 f xax恒成立，则a的取值范围为-,2D.当nN N*时，

5、满足g 1g 2g n en+1+2n2三、填空题三、填空题5.(2023上陕西榆林高三校考阶段练习)已知函数 f x的定义域为-1,5，部分对应值如表，f x的导函数y=fx的图象如图所示，x-10245f x121.521下列关于函数 f x的命题：函数 f x的值域为 1,2；如果当x-1,t时，f x的最大值为2，那么t的最大值为4；函数 f x在 0,2上是减函数；当1a2时，函数y=f x-a最多有4个零点其中正确命题的序号是.6.(2023全国高三专题练习)若对于x1，不等式a x-1-lnx0恒成立，则参数a的取值范围为【重难保分考点三】导数与函数极值【重难保分考点三】导数与函

6、数极值一、单选题一、单选题1.(2024全国模拟预测)记函数y=f x的导函数为y，y的导函数为y，则曲线y=f x的曲率K=y1+y232则曲线y=lnx的曲率的极值点为()A.22B.2 33C.2 39D.232.(2023上山西临汾高三山西省临汾市第三中学校校联考期中)已知函数 f x=x2-ax-lnx+2 aR R4在区间 0,1上单调递减，在区间 1,+上单调递增，则 f x的极小值为()A.2B.1C.0D.-1二、多选题二、多选题3.(2023上河北衡水高三校考阶段练习)若函数 f x=alnx+bx+cx2,a0既有极大值也有极小值，则()A.bc0B.ab0D.ac04.

7、(2023上湖北武汉高三华中师大一附中校考期中)已知函数 f x及其导函数 fx的部分图象如图所示，设函数g x=f xex，则g x()A.在区间 a,b上是减函数B.在区间 a,b上是增函数C.在x=a时取极小值D.在x=b时取极小值三、填空题三、填空题5.(2023陕西宝鸡统考二模)若函数 f x=ex-e-x+13x3-ax无极值点，则实数a的取值范围是.6.(2023上山西临汾高三校考阶段练习)已知曲线 f x=x3+ax2+bx+1在点 1,f 1处的切线斜率为3，且x=23是y=f x的极值点，则函数的另一个极值点为.【重难保分考点四】导数与函数最值【重难保分考点四】导数与函数最

8、值一、单选题一、单选题1.(2022福建福州统考三模)已知函数 f x=cosxx2+1，以下结论中错误的是()A.f x是偶函数B.f x有无数个零点C.f x的最小值为-12D.f x的最大值为12.(2023陕西商洛统考一模)已知函数 f x=2 x-1ex-x2-ax在 R上单调递增，则a的最大值是()A.0B.16C.eD.3二、多选题二、多选题3.(2023下福建厦门高二厦门一中校考期中)已知函数 f x=xex-m2x2-mx，则函数 f x在 1,2上的最小值可能为()5A.e-32mB.-12mln2mC.2e2-4mD.e2-2m4.(2023上广西河池高三贵港市高级中学校

9、联考阶段练习)已知函数 f x=x2+3x+1ex，则下列结论正确的是()A.函数 f x存在三个不同的零点B.函数 f x既存在极大值又存在极小值C.若x t,+时，f(x)max=5e，则t的最大值为1D.当-e2k0(a0)恒成立，则a的取值范围是6.(2023上江苏镇江高三校考阶段练习)如图，正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心重合，边长分别为3和1，P1，P2，P3，P4分别为A1D1，A1B1，B1C1，C1D1的中点，把阴影部分剪掉后，将四个三角形分别沿AD，AB，BC，CD折起，使P1，P2，P3，P4重合于P点，则四棱锥P-ABCD的高为，若直四棱柱A2B2C2D2-

10、A3B3C3D3内接于该四棱锥，其上底面四个顶点在四棱锥侧棱上，下底面四个顶点在面ABCD内，则该直四棱柱A2B2C2D2-A3B3C3D3体积的最大值为7【能力培优考点一】导数与含参的单调区间问题【能力培优考点一】导数与含参的单调区间问题一、解答题一、解答题1.(2023上湖南衡阳高三衡阳市八中校考阶段练习)设 f x=ax-a+1lnx-1x.(1)讨论 f x的单调性；(2)设g x=x2e2x-f x，若关于x的不等式g xax+a+3lnx+1x+1恒成立，求实数a的取值范围.2.(2023上广东深圳高三珠海市第一中学校联考阶段练习)已知函数 f(x)=(x-1)ex+ax2，aR

11、R(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当a-1时，若 f(x)的极小值点为x0，证明：f(x)存在唯一的零点x1，且x1-x0ln283.(2023上重庆永川高三重庆市永川北山中学校校考期中)已知函数 f(x)=lnx+12x2-ax(1)当a=12时，求在曲线y=f(x)上的点(1,f(1)处的切线方程；(2)讨论函数 f(x)的单调性；(3)若 f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f x1-f x2x1-x22，证明：当x3a-6 时，f xg x.95.(2023上江苏镇江高二江苏省镇江第一中学校考期末)已知函数 f x=ax-2lnx(1)试讨论函数 f x的单调性；(2)a0时，求

12、 f x在 1,e上的最大值；(3)当x1时，不等式 f x x-2lnx+2x+a-1恒成立，求整数a的最大值6.(2023上山西吕梁高三校联考阶段练习)已知函数 f(x)=-12x2+ax-lnx(aR R)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)有两个极值点x1，x2(x1m x-1在x1时恒成立，求m的最大值4.(2024全国模拟预测)已知函数 f x=x+alnx-e x-1aR R(1)当a=0时，讨论函数 f(x)的单调性；(2)若 f(x)0在(1,+)上恒成立，求a的取值范围125.(2024上山西高三期末)已知函数 f x=m x-12-2x+2lnx，m2

13、.(1)求证：函数 f x存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间 a,b的长度b-a的取值范围；(2)当x1时，f x2xex-1-4x恒成立，求实数m的取值范围.6.(2024上甘肃武威高三统考期末)已知函数 f x=2xex+aln x+1.(1)当a=0时，求 f x的最大值；(2)若 f x0在x 0,+上恒成立，求实数a的取值范围.13【能力培优考点三】导数与函数的零点【能力培优考点三】导数与函数的零点一、单选题一、单选题1.(2023上山东高三校联考阶段练习)已知函数 f x=ax,x0lnxx,x0，则函数g x=2 ef f x-1的零点个数为()A.0或3B.0或1C.1

14、或2D.2或3二、多选题二、多选题2.(2024上湖北武汉高三统考期末)已知函数 f x=ex-kx，g x=klnx-x，k0，则()A.当ke时，函数 f x有两个零点B.存在某个k 0,+，使得函数 f x与g x零点个数不相同C.存在ke，使得 f x与g x有相同的零点D.若函数 f x有两个零点x1,x2x1x2，g x有两个零点x3，x4x3x4，一定有x1x4=x2x3三、解答题三、解答题3.(2024上江苏高三统考期末)已知函数 f x=ex-m-lnxx(mR).(1)当m=1时，求函数 f x的单调区间；(2)若函数 f x的图象与x轴相切，求证：1+ln2m1-ln2；

15、若fnx没有最小值，说明理由(注：e=2.71828是自然对数的底数)145.(2023上广西柳州高三柳州高级中学校考阶段练习)已知函数 f x=-2lnx-ax2+1，(1)当a=1时，求 f x在区间12，2上的值域；(2)若 f x有两个不同的零点x1，x2，求a的取值范围，并证明：1x21+1x222a.6.(2024上湖南长沙高三长沙一中校考阶段练习)已知函数 f x=alnx-x+1x(aR).(1)是否存在实数a，使得x=1为函数 f x的极小值点.若存在，求a的值；若不存在，请说明理由；(2)若 f x图象上总存在关于点 1,0对称的两点，求a的取值范围.15【能力培优考点四】

16、导数与不等式证明【能力培优考点四】导数与不等式证明一、解答题一、解答题1.(2023上河北石家庄高三石家庄市第二十七中学校考阶段练习)已知函数 f x=xlnx-14x2+ax(1)若 f x在定义域内为单调递减函数，求a的取值范围；(2)求证：当a0且x 0,2时，f x-12.(2024陕西宝鸡统考一模)已知函数 f(x)=ln(x+1)-x2+mx+1(mR)(1)当m=-1时，求 f(x)的单调区间；(2)已知x0，求证：当m1时，f(x)0，求证：当函数 f(x)恰有一个零点时，该零点一定不是函数y=x2+mx+1的极值点163.(2024全国模拟预测)已知函数 f x=lnx-ae

17、xa0，其中e为自然对数的底数(1)若a=1e，求 f x的单调区间；(2)证明：f x-2-lna4.(2024上辽宁丹东高三统考期末)已知定义在 0,+上的函数 f x=ln x+1和g x=x.(1)求证：f xg x；(2)设 x=4g2x+tf x在 0,+存在极值点，求实数t的取值范围.175.(2023全国模拟预测)已知函数 f x=x-mlnx mR R(1)讨论 f x的单调性；(2)若存在不相等的实数x1，x2，使得 f x1=f x2，证明：0mx1+x26.(2023上河北沧州高三泊头市第一中学校联考阶段练习)已知函数 f x=alnx-x,aR R(1)讨论 f x的

18、单调性；(2)若存在不相等的实数x1,x2，使得 f x1=f x2，证明：02a0，(1)若a=1，求 f x的单调区间；(2)若x=0是 f x的极小值点，求实数a的取值范围193.(2023下湖北高二十堰一中校联考期中)已知函数 f x=sinx-axx+20 x0，求a的取值范围；(3)证明：23-22n+3nk=1sin1k k+10(1)若 f x的最小值为-e-1，求a的值；(2)若a=1，证明：函数 f x存在两个零点x1，x2，且 fx1+fx2-2205.(2023全国模拟预测)已知函数 f x=mx-xlnx，mR R(1)若函数 f x的图象在x=1处的切线方程为y=x

19、+b，求b的值；(2)若m=2，f x1=f x2且x1x2，0,12，求证：x1-1x2e6.(2022全国模拟预测)已知函数 f x=-x33+x2-ax，g x=2cosx(1)当x0时，求证：g x2-x2(2)令F x=f x-g x，若F x的两个极值点分别为m，n(mn)当a=0时，求曲线y=Fx在x=m，x=n处的切线方程(Fx为F x的导函数)；求证：n-ma-2-231-221【冲刺压轴考点二】参变分离【冲刺压轴考点二】参变分离一、解答题一、解答题1.(2023上河南高三校联考开学考试)f x=ln ex+a+1-x2+x24+b有两个零点x1,x2x1x2(1)a=0时，

20、求b的范围；(2)b=-1且a54时，求证：x2-x10.923，证明：当0.25a0.26时，函数F x=f x-ax2在-,12上有2个零点(参考数据：0.923=0.778688)235.(2022下江西赣州高二统考期末)已知 f(x)=3ex-1-bxlnx-2ax-a，曲线y=f x在x=1处切线过点-12,0(1)求b的值；(2)当x12,+时，f x0，求a的取值范围6.(2022广东广州华南师大附中校考三模)已知函数 f x=xlnx+a2x2-a2存在两个极值点x1,x2x10)(1)若当x=1时函数 f x取到极值，求a的值；(2)讨论函数 f x在区间(1,+)上的零点个

21、数253.(2023上河北邢台高三校联考阶段练习)已知函数 f x=aex-1x+e lnx-x，aR.(1)若 f x在 1,+上单调递增，求a的取值范围；(2)当a52时，证明：f x+e-1xex-11-lnx+elnx.4.(2023上天津和平高三天津一中校考阶段练习)已知函数 f x=x2lnx-32a，a为实数(1)当a=23时，求函数在x=1处的切线方程；(2)求函数 f x的单调区间；(3)若函数 f x在x=e处取得极值，fx是函数 f x的导函数，且 fx1=fx2，x1x2，证明：2x1+x2-12x+1；(2)若x-1,+时，g x f x，求实数a的取值范围27【冲刺

22、压轴考点四】双变量【冲刺压轴考点四】双变量一、解答题一、解答题1.(2023上重庆沙坪坝高三重庆八中校考期中)已知函数 f x=aex-12x2+a有两个不同的极值点x1,x2x10，且x1+mx2m+1，求m的取值范围.2.(2023上湖南长沙高三长郡中学校考阶段练习)函数 f x=alnx+12x2-a+1x+32(a0).(1)求函数 f x的单调区间；(2)当a=1时，若 f x1+f x2=0，求证：x1+x22；(3)求证：对于任意nN N*都有2ln n+1+ni=1i-1i2n.283.(2023新疆统考三模)已知函数 f(x)=ax2+(a+1)xlnx-1，g(x)=f(x

23、)x(1)讨论g x的单调性；(2)若方程 f(x)=x2ex+xlnx-1有两个不相等的实根x1,x2，求实数a的取值范围，并证明ex1+x2e2x1x24.(2023下广东珠海高二珠海市斗门区第一中学校考阶段练习)已知函数 f x=x-lnx-3.(1)求曲线y=f x在x=1处的切线方程；(2)记函数g x=x2-bx-3-f x，设x1,x2x10有两个零点x1,x2，且x1x2(1)求a的取值范围；(2)若 f x在 x1,0和 x2,0处的切线交于点 x3,y3，求证：2x30，则1+2x1，于是011+2x1，即01-11+2x1，所以0 f x0，则t2-5ln2-2t+1=0

24、，=5ln2-22-4=5ln22-20ln2=5ln2 5ln2-4=5ln2 ln25-lne4因为25=32626.252=2.54e4，所以ln250，于是=5ln2 ln25-lne40)有且仅有两个零点D.f ln3e2 f32 f log23【答案】ABD【分析】选项A，利用导数研究函数单调性可得最值；选项B，由导数的几何意义可得切线的斜率，由平行得斜率的等量关系，由察根法利用单调性解方程可得；选项C，分区间讨论函数值域与单调性可得；选项D，比较对数大小，利用函数单调性可得函数值大小.【详解】f(x)=x3(3lnx-1)，x(0,+)由 f(x)=3x2(3lnx-1)+x33

25、x=9x2lnx，令 f(x)=0，有x=1，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增.对于A选项，则有 f(x)min=f(1)=-1，故A选项正确；对于B选项，因为函数 f(x)在点(m,f(m)处的切线与直线y=9e2x-1平行，所以 f(m)=9m2lnm=9e2，即m2lnm=e2，当0m1时，m2lnm1时，设g(m)=m2lnm，由g(m)=m+2mlnm=m(1+2lnm)0，则g(m)单调递增，且g(e)=e2lne=e2，4故方程 f(m)=9e2有唯一解m=e，则有 f(m)=f(e)=2e3，故B选项正确；对于C选项，当x(0,1)时，lnx0，则 f(x)=x3

26、(3lnx-1)0，所以方程a=f(x)无解；当x(1,+)时，f(x)单调递增，方程a=f(x)至多有一个解；故函数g(x)=f(x)-a(a0)至多一个零点，故C选项错误；对于D选项，由log23=12log2912log28=32，32-ln3e2=32-ln32+1=12-ln32=12lne-ln32=12lne-ln940，且ln3e2lne=1，故有1ln3e232log23，又由函数 f(x)在(1,+)单调递增，所以有 f ln3e2 f320，解得x0=1a=-3 公切线的切点坐标为(1,-2)，切线斜率为2公切线的方程为y+2=2(x-1)，即y=2x-4故答案为：y=2

27、x-4【重难保分考点二】导数与函数单调性【重难保分考点二】导数与函数单调性一、单选题一、单选题1.(2024上河南南阳高三方城第一高级中学校联考期末)已知函数 f(x)在R R上的导函数为 f(x)，且 f(x)-1 f(3x-8)的解集为()A.(-,4)B.(0,+)C.(-,0)D.(4,+)【答案】D【分析】由题意构造函数，利用导数研究其单调性，根据其解不等式，可得答案.【详解】令g(x)=f(x)-x，则g(x)=f(x)-1 f(3x-8)=g(3x-8)+3x-8，得g(x)g(3x-8)，所以x4，所以原不等式的解集为 4,+.故选：D.2.(2023四川成都统考一模)若a=l

28、n ln,b=23ln23,c=-1e，则()A.cabB.bcaC.cbaD.balne=1,a=ln lnln lne=0,b=23ln230,b0.造函数 f x=xlnx，则 fx=lnx+1，令lnx+1=0，解得x=1e，当x 0,1e时，fx0，则 f x为单调递增.所以函数 f x在x=1e处取得最小值，即 f x f1e=1eln1e=-1e，所以 f23 f1e，即23ln23-1e，bc.综上所述，cb0，得x1或x0，故 f(x)在(-,0)，(1,+)上单调递增：令 f(x)0，得0 x0时，g x的值域为 2,+C.当x0时，若 f xax恒成立，则a的取值范围为-

29、,2D.当nN N*时，满足g 1g 2g n en+1+2n2【答案】ACD【分析】根据函数奇偶性以及 f x+g x=2ex即可求得 f x=ex-e-x，可得A正确；利用基本不等式可得g x=ex+e-x2 exe-x=2，但等号不成立，即B错误；对参数a的取值进行分类讨论，利用导数求得函数单调性即可得a的取值范围为-,2，即C正确；易知g x1g x2ex1+x2+2，累成即可得D正确.【详解】对于A，因为 f x和g x分别为R R上的奇函数和偶函数，满足 f x+g x=2ex，即可得 f-x+g-x=-f x+g x=2e-x，所以可得 f x=ex-e-x，g x=ex+e-x

30、，故A正确；对于B，g x=ex+e-x2 exe-x=2，当且仅当x=0时，等号成立，又因为x0，所以g x的值域为 2,+，故B错误对于C，分两种情况a2，令h x=f x-ax，当x0时，则hx=ex+e-x-a2-a0，h x单调递增，所以h xh 0=0，即 f xax；7a2，方程hx=0的正根为x1=lna+a2-42，若x 0,x1，则hx0，h x单调递减，h xh 0=0，即 f xex1+x2+2，则g 1g nen+1+2，g 2g n-1en+1+2，g ng 1en+1+2，累乘得 g 1g 2g n2=g 1g ng 2g n-1 g ng 1 en+1+2n，故

31、g 1g 2g n en+1+2n2，故D正确故选：ACD三、填空题三、填空题5.(2023上陕西榆林高三校考阶段练习)已知函数 f x的定义域为-1,5，部分对应值如表，f x的导函数y=fx的图象如图所示，x-10245f x121.521下列关于函数 f x的命题：函数 f x的值域为 1,2；如果当x-1,t时，f x的最大值为2，那么t的最大值为4；函数 f x在 0,2上是减函数；当1a2时，函数y=f x-a最多有4个零点其中正确命题的序号是.【答案】【分析】根据函数的单调性和特殊值，可判断；根据已知导函数的图象，及表中几个点的坐标，易分析出0t5，均能保证x-1,t时，f x的

32、最大值为2，进而判断的真假；根据已知导函数的图象，分析得到 f x在 0,2上的单调性，可判断的真假；根据函数的交点个数判断的真假.【详解】因为由导函数图象可知，f x在-1,0递增，在 0,2递减，在 2,4递增，在 4,5递减，结合单调性知函数最小值为1，最大值为2，所以函数 f x的值域为 1,2，故正确；由已知中y=fx的图象，及表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值2，若x-1,t时，f x的最大值为2，那么0t5，故t的最大值为5，故错误；8由已知中y=fx的图象可得在 0,2上 fx0，即 f x在 0,2上是减函数，故正确；当1.5a2时，函数y=f x-a有4个零点，故

33、当1a2时，函数y=f x-a有2,3,4个零点，最多4个零点，故正确；故答案为：.6.(2023全国高三专题练习)若对于x1，不等式a x-1-lnx0恒成立，则参数a的取值范围为【答案】1,+【分析】令 f x=a x-1-lnx,x1，求得 fx=ax-1x，分a0、0a1和a1，三种情况，结合f 1=0，即可求解.【详解】令 f x=a x-1-lnx,x1，可得 fx=a-1x=ax-1x，若a0时，fx0，f x单调递减，又由 f 1=0，所以当x1时，可得 f x0，不符合题意，舍去；若0a1，当x 1,1a时，fx0，f x单调递增；又由 f 1=0，所以存在x0 1,1a，使

34、得 f x0，f x单调递增，且 f 1=0，所以当x1时，f x f 1=0恒成立，符合题意，所以实数a的取值范围为 1,+故答案为：1,+【重难保分考点三】导数与函数极值【重难保分考点三】导数与函数极值一、单选题一、单选题1.(2024全国模拟预测)记函数y=f x的导函数为y，y的导函数为y，则曲线y=f x的曲率K=y1+y232则曲线y=lnx的曲率的极值点为()A.22B.2 33C.2 39D.23【答案】A【分析】根据定义求解y和y，由曲率的定义进行求解极值点.【详解】函数y=lnx的定义域是 0,+，y=1x，y=-1x2，曲线y=lnx的曲率K=1x21+1x232=x1+

35、x232，9K=1+x232-x32 1+x2122x1+x23=1+x2121+x2-3x21+x23=1-2x21+x252，显然当0 x0；当x22时，K0由 f(x)在区间 0,1上单调递减，在区间 1,+上单调递增，则函数在x=1处取极小值，所以有 f(1)=0，由 f(x)=2x-a-1x，得1-a=0，解得a=1，则有 f(x)=2x-1x-1=2x2-x-1x=(2x+1)(x-1)x，由x0，得 f(x)=0只有一个根x=1，且当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增；故当a=1时，满足题意，所以 f(x)有极小值，且极小值 f(1)=3-a=2.故选：A.二、多选题二

36、、多选题3.(2023上河北衡水高三校考阶段练习)若函数 f x=alnx+bx+cx2,a0既有极大值也有极小值，则()A.bc0B.ab0D.ac0,a0在 0,+内有两个不相等的实数根，即方程ax2-bx-2c=0 a0在 0,+内有两个不相等的实数根，不妨设两根分别为x1,x2，所以=b2+8ac0 x1+x2=ba0 x1x2=-2ca0，即a,c异号、a,b同号，从而b,c异号.故选：ACD.4.(2023上湖北武汉高三华中师大一附中校考期中)已知函数 f x及其导函数 fx的部分图象如图所示，10设函数g x=f xex，则g x()A.在区间 a,b上是减函数B.在区间 a,b

37、上是增函数C.在x=a时取极小值D.在x=b时取极小值【答案】BC【详解】根据图象得到 f x-fx的符号，即可得到gx的符号，进而得到g x的单调性和极值.【分析】结合图像可知，当x0，当axb时，f x-fxb时，f x-fx0，gx=fx-f xex，因ex0，故当xa时，gx=fx-f xex0，g x在区间-,a上单调递减，当ax0，g x在区间 a,b上单调递增，当xb时，gx=fx-f xex0，g x在区间 b,+上单调递减，故g x在x=a处取得极小值，在x=b处取得极大值，故选：BC三、填空题三、填空题5.(2023陕西宝鸡统考二模)若函数 f x=ex-e-x+13x3-

38、ax无极值点，则实数a的取值范围是.【答案】-,2【分析】若函数 f(x)无极值点，则导数 f(x)无变号零点，令g x=f(x)，根据gx的正负得出其单调性，即可根据导数无变号零点列不等式求解，即可得出答案.【详解】f x=ex-e-x+13x3-ax，则 fx=ex+e-x+x2-a，若函数 f x=ex-e-x+13x3-ax无极值点，则 fx=ex+e-x+x2-a无变号零点，令g x=fx=ex+e-x+x2-a，则gx=ex-e-x+2x，当x0时，0ex1，2x0，则ex-e-x0，则gx=ex-e-x+2x0时，ex1，0e-x0，则ex-e-x0，则gx=ex-e-x+2x0

39、，则g x在-,0上单调递减，0,+上单调递增，即 f(x)在-,0上单调递减，0,+上单调递增，在x=0处取得最小值，11若 fx=ex+e-x+x2-a无变号零点，则 f0=e0+e-0+02-a0，解得：a2，故答案为：-,2.6.(2023上山西临汾高三校考阶段练习)已知曲线 f x=x3+ax2+bx+1在点 1,f 1处的切线斜率为3，且x=23是y=f x的极值点，则函数的另一个极值点为.【答案】-2【分析】对函数求导，结合已知有 f1=3+2a+b=3，且 f23=43+43a+b=0，求得a=2,b=-4，再根据导数的符号判断单调区间，进而确定另一个极值点即可.【详解】由题设

40、 fx=3x2+2ax+b，则 f1=3+2a+b=3，且 f23=43+43a+b=0，所以a=2,b=-4，即 fx=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)，当x(-,-2)23,+，fx0，则(-,-2),23,+上y=f x递增；当x-2,23，fx0，则-2,23上y=f x递减；所以x=-2、x=23都是y=f x的极值点，故另一个极值点为x=-2.故答案为：-2【重难保分考点四】导数与函数最值【重难保分考点四】导数与函数最值一、单选题一、单选题1.(2022福建福州统考三模)已知函数 f x=cosxx2+1，以下结论中错误的是()A.f x是偶函数B.f x有无数个零点C.f

41、 x的最小值为-12D.f x的最大值为1【答案】C【分析】由奇偶性定义可判断出A正确；令 f x=0可确定B正确；根据 f x定义域为R R，f 1=-12，可知若最小值为-12，则x=1是 f x的一个极小值点，根据 f10可知C错误；由x=0时，cosx取得最大值，x2+1取得最小值可确定D正确.【详解】对于A，f x定义域为R R，f-x=cos-x-x2+1=cosxx2+1=f x，f x为偶函数，A正确；对于B，令 f x=0，即cosx=0，x=2+k kZ Z，解得：x=12+k kZ Z，f x有无数个零点，B正确；对于C，f 1=-12，若 f x的最小值为-12，则x=

42、1是 f x的一个极小值点，则 f1=0；fx=-x2+sinx+2xcosxx2+12，f1=2sin+2cos4=-120，x=1不是 f x的极小值点，C错误；对于D，-1cosx1，x2+11；则当cosx=1，x2+1=1，即x=0时，f x取得最大值1，D正确.故选：C.122.(2023陕西商洛统考一模)已知函数 f x=2 x-1ex-x2-ax在 R上单调递增，则a的最大值是()A.0B.16C.eD.3【答案】A【分析】求得 fx=2xex-2x-a，根据题意转化为a2xex-2x恒成立，设g x=2xex-2x，利用导数求得函数g x的单调性和最小值，即可求解.【详解】由

43、函数 f x=2 x-1ex-x2-ax，可得 fx=2xex-2x-a，因为 f x在R上单调递增，所以 fx=2xex-2x-a0恒成立，即a2xex-2x恒成立，设g x=2xex-2x，则gx=2x+2ex-2，当x0时，gx0时，gx0，则g x在-,0上单调递减，在 0,+上单调递增，所以g(x)min=g 0=0，即a0，所以实数a的最大值为0故选：A.二、多选题二、多选题3.(2023下福建厦门高二厦门一中校考期中)已知函数 f x=xex-m2x2-mx，则函数 f x在 1,2上的最小值可能为()A.e-32mB.-12mln2mC.2e2-4mD.e2-2m【答案】ABC

44、【分析】利用导函数对m进行分类讨论即可求出结果.【详解】fx=x+1ex-m，因为x 1,2，所以ex e,e2，当me时，x+10，ex-m0，所以 fx0，f x在 1,2单调递增，f xmin=f 1=e-32m；当em0，x 1,lnm,f(x)0,f x单调递增，f xmin=f lnm=-m2ln2m；当me2时，x+10，ex-m0，f x在 1,2单调递减，f xmin=f 2=2e2-4m，故选：ABC.4.(2023上广西河池高三贵港市高级中学校联考阶段练习)已知函数 f x=x2+3x+1ex，则下列结论正确的是()A.函数 f x存在三个不同的零点B.函数 f x既存在

45、极大值又存在极小值13C.若x t,+时，f(x)max=5e，则t的最大值为1D.当-e2k0时，方程 f x=k有且只有两个实根【答案】BCD【分析】求出函数的导数，判断单调性，即可求得极值，判断B；结合函数单调性以及零点存在定理可判断A；结合函数单调性以及极值可判断C；结合函数的图象，数形结合可判断D.【详解】由 f x=x2+3x+1ex可得 fx=-x2-x+2ex=-x+2x-1ex，令 fx=0，得x=1或x=-2，当x1时，fx0，即 fx在(-,-2),(1,+)上单调递减，当-2x0，即 fx在(-2,1)上单调递增，则 f x有极小值 f-2=-e2，极大值为 f 1=5

46、e，B正确；又 f-3=e30，f-2=-e20，故 f x在(-2,0)内有1个零点；当x0时，f x0，此时无零点，故函数 f x存在2个不同的零点，A错误；结合以上分析可作出函数图象：函数 f x在x=1时取极大值 f 1=5e，故x t,+时，f(x)max=5e，则t的最大值为1，C正确；结合函数图像可知当-e2k0时，f x图象与y=k只有2个交点，故方程 f x=k有且只有两个实根，D正确，故选：BCD三、填空题三、填空题5.(2023上宁夏银川高三校考阶段练习)函数 f x=xlnx，g x=x2-2x+a，若对任意的x11e,1，x21,2，使得 f x1g x2成立，则实数

47、a的范围是【答案】-,-1e【分析】利用导数研究其单调性，再根据恒成立问题求解.【详解】因为 fx=lnx+1，x11e,1，所以 fx0，故 f x在1e,1上单调递增，所以 f x-1e,0又g x=x2-2x+a=x-12+a-1，所以g x在 1,2上也是单调递增，所以g x a-1,a，14因为对任意的x11e,1，x2 1,2，使 f x1g x2成立，等价于 f x1min g x2max，即-1ea，故实数a的范围是-,-1e故答案为：-,-1e【点睛】关键点点睛：本题将所求转化为 f x1min g x2max是解题关键，利用导数等方法求出相应函数的最值即可解答.6.(202

48、3全国高三专题练习)(1)已知函数 f x=xex-a x+lnx+1，若 f x0恒成立，则正数a的取值范围是；(2)已知不等式xex-a x+1lnx对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是；(3)已知函数 f x=aex-lnx-1，若 f x0恒成立，则实数a的取值范围是；(4)已知不等式ex-1kx+lnx，对x 0，+恒成立，则k的最大值为【答案】0 x+1和lnx1时m(x)=1x-10,m x单调递减，当0 x0,m x单调递增，故当m(x)m 1=0，故lnx0,n(x)=ex-10,n(x)单调递增，当x0,n(x)=ex-1x+1(1)f x0 xex-a x+lnx+1

49、0ex+lnxa x+lnx+1，当x+lnx+10时，原不等式恒成立；当x+lnx+10时，aex+lnxx+lnx+1，由于ex+lnxx+lnx+1x+lnx+1x+lnx+1=1，当且仅当x+lnx=0等号成立，0a1(2)xex-a x+1lnxaxex-lnxx+1，由于xex-lnxx+1=ex+lnx-lnxx+1x+lnx+1-lnxx+1=1，a1(3)aex-lnx-10alnx+1ex，由于lnx+1x，exex，两者都是当且仅当x=1等号成立，则lnx+1exxex=1e，a1e(4)ex-1kx+lnxkexx-lnexx，由于lnx+1x，exx+1，所以lnx+

50、1=lnexx，ex-1xexex，两者都是当且仅当x=1等号成立，exxe，lnexx1，则exx-lnexxe-1，ke-1即k最大值为e-1故答案为：00，则g t单调递增，当t 0,1时，gt0，则g t单调递增，即当t=0时，g t有极大值，当t=1时，g t有极小值，要使g t=2t3-3t2+4m有三个零点，则g 00g 102-3+4m0，解得0m0，又函数y=f(x)存在两个极值点x1,x2，所以方程x2-4x+a=0在 0,+上有两个不相等的正实数根，则=16-4a0 x1+x2=40 x1x2=a0，解得0a4，又 f(x1)+f(x2)-x1+x2=12x21-4x1+