四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三下学期入学考试理科数学试卷含答案.pdf

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1、2024年2月绵阳南山中学高2021级高三下期入学考试题绵阳南山中学高2021级高三下期入学考试题数学(理科)数学(理科)命题人：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设全集U=0,1,2,4,6,8，集合M=0,4,6,N=0,1,6，则MUN=()A 0,1,4,6,8B0,2,4,6,8C1,2,4,6,8DU2设aR，若复数a-2i2+i在复平面内对应的点位于虚轴上，则a=()A-4B1C-1D43执行如图所示的程序

2、框图，输出的S=()A25B22C18D13754已知向量a,b,c，满足a+b+c=0，a=3,c=4，且ac，则a-b+c=()A5B5 2C10 2D105设等比数列an的各项均为正数，前n项和Sn，若a1=1，S7=9S4-8，则S5=()A31B658C15D1586逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为()A56B

3、78C34D20217设甲：sin2+sin2=1，乙：+=2，则()A甲是乙的必要条件但不是充分条件B甲是乙的充分条件但不是必要条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8已知双曲线C：x2a2-y2b2=1 a0,b0，C的一条渐近线与圆x-12+y-22=2第1页共4页交于A,B两点，若AB=2，则双曲线的离心率为()A53B5C54D4392023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，

4、每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为()A14B36C26D5010已知函数f x=sinx,x 0,2的图象与直线y=a x-1有3个交点，则实数a的取值范围为()A-,-B-1,0C-,0D-,011如图，在四棱锥S-ABCD中，SA平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，ABC=60且SA=AB=BC=2,E为SA的中点，则异面直线SC与DE所成的角的余弦值为()A105B2 55C55D15512已知椭圆C：x2a2+y2b2=1 ab0的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，若A

5、F1=3 AF2，点M满足F1M=3MF2，且AMF1B，则椭圆C的离心率为()A13B63C23D33第第II II卷卷(非选择题，共非选择题，共9090分分)二、填空题二、填空题:本大题共本大题共4 4小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共2020分分.13已知函数f x=a-1x2+asinx为偶函数，则实数a=.14若x，y满足约束条件x+y0 x-2y0 x-y2，则z=x+3y的最小值为.15如图，在平面四边形ABCD中，BAC=ADC=90，AB=3，第2页共4页AC=2，则BD的最大值为；16已知正四棱锥P-ABCD的顶点均在球O的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球O体积的

6、最小值为.三、解答题三、解答题:共共7070分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第1717 2121题为必考题，每个试题题为必考题，每个试题考生都必须作答考生都必须作答.第第2222、2323题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.(一一)必考题：必考题：6060分分17(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，2Sn=3an-2，其中nN N*(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=n-12an，数列bn的前n项和Tn，若对任意nN N*且n2，2 Tn-1(n-1)恒成立，求实数的取值范围18(本小题满分12分)

7、如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，ACB=120，AA1=A1B=2，A1AC=60(1)证明：平面ABC平面A1ACC1；(2)若BP=13BA，求二面角C-A1P-B1的正弦值19(本小题满分12分)为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的14，男生有10人表示不喜欢看足球比赛.(1)完成下面22列联表，试根据小概率值P K2k0=0.001的独立性检验，判断能否认为喜爱观看足球比赛与性别有关联？第3页共4页男女合计喜爱看足球比赛不喜爱看足球比赛合计60(2)在不喜爱观看足球比赛

8、的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为X，求X的分布列和期望.附：K2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.P K2k00.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.82820(本小题满分12分)已知抛物线y2=2px(p0)上的点Q到焦点的距离为8，点Q到x轴的距离为7p.(1)求抛物线的方程；(2)取抛物线上一点P a,1，过点P作两条斜率分别为k1,k2的直线与抛物线交于A,B两点，且k1k2=2，则直线AB是否经过一个定点？若经过定

9、点，求出该点坐标，否则说明理由.21(本小题满分12分)已知函数f x=aln x-1+a+2x+1,a0.(1)讨论f x的单调性；(2)设F x=f x+2sin x-1-4x，求证：当a=1时，F x恰有两个零点.(二二)选考题：共选考题：共1010分分.请考生在第请考生在第2222、2323题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程(10分)22已知圆C的参数方程为x=-1+4cosy=1+4sin(为参数)，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的极坐标方程；(2)若直线l的参数

10、方程是x=tcosy=tsin(t为参数，为直线l的倾斜角)，l与C交于A，B两点，|AB|=2 14，求l的斜率.选修4-5：不等式选讲(10分)23已知函数f(x)=|x-3|+2|x+5|的最小值为m(1)求m的值；(2)若a0，b0且ab=1，求12a+12b+ma+b的最小值第4页共4页绵阳南山中学高 绵阳南山中学高 20212021级高三下期入学考试试题级高三下期入学考试试题理科数学答案理科数学答案一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题 5 5 分，共 6060 分。1-5:BCADA6-10:BACDC11-12:AD二、填空题：本大题共4 4个小题，每小题5 5分，共20

11、20分13.014.-215.316.2716三、解答题：共 7070 分。17.解(1)(1)当n=1时，2a1=3a1-2,a1=2，当n2时，2Sn=3an-2,2Sn-1=3an-1-2，两式相减，得2an=3an-3an-1,an=3an-1，又a1=20，所以数列 an为等比数列，首项为2，公比为3，所以数列 an的通项公式是an=23n-1.6分(2)由(1)知，bn=2n-12an=(2n-1)3n-1，Tn=130+331+532+(2n-1)3n-1，则有3Tn=131+332+533+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n，两式相减得：-2Tn=1+2 3+32+33+3

12、n-1-(2n-1)3n=1+23 1-3n-11-3-(2n-1)3n=-(2n-2)3n-2，于是得Tn=(n-1)3n+1，因为nN*且n2，2 Tn-1(n-1),23n，当n2时，数列 23n是递增数列，所以23n的最小值为18，因此18.12分18.解(1)如图，连接A1C，在 A1AC中，A1A=2，AC=1，A1AC=60，由余弦定理，得A1C2=AA21+AC2-2AA1ACcosA1AC=4+1-22112=3，所以A1C=3，所以A1C2+AC2=A1A2，所以A1CAC，同理A1CBC，又BCAC=C，AC，BC平面ABC，所以A1C平面ABC，又A1C平面A1ACC1

13、，所以平面ABC平面A1ACC16分(2)由平面几何知识可知，ACCP，以C为坐标原点，以CA,CP，CA1为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，第1页共4页则A 1,0,0，B-12,32,0，A10,0,3，所以AA1=-1,0,3，AB=-32,32,0设平面A1AB的法向量为m=x1,y1,z1，则mAA1 =-x1+3z1=0mAB=-32x1+32y1=0，令z1=1，得m=3,3,1又平面CA1P的法向量为n=1,0,0，cos=33+9+1=3913，所以二面角C-A1P-B1的正弦值为13013 12分19.解(1)根据表格数据可知抽取的女生共40人，喜欢观

14、看足球比赛的女生为4014=10人，可得得22列联表如下：男女合计喜爱看足球比赛501060不喜爱看足球比赛103040合计6040100根据列联表中的数据计算得k=100(50301010)260406040=12253634.02810.828根据小概率值P(K2k0)=0.001的独立性检验，即认为喜爱观看足球比赛与性别有关联.6分(2)按照分层随机抽样的方式抽取8人，根据抽样比可知其中男生2人，女生6人，则X的可能取值为0,1,2，P X=0=C26C28=1528,P X=1=C16C12C28=37，P X=2=C22C28=128，所以X的分布列为X012P152837128期望

15、值E X=01528+137+2128=12.12分20.解(1)y2=2px(p0)，准线为x=-p2，点Q分别向x轴和准线做垂线，垂足为M,N，则MQ=7p，QN=QF=8，所以Q 8-p2,7p，又点Q在抛物线上，所以7p2=2p 8-p2，即p2-2p=0，解得p=2或p=0(舍)，所以抛物线的方程为y2=4x.5分(2)点P a,1在y2=4x上，所以1=4a，解得a=14，所以P14,1，设A x1,y1,B x2,y2，第2页共4页k1=y1-1x1-14=y1-1y124-14=4y1+1，同理，k2=4y2+1，所以k1k2=4y1+14y2+1=2，即16y1+1y2+1=

16、2，设直线AB为x=my+n，则y2=4xx=my+n，即y2-4my-4n=0，所以y1+y2=4m，y1y2=-4n，所以16y1+1y2+1=16y1y2+y1+y2+1=16-4n+4m+1=2，解得n=m-74，代入到直线方程x=my+n，得x=my+m-74，即x+74=y+1m，当y+1=0，即y=-1时，x=-74，所以直线AB过定点-74,-1.12分21.解(1)fx=ax-1+a+2=a+2x-1+ax-1=a+2x-2x-1,x1.当a=-2时，fx=-2x-10,f x在1,+上单调递减.当-2a0时，在1,2a+2上，有fx0,故f x在1,2a+2上单调递减，2a

17、+2,+上单调递增.当a0时，a+2x2,a+2x-20,f x在1,+上单调递增.当a-2时，a+20,a+2x-20,f x在1,+上单调递减.综上所述，当-2a0时，f x在1,+上单调递增.当a-2时，f x在1,+上单调递减.6分(2)a=1时，F x=ln x-1+2sin x-1-x+1.令h x=lnx+2sinx-x(x0)，则hx=1x+2cosx-1.令m x=hx,mx=-1x2-2sinx.(i)当x 0,1时，hx0恒成立，h x在 0,1上单调递增.又h 1=2sin1-10，h e-2=-2+2sine-2-e-20存在一个零点x1,x1 0,1，使h x1=0

18、.(ii)当x 1,，mx=-1x2-2sinx0恒成立，m x在 1,上单调递减.又m=1-2-10.存在零点x0，使m x0=0.x 1,x0,hx0，x x0,hx0,h x00.h=ln-0，存在一个零点x2,x2 x0,，使h x2=0.(iii)当x,32，hx=1x-1+2cosx0恒成立.h x在,32单调递减.h xh=ln-0恒成立.h x在,32没有零点.第3页共4页()当x32,+时，lnx+2sinx-xlnx+2-x下面来证明当x32,+时，lnx+2-x0.n x在32,+上单调递增，n xn32,32-2-ln322-ln320，lnx+2-x0恒成立.综上所述

19、，h x在 0,+只有两个零点.又F x是由h x向右平移一个单位所得，F x在1,+只有两个零点.12分22.解(1)由题意可得：圆C的普通方程为x+12+(y-1)2=16，将x=cos,y=sin，x2+y2=2代入普通方程，得2+2 cos-sin-14=0，故圆C的极坐标方程为2+2 cos-sin-14=0.5分(2)由题意可知：直线l过坐标原点，倾斜角为 0,的直线，在极坐标系中，直线l的极坐标方程为=R R，设A，B所对应的极径分别为1,2.将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得2+2 cos-sin-14=0，于是1+2=sin-cos,12=-14，可得AB=1-2=1+22

20、-412=57-sin2=2 14，则sin2=1，且 0,，则2 0,2，可得2=2，即=4，所以l的斜率为k=tan=1.10分23.(1)解法一：当x3时，f(x)=(x-3)+2(x+5)=3x+7，此时f(x)单调递增，所以f(x)的最小值为16；当-5x3时，f(x)=-(x-3)+2(x+5)=x+13，此时f(x)单调递增，故8 f(x)16；当x-5时，f(x)=-(x-3)-2(x+5)=-3x-7，此时f(x)单调递减，所以f(x)的最小值为f(-5)=8，综上，f(x)的最小值为8，故m=8；5分解法二：f(x)=x-3+x+5+x+5(x-3)-(x+5)+x+5=8+x+58，当且仅当x=-5时等号成立，所以f(x)的最小值为8，故m=8；(2)12a+12b+8a+b=a+b2ab+8a+b=a+b2+8a+b2a+b28a+b=4，当且仅当a+b=4，即a=2+3b=2-3 或a=2-3b=2+3 时等号成立，所以12a+12b+ma+b的最小值为4 10分第4页共4页