河北省2023-2024学年高三下学期省级联测考试（3月）数学试题含答案.pdf

《河北省2023-2024学年高三下学期省级联测考试（3月）数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《河北省2023-2024学年高三下学期省级联测考试（3月）数学试题含答案.pdf（15页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、20232024 高三省级联测考试数学试卷高三省级联测考试数学试卷班级班级_姓名姓名_.注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名答卷前，考生务必将自己的姓名班级和考号填写在答题卡上班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡

2、一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合210,2,3AxxxB=+-=N，则AB=（）A.0,1,2,3 B.0,2,3 C.1,2,3 D.2.已知复数z满足1 i1 iz-=+，则z=（）A.22i22-B.22i22-C.22i22+D.22i22-+3.将向量1,1OA=uuu r绕坐标原点O逆时针旋转60o得到OBuuu r，则OA AB=uuu r uuu r（）A.1

3、B.-1 C.2D.-24.已知1cos65a+=，则5sin26a+=（）A.325-B.325C.2325-D.23255.已知抛物线24yx=的焦点为F，准线为,l P是抛物线上位于第一象限内的一点，过点P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为150o，则PF=（）A.2B.43C.13D.36.甲乙丙丁 4 位同学报名参加学校举办的数学建模物理探究英语演讲劳动实践四项活动，每人只能报其中一项，则在甲同学报的活动其他同学不报的情况下，4 位同学所报活动各不相同的概率为（）更多全科无水印试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君河北省2023-2024学年高三下学期省级联测考试（3月）数

4、学试题A.118 B.332 C.29 D.897.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab-=的左右焦点分别为12,F F，过2F的直线交双曲线C的右支于,P Q两点，若213PFPQ=uuuu ruuu r，且212PFFF=uuuu ruuuu r，则双曲线C的离心率为（）A.2 B.4 C.6 D.38.设2ln 1 0.1,sin0.1,21abc=+=，则下列大小关系正确的是（）A.abc B.acbC.cab D.cba，若在区间0,上有且仅有两个不相等的实数12,x x，满足124f xf x+=，则w的取值范围为_.四四解答题：本题共解答题：本题共 5 小题，共小题，共

5、 77 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 13 分）记ABCV的内角,A B C的对边分别为,a b c，已知3 sincosaBbAb-=.（1）求A；（2）若2a=，求2bc-的范围.16.（本小题满分 15 分）2020 年 11 月，国务院办公厅印发新能源汽车产业发展规划（20212035 年），要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加快建设汽车强国.新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形

6、成的技术原理先进具有新技术新结构的汽车.为了了解消费者对不同种类汽车的购买情况，某车企调查了近期购车的 100 位车主的性别与购车种类的情况，得到如下数据：单位：人购车种类性别新能源汽车传统燃油汽车合计男20女50合计30100更多全科无水印试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君（1）补全上面的列联表，并根据小概率值0.001a=的独立性检验，判断购车种类与性别是否有关；（2）已知该车企的 A 型号新能源汽车有红白黑蓝四种颜色.现有三个家庭各计划购买一辆 A 型号新能源汽车，记购买的汽车颜色相同的家庭个数为x，求x的分布列与数学期望.附：22(),n adbcnabcdabcdacbdc-=

7、+.a0.100.050.0100.001xa2.7063.8416.63510.82817.（本小题满分 15 分）如图，已知平行六面体1111ABCDABC D-的棱长均为113,60A ABA ADDAB=o.（1）证明：1BDAA；（2）延长1CC到E，使11C EC C=，求直线1AC与平面BDE所成角的正弦值.18.（本小题满分 17 分）已知函数 esin1xf xax=-在区间0,2内有唯一极值点1x，其中,eaR为自然对数的底数.（1）求实数a的取值范围；（2）证明：f x在区间30,2内有唯一零点.19.（本小题满分 17 分）信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的

8、一个重要概念，香农在 1948 年发表的论文通信的数学理论中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量X所有可能的取值为*1,2,n nNL，且1()0(1,2,),1niiiP Xipinp=L，定义X的信息熵21()logniiiH Xpp=-.更多全科无水印试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君（1）当1n=时，计算H X；（2）若11,2,ipinn=L，判断并证明当n增大时，H X的变化趋势；（3）若*2nm m=N，随机变量Y所有可能的取值为1,2,mL，且211,2,jmjP Yjppjm+-=+=L，证

9、明：H XH Y.更多全科无水印试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君20232024 高三省级联测考试数学参考答案高三省级联测考试数学参考答案题号1234567891011答案AABCBCDCACDCDBCD1.A 解析：因为2100,1Axxx=+-=N，又2,3B=，所以0,1,2,3AB=.故选 A.命题意图本题考查知识点为集合的运算解不等式，考查了学生的数学运算素养.2.A 解析：因为1 i2+=，所以2 1 i2 1 i222i1 i1 i 1 i222z+=+-+，所以22i22z=-.故选 A.命题意图本题考查知识点为复数的运算共轭复数的概念，考查了学生的数学运算素养.3.B

10、 解析：因为22112OA=+=uuu r，且2OB=uuu r，所以2122212OA ABOAOBOAOA OBOA=-=-=-=-uuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r.故选 B.命题意图本题考查知识点为平面向量的线性运算，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.4.C 解析：因为25sin2sin 2cos22cos166266aaaa+=+=+=+-，所以5123sin2162525a+=-=-.故选 C.命题意图本题考查知识点为三角函数公式，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.5.B 解析：过点F作PQ的垂线，垂足为H，则60QFH=o，设

11、FHx=，因为2QH=，所以2tan60 x=o，所以2 33x=，所以1 2 314,13333PPF=+=.故选 B.命题意图本题考查知识点为抛物线的定义，直线的倾斜角，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.6.C 解析：设A=“甲同学报的活动其他同学不报”，B=“4 位同学所报活动各不相同”，由题得 4 3 3 3,4 3 2 1n An AB=，所以 4 3 2 124 3 3 39n ABP B An A =.故选 C.命题意图本题考查知识点为条件概率，考查了学生的数学抽象逻辑推理与数学运算素养.更多全科无水印试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君7.D 解析：因为2122PFFFc

12、=uuuu ruuuu r，所以122PFac=+uuur，又213PFPQ=uuuu ruuu r，所以24QFc=uuuu r，所以124QFac=+uuur，在12FPFV中，22222122(2)(2)(22)484cos2 228ccaccacaFF Pccc+-+-=，在12FQFV中，22222122(4)(2)(24)4164cos2 4216ccaccacaFF Qccc+-+-=，因为1212coscos0FF PFF Q+=，所以22222248441640816cacacacacc-+=，整理得330caca+-=，故3ca=，故离心率3cea=.故选 D.命题意图本题

13、考查知识点为双曲线的离心率，考查了学生的数学抽象逻辑推理与数学运算素养.8.C 解析：令 ln 1sin02f xxxx=+-，则 1cos1fxxx=-+，令 21,sin(1)g xfxgxxx+=-.当02x=-+，所以存在0,2t，使得 0g t=，且当0,xt时，0,gxg xfx=单调递增.又 100,0212ff=+，所以存在0,2m，使得 0fm=，且当,2xm时，0,fxf x单调递增；当0,xm时，0fx，f x单调递减.又 00,ln 11022ff=+-，所以当02x时，0f x，即ln 1sinxx+.当0.1x=时，则ln 1 0.1sin0.1+，即ab=-=+，

14、所以 10h xh=，当1.1x=时，则2ln1.121，即ac，故cab.故选 C.命题意图本题考查知识点为利用导数比较大小，考查了学生的数学抽象逻辑推理与数学运算素养.更多全科无水印试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君9.ACD 解析：对于A，由题可得abab=+，即111ab+=，故 A 正确；对于1B,2212 2 221abbbb+=+-+-，当且仅当212b=+时，等号成立，故 B 不正确；对于 C，112224baabababab+=+=+=，当且仅当2ab=时，等号成立，故 C 正确；对于 D，2222()4822abab+=，当且仅当2ab=时，等号成立，故 D 正确.故

15、选 ACD.命题意图本题考查知识点为基本不等式，考查了学生的数学抽象逻辑推理与数学运算素养.10.CD 解析：对于A，当4m时，1215mm+-=，解得174m=，当14m 时，124 15m+-=，解得3m=，当1m，故点P在圆O外，设点O到直线l的距离为d，由2PBPA=，得PAAB=，即222222|3rdPOd-=-，即223 210dd-=-，解得1d=，当直线l的斜率不存在时，即1x=，此时1d=，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为13yk x=-+，则2311kk-=+，解得43k=，故直线l的方程为4533yx=+.综上，直线l的方程为1x=或4533yx=+.命

16、题意图本题考查知识点为直线与圆的位置关系，考查了学生的逻辑推理与数学运算素养.14.13 25,66 解析：sin3cos2sin3f xxxxwww=+=+，令3txw=+，因为0 x，所以33tw+，所以59232w+，解得132566w=，根据小概率值0.001a=的独立性检验，我们推断0H不成立，即购车种类与性别有关，此推断犯错误的概率不大于 0.001.（2）由题得x的可能取值为0,2,3，1213143344333CCCAC3910,2,348416416PPPxxx=，所以x的分布列为x023P38916116因此，391210238161616Ex=+=.命题意图本题考查知识点

17、为独立性检验离散型随机变量的分布列及期望，考查了学生的数学抽象逻辑推理与数学运算素养.更多全科无水印试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君17.解：（1）证明：如图，连接AC，与BD交于点O，连接111,AB AD AO，由题意可得，在平行六面体1111ABCDABC D-中，11ABAD=，所以1BDAO，因为ABDV是等边三角形，所以BDAO，又因为1AOAOO=，所以BD 平面1A AO.因为1AA 平面1A AO，所以1BDAA.（2）过点1A作12A AAC，垂足为2A，由（1）可知，BD 平面1A AO.因为12A A 平面1A AO，所以12BDA A.因为ACBDO=，所以1

18、2A A 平面ABCD，因为三棱锥1AABD-为正四面体，所以2A为ABDV的重心，则2222123 3233,3(3)6232AAA OA A=-=.以O为原点，,OA OB所在直线分别为x轴，y轴，过点O垂直于底面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则13 333 333,0,0,0,6,0,0,0,0,0,022222AACBD-，则13,0,6AA=-uuur，因为11C EC C=，所以11222 3,0,2 6CECCAA=-uuu ruuuu ruuur，更多全科无水印试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君所以7 3,0,2 62E-，所以17 3 32 3,0

19、,6,0,3,0,2 622ACDBDE=-=-uuuruuu ruuur，设平面BDE的法向量为,na b c=r，则0,0,n DBn DE=uuu rruuurr所以30,7 332 60,22babc=-+=令2a=，则7 22,0,4n=r，设直线1AC与平面BDE所成角为q，则1115 3sincos,9n ACn ACn ACq=uuurruuurruuurr，所以直线1AC与平面BDE所成角的正弦值为5 39.命题意图本题考查知识点为立体几何中的线面关系和利用空间向量解决空间角，考查了学生的直观想象逻辑推理与数学运算素养.18.解：（1）ecosxfxax=-，当0,2x时，c

20、os0,1x，当0a时，0,fxf x在0,2上单调递减，没有极值点，不合题意；当0a，所以 010fa=-，此时 fx在0,2内有唯一零点1x，所以当10,xx时，0fx，所以 f x在0,2内有唯一极小值点1x，符合题意.更多全科无水印试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君综上，实数a的取值范围为1,0-.（2）证明：由（1）知10a-，所以当10,xx时，0,fxf x单调递增，所以当10,xx时，010f xfa=-，则 10f x，所以 f x在13,2x内有唯一零点，即 f x在30,2内有唯一零点.命题意图本题考查知识点为导数与极值点零点，考查了学生的数学抽象逻辑推理与数学运算

21、素养.19.解：（1）当1n=时，则11,1ip=，所以21 log 10H X=-=.（2）H X随着n的增大而增大.当11,2,ipinn=L，则222111logloglogH Xnnnnn=-=-=，设*2log,f nn n=N，则 22211log1loglog0nf nf nnnn+-=+-=，因此H X随着n的增大而增大.（3）证明：若*2nm m=N，随机变量Y所有可能的取值为1,2,mL，且211,2,jmjP Yjppjm+-=+=L.2222111()loglogmmiiiiiiH Xpppp=-=.122221222122121111loglogloglogmmmmp

22、ppppppp-+L.122221212122311111logloglognmmmmnmmH Ypppppppppppp-+-+=+=+L12222122212221221121111loglogloglogmmmmmmpppppppppppp-+L.更多全科无水印试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君由于01,2,2ipim=L，所以21110iimippp+-+，所以222111loglogiimippp+-+，所以222111loglogiiiimippppp+-+，所以 H XH Y.命题意图本题考查知识点为对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，考查学生的逻辑推理能力和数学运算素养.更多全科无水印试卷尽在网盘群，请关注公众号：高中试卷君