安徽省“江南十校”2023-2024学年高三下学期3月联考数学含答案.pdf

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1、#QQABCYSQgggAAAJAAQgCUwFoCgGQkACAAAoOxAAAsAIByRNABAA=#QQABCYSQgggAAAJAAQgCUwFoCgGQkACAAAoOxAAAsAIByRNABAA=#QQABCYSQgggAAAJAAQgCUwFoCgGQkACAAAoOxAAAsAIByRNABAA=#QQABCYSQgggAAAJAAQgCUwFoCgGQkACAAAoOxAAAsAIByRNABAA=#120242024 届安徽省届安徽省“江南十校江南十校”联考联考数学试题评分参考数学试题评分参考一、单项选择题一、单项选择题1已知集合21,021xAxBxx，则AB（）A1

2、1xx B01xxC1x x D0 x x【解析】由21x得0 x，由210 x得11x，所以|1ABx x【答案】C2已知复数z满足(12)43i zi，则z=（）A2 iB2 iC25iD25i【解析】431052125iizii，所以 2zi【答案】A3已知向量a,b满足(1,)(3,1)m，abab若ab，则实数m（）A13B13C 3D3【解析】由于(1,)(3,1)m，abab，所以11(2,),(1,)22mm ab，又因为ab，所以112022mm，解得13m【答案】B4 已知函数()3sin(2)(|)2f xx的图象向右平移6个单位长度后，得到函数()g x的图象，若()g

3、 x是偶函数，则为A6B6C3D3【解析】将函数()3sin(2)(|0)f xx的图像向右平移6个单位长度后得到()g x的图象，则()sin(32)g xx，因为()g x是偶函数，所以2023k，kZ，即56k，kZ，又|2，令1k ，可得6【答案】B5酒驾严重危害交通安全为了保障交通安全，交通法规定：机动车驾驶人每100ml血液中酒精含量达到2079mg为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车若某机动车驾驶员饮酒后，其血液中酒精含量上升到了1.2/mg ml假设他停止饮酒后，其血液中酒精含量以每小时20%的速度减少，则他能驾驶需要的时间至少为（精确到0.001参考数据：lg20.3010，

4、lg30.4771）A7.963小时B8.005小时C8.022小时D8.105小时【解析】由已知得：1.20.80.2x，所以lg6lg2lg313lg213lg2x即0.30100.47710.77818.0221 3 0.30100.0970 x，所以8.022x【答案】C26已知函数 1lnf xxx在点(1,1)处的切线与曲线2(1)2yaxax只有一个公共点，则实数a的取值范围为A1,9B0 1,9，C 1,9 D0,1,9【解析】由211()fxxx得(1)2f所以切线方程是2(1)123yxx 若0a，则曲线为2yx ，显然切线与该曲线只有一个公共点；若0a，则223(1)2x

5、axax即2(3)+1=0axax由2(3)40aa，即21090aa得19aa或综上：019aaa或或【答案】B7已知圆228120C xyx:，点(0,3)M过原点的直线与圆C相交于两个不同的点,A B则MAMB的取值范围为A72,72B7+23，C2 74,2 74D6 2 7+4，【解析】设AB的中点为点P，则2MAMBMP，由垂径定理知CPOP，则可得点P的轨迹E为以OC为直径的圆（圆C内部的圆弧）其方程为22:(2)4(34)Exyx，则可得点(0,3)M到轨迹E上点P的距离取值范围为7+23，从而2MAMBMP的取值范围为6 2 7+4，【答案】D8 已知数列na的前n项和为,n

6、S数列 nb的前n项和为nT，且111nnaSna，11nnba，则使得nTM恒成立的实数M的最小值为A1B32C76D2【解析】当1n时，211 2aa 当2n时，11nnaSn 所以11(1)nnnnaaSnSn ，即121nnaa所以11 2(1)nnaa 则1,2nan为等比数列，21,13 21,2nnnan即2n时，213 2nna 所以2211117117(1)23226326nnnT，得76M【答案】C3二、多项选择题二、多项选择题9箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况资料的统计图，因形似箱子而得名在箱线图中（如图 1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上下底，分别是数

7、据的上四分位数（75%分位数）和下四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）图 2 为某地区 2023 年 5 月和 6 月的空气质量指数(AQI)箱线图AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过 200，说明污染严重则(第 9 题图 1)(第 9 题图 2)A该地区 2023 年 5 月有严重污染天气B该地区 2023 年 6 月的AQI值比 5 月的AQI值集中C该地区 2023 年 5 月的AQI值比 6 月的AQI值集中D从整体上看，该地区 2023 年 5 月的空气质量略好于 6

8、 月【解析】对于 A 选项可以从图 2 所示中 5 月份有AQI值超过 200 的异常值得到判断（也可以通过异常值结合观察 5 月份的平均值高于中位数辅助判断）；对于 B，C 选项，图 2 中 5 月份的箱体高度比 6 月份的箱体高度小，说明 5 月的AQI值比 6 月的AQI值集中；对于 D 选项，虽然 5 月有严重污染天气，但从图2 所示中 5 月份箱体整体上比 6 月份箱体偏下且箱体高度小，AQI值整体集中于较小值，说明从整体上看，该地区 2023 年 5 月的空气质量略好于 6 月【答案】ACD10已知抛物线2:2E ypx的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上的点P（原点除外）反射

9、，则反射光线平行于x轴 经过点F且垂直于x轴的直线交抛物线E于,B C两点，经过点P且垂直于x轴的直线交x轴于Q；抛物线E在点P处的切线l与,x y轴分别交于点,M N，则下列说法成立的是A2PQBFQFB2PQBCOQCPFMFDFNl【解析】对于 A，B 选项，设点(,)P x y，而2PQpx，而,2pBFp QFx，2pBFQFpx，则 A 选项错误，又2,BCp OQx，则 B 选项正确；对于 C 选项，如下图所示，过点P作x轴的平行线RH，与抛物线E的准线KH交于点H，又题意所给抛物线的光学性质可得SPRMPF，又SPRPMF，所以MPFPMF，从而PFMF；对于 D 选项，因为S

10、PRHPM，所以MPFHPM，即PM为HPF的角平分线，又由抛物线定义知PHPF，结合PFMF，可得菱形MFPH，而y轴经过线段FH中点，从而PM与y轴的交点即为点N，所以FNl4【答案】BCD11已知点 S,A,B,C 均在半径为5的球面上，ABC是边长为2 3的等边三角形，SABC，3 2SA，则三棱锥 S-ABC 的体积可以为（）A33B335C3 3D51【解析】方法一：如图，设三棱锥 S-ABC 的外接球球心为 O，ABC的中心为1O，连接1,AO SO AO，延长1AO交 BC 于 D，连接 SD，则 D 是 BC 中点，所以,BCAD又BCSA，所以BCSAD 平面，又因为BCA

11、BC 平面，所以SADABC平面平面，过S作AD的垂线，垂足为G，则SGABC 平面，在1Rt AOO中，1541OO，设,AGd SGh,过 O 作 SG 的垂线，垂足为 E 若1AO、在 SG 的同侧，则在Rt SAG中有2218dh，在Rt SOE中有22(2)(1)5dh，联立得35215hd或33hd，所以三棱锥 S-ABC 的体积为335或3 3；若1AO，在 SG 的异侧，同理可解得35215hd或33hd，与2d矛盾（舍去）【答案】BC方法二：设三棱锥 S-ABC 的外接球球心为 O，连接AO并延长交大圆于 F，过 S 作 AD 的垂线，垂直为 G，可证得SGABC面（1）若点

12、 S 在直线 AF 的上方，设,SAFFAG，则11tan,tan32所以tantantantan()11tantanSAG，4SAG可得2sin3 232SGASSAG113 33ABCVSSG（2）若点 S 在直线 AF 的下方，则11tan,tan325所以tantan1tantan()1tantan7SAG，2sin10SAG可得23sin3 2105SGASSAG213 335ABCVSSG，故选 BC【答案】BC三、填空题三、填空题12从0,2,4,6中任意取 1 个数字，从1,3,5中任意选 2 个数字，得到没有重复数字的三位数在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为【解

13、析】若 0 在，则三位数有122312C A；若 0 不在，则三位数有12333354C C A 所以没有重复数字的三位数有 66 个，其中偶数的个数是124324C A 个，所以在所组成的三位数中任选一个，是偶数的概率是2446611【答案】41113 若函数2f x为偶函数，15yg x是奇函数，且 22fxg x，则2023=f_【解析】由2f x为偶函数，得2(2)fxfx，由15yg x是奇函数，得15(1)5gxgx ，即(2)()10gxg x由 22fxg x，得 22f xgx+相加得：(2)()6()fxf x 用2 x代换x得(2)()6fxf x 从而(4)(2)6fx

14、f x 故4()f xf x所以 4 是 yf x的一个周期故2023=(3)(1)fff结合()式得(3)(1)3ff【答案】314在平面直角坐标系xOy中，过双曲线2222:1xyEab(00)ab，的右焦点F的直线在第一、第二象限交E的两渐近线分别于,M N两点,且OMMN若23OMMNONa，则双曲线E的离心率为【解析】如图，设,2FOMMON，因为OMMN，易知FMb，tanba，所以OMa；又23OMMNONa，所以13MNONa，在直角OMN中，利用勾股定理可得43MNa，所以4tan23，求得1tan2（负值舍去），也即1tan2tanba，所以可得离心率为5【答案】56四、解

15、答题四、解答题15已知,abc分别是ABC三个内角,A B C的对边，且3 sincoscAaCbc(1)求A;(2)若2BC，将射线BA和CA分别绕点,B C顺时针旋转15,30，旋转后相交于点D(如图所示)，且30DBC，求AD15.【解析】（1）因为3 sincoscAaCbc所以3sinsinsincossinsinCAACBC又因为sinsin()sincoscossinBACACAC所以3sinsincossinsinCAACC（3 分）由于sin0C，所以3sincos1AA，即1sin()62A，又5666A，则66A，因此3A（6 分）（2）在ABC中，由正弦定理得2 6si

16、nsin3BCACABCBAC在BDC中，由于45BDC由正弦定理得sin2sinBCCDDBCBDC（10 分）于是，在ACD中，由余弦定理得：2282 6362cos2223323ADACCDAC CDACD （13 分）716如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，1,PBAB2ADPD,60BAD.（1）求证：平面PAB 平面ABCD；（2）若二面角PBDA的大小为120，点E在棱PD上，且2PEED，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.【解析】（1）证明：由余弦定理得22122 1 2cos603BD 所以222ADABBD，222PDPBBD因此ABBD，PBBD又

17、因为,ABPBB AB PB平面PAB所以BD 面PAB又因为BD 平面ABCD故平面PAB 平面ABCD（6 分）（2）由于ABBD，PBBD所以二面角PBDA的平面角为PBA，即PBA0120（7 分）在平面PAB内过点B作AB的垂线，交AP于F由平面PAB 平面ABCD，得BF 平面ABCD以B为坐标原点，,BA BD BF ，为,x y z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz则13(0,0,0),(0,3,0),(1,3,0)(,0,)22BDCP，（9 分）设平面PBC的法向量为(,)nx y z，由于(1,3,0),BC 13(,0,)22BP 则00n BCn BP ，即

18、3013022xyxz，令3x，则1yz8所以(3,1,1)n（11 分）设直线CE与平面PBC所成角为2533(,)3636CECPPECPPD|sin|cos,|CE nCE nCEn 2 36352513536336因此直线CE与平面PBC所成角的正弦值为65（15 分）17某产品的尺寸与标准尺寸的误差绝对值不超过 4mm 就视为合格品，否则视为不合格品.假设误差服从正态分布且每件产品是否为合格品相互独立.现随机抽取 100 件产品，误差的样本均值为 0，样本方差为 4.用样本估计总体.（1）试估计 100 件产品中不合格品的件数(精确到 1)；（2）在（1）的条件下，现出售随机包装的

19、100 箱该产品，每箱均有 100 件产品.收货方对每箱中产品均不放回地随机抽取进行检验且箱与箱之间检验相互独立.每箱按以下规则判断是否接受一箱产品：如果抽检的第 1 件产品为不合格，则拒绝整箱产品；如果抽检的第 1 件产品合格，则再抽 1 件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整箱产品，否则拒绝整箱产品.若整箱产品通过检验后生产方获利1000元；整箱产品被拒绝，则亏损 89 元，求该 100 箱产品利润的期望值.附：若随机变量Z服从正态分布2(,)N，则()0.6827,PZ(22)0.9545,PZ(33)0.9973.PZ【解析】（1）分别用样本均值和样本标准差估计正态分布的参数和，得产品

20、的尺寸误差2(0,2)XN，(4)(22)0.9545P xPZ，因此估计这批产品的合格率为95.45%因此样本的不合格品率为1 0.95450.0455，所以估计 100 件产品中有100 0.04554.555件不合格品(6 分)（2）方法一：设1A“抽检的第 1 件产品不合格”，2A“抽检的第 2 件产品不合格”，则一箱产品被拒绝的事件为112()AA A9因此1121121121()()()()()()P AA AP AP A AP AP A P A A59559710010099990(10 分)设 100 箱产品通过检验的箱数为Z，则893(100,)990ZB所以 100 箱利润

21、1000(89)(100)10898900WZZZ 因此平均利润893()(10898900)1089()89001089 1008900990E WEZE Z89330（元）(15 分)方法二：记一个整箱产品被拒绝为事件 A，则295210097()1990CP AC (10 分)设整箱产品的利润为随机变量，则97(89)990P，97893(1000)1990990P 所以97893884367()891000990990990E 设 100 箱该产品的利润为随机变量X，则100X所以()(100)100()89330E XEE（元）(15 分)18已知矩形ABCD中，2 6,2 2ABB

22、C，,E F G H分别是矩形四条边的中点，以矩形中心O为原点，HF所在直线为x轴，EG所在直线为y轴，如图建立平面直角坐标系直线,HF BC上的动点,R S满足,()OROF CSCFR (1)求直线ER与直线GS交点P的轨迹方程；(2)当63 时，过点R的直线m（与x轴不重合）和点P的轨迹交于,M N两点，过点N作直线:3l x 的垂线，垂足为点Q设直线MQ与x轴交于点K，求KMN面积的最大值【解析】（1）设点P x y(,)，0RR x(,)，6SSy(,)由OROF 得6Rx，即60R(,)由CSCF 得2 1Sy()，即62 1S(,()当0时，直线226ERyx:10直线226GS

23、yx:由消去参数得21223yyx()()即221062xyx()；当0时，得交点02P(,)；综上：直线ER与直线GS交点P的轨迹方程：2210262xy(,)不含点(6 分)（2）当63 时，点2 0R(,)，过点R的直线m可设为22xtyt()代入22162xy得22236tyy()即22(3)420tyty设1112(,),(,)M x yN x y则12122242,33tyyy ytt由题得2(3,)Qy则直线1221:(3)3yyMQ yyxx所以令0y 得212111212(3)33kyxy xyxyyyy(8 分)又因为1112122 2xtyty yyy,()，代入上式得：

24、122121112211212121()23(2)3232kyyyyy tyyty yyyxyyyyyy1212555222yyyy 所以直线MQ过定点5(,0)2K(12 分)由于121212115122224KMNSKR yyyyyy 而2221212122222481()4()2 633(3)ttyyyyy yttt(14 分)令21(1)ntn12212 62 64444nyynnnn1112 632 44当且仅当2n，也即1t 等号成立此时34KMNS所以KMN面积的最大值为34(17 分)19已知函数()(),xf xxa ex aR，()fx是()f x的导函数.（1）证明：()

25、fx在(,)上有唯一零点0 x；（2）设函数221()(1)(1)2xg xxaxexx.当4,2ea时，求函数()g x的单调区间；当4(,)2ea 时，讨论函数()g x零点的个数.【解析】（1）()=(1)1xfxxae由()0fx得，110 xxae 令1()1xh xxae，则1()10 xh xe 所以()h x为R上的增函数又11(1)0ah ae若0a，由于11aa 且11(1)20ah ae若0a，由于1aa 且11()12(1)20aahaaaee 综上：存在唯一零点0(,)x ，使得0()0h x即()fx在(,)上有唯一零点0 x(5 分)（2）()(1)(1)(1)x

26、g xxxaex1(1)(1)xxxxaee 由（1）知，1()1xh xxae 有唯一零点0 x且为增函数，所以()0g x的根为01,x又434(1)022eehaee ，则01x 所以由()0g x得01xxx 或；由()0g x得01xx 所以函数()g x的递增区间是0(,1),(,)x；递减区间是0(1,)x(9 分)由(0)0g得 0 是函数()g x的一个零点（）若42eea，由同理可得01x 12当(,1)x 时，()0g x，则()g x单调递增当0(1,)xx 时，()0g x，则()g x单调递减当0(,)xx时，()0g x，则()g x单调递增又因为24()=(1)

27、02aeg xge极大值所以()g x仅有一个零点 0；（）若ae，则(1)110hee ，即01x 则()0g x，所以(,)()xg x 时，单调递增.所以()g x仅有一个零点 0；（）若ae，则(1)0hae ，所以01x 当0(,)xx 时，()0g x，则()g x单调递增当0(,1)xx时，()0g x，则()g x单调递减当(1,)x 时，()0g x，则()g x单调递增所以022000001()=()(1)(1)2xg xg xxaxexx极大值02200001(1)(1)2xxexexx因为01x ，所以22001111(1)(1)10222xx 当20010 xex 时，02200001(1)(1)02xxexexx当20010 xex 时，0222200000000111(1)(1)(1)(1)22xxexexxxexxxe2200000111(1)1(1)02222exexxxx 所以()g x仅有一个零点 0综上：当4(,)2ea 时，函数()g x仅有一个零点 0(17 分)