第六节　利用空间向量求空间角与距离.pptx

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1、第六节利用空间向量求空间角与距离成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题.2.能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.CONTENTS/目录目录CONTENTS010102020303/目录目录知识知识 逐点夯实逐点夯实考点考点 分类突破分类突破课时课时 过关检测过关检测目录0101目录1.异面直线所成角提醒两异面直线所成的角为锐角或直角，

2、而不共线的向量的夹角的范围为（0，），所以公式中要加绝对值.目录2.直线与平面所成角目录3.平面与平面的夹角目录目录4.空间距离目录（3）两异面直线间的距离：即两条异面直线公垂线段的长度.目录1.判断正误.（正确的画“”，错误的画“”）（1）两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.（）答案：（1）（2）直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.（）答案：（2）目录（3）两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.（）答案：（3）答案：（4）目录A.30B.60C.120D.150目录3.（2020新高考卷）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷

3、面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A.20B.40C.50D.90目录解析：B过球心O、点A以及晷针的轴截面如图所示，其中CD为晷面，GF为晷针所在直线，EF为点A处的水平面，GFCD，CDOB，AOB40，OAEOAF90，所以GFACAOAOB40.故选B.目录4.已知点M（0，1，2），平面过原点，且平面的法向量n（1，2，2），则点M到平面的距离为.答案：2目录5.过正

4、方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP夹角的大小为.答案：45目录最小角定理如图，若OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面内的射影，OC为平面内的一条直线，其中为OA与OC所成的角，1为OA与OB所成的角，即线面角，2为OB与OC所成的角，那么cos cos 1cos 2.目录已知AO为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面内的射影，直线OC在平面内，且AOBBOC45，则AOC的大小为（）A.30B.45C.60D.90目录0202目录直线与平面所成的角（1）证明：BDPA；目录解（1）证明：如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则

5、OBDC1.又DCOB，所以四边形DCBO为平行四边形.又BCOB1，所以四边形DCBO为菱形，所以BDCO.同理可得，四边形DCOA为菱形，所以ADCO，所以BDAD.因为PD底面ABCD，BD底面ABCD，所以PDBD，又ADPDD，AD，PD平面ADP，所以BD平面ADP.因为PA平面ADP，所以BDPA.目录（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值.目录目录解题技法向量法求直线与平面所成角的2种方法（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（或钝角的补角），取

6、其余角就是斜线和平面所成的角.目录（1）证明：ABPM；目录解：（1）证明：因为底面ABCD是平行四边形，ABC120，BC4，AB1，且M为BC的中点，所以CM2，CD1，DCM60，易得CDDM.又PDDC，且PDDMD，PD，DM平面PDM，所以CD平面PDM.因为ABCD，所以AB平面PDM.又PM平面PDM，所以ABPM.目录（2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.目录目录平面与平面的夹角（二面角）【例2】（2022新高考卷）如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，ABAC，E为PB的中点.（1）证明：OE平面PAC；目录解（1）证明：如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE

7、.因为APPB，所以PDAB.因为PO为三棱锥PABC的高，所以PO平面ABC，因为AB平面ABC，所以POAB.又PO，PD平面POD，且POPDP，所以AB平面POD.因为OD平面POD，所以ABOD，又ABAC，所以ODAC，因为OD平面PAC，AC平面APC，所以OD平面PAC.目录因为D，E分别为BA，BP的中点，所以DEPA，因为DE平面PAC，PA平面PAC，所以DE平面PAC.又OD，DE平面ODE，ODDED，所以平面ODE平面PAC.又OE平面ODE，所以OE平面PAC.目录（2）若ABOCBO30，PO3，PA5，求二面角CAEB的正弦值.目录目录目录解题技法向量法求平面

8、与平面夹角（二面角）的方法（1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；（2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.目录如图所示，在四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD.（1）求证：ABPD；解：（1）证明：因为四边形ABCD为矩形，所以ABAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以AB平面PAD，故ABPD.目录目录目录目录距离问题【例3】如图，正三棱柱ABCA

9、1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.（1）求点N到直线AB的距离；目录目录（2）求点C1到平面ABN的距离；目录（3）求直线AA1到直线BN的距离.目录目录目录（1）求证：CD平面ABB1A1；目录解：（2）取BC中点为O，B1C1中点为Q，连接OA，OQ，则OABC，OQBC，由（1）知A1A平面ABC，且OA平面ABC，所以OAAA1，又B1BA1A，所以OABB1，BB1BCB，所以OA平面BCC1B1，于是OA，OB，OQ两两垂直.目录目录目录目录0303目录1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（

10、）目录目录2.在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD夹角的余弦值为（）目录目录3.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为（）目录目录目录目录目录A.150B.45C.60D.120目录目录目录目录目录目录目录目录目录9.如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1，BB1是圆柱的两条

11、母线，C是弧AB的中点.（1）求异面直线PA1与BC所成角的余弦值；目录目录（2）求点B1到平面PAC的距离.目录10.如图，在三棱台ABCDEF中，平面ACFD平面ABC，ACBACD45，DC2BC.（1）证明：EFDB；目录目录（2）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.目录目录目录11.如图，六面体ABCDEFG中，BE平面ABC，且BE平面DEFG，DGEF，EDDGGF1，ABBCCAEF2.（1）求证：DF平面ABED；解：（1）证明：因为BE平面ABC，且BE平面DEFG，所以DEBE，且ABBE，又AB，DE平面ABED，所以DEAB，同理，EFBC，所以DEFABC60，又EF2DE，所以DFDE，由BE平面DEFG，知DFBE，又因为EDBEE，所以DF平面ABED.目录目录目录目录目录（2）求平面ABE和平面ADC夹角的余弦值.目录T TH HA AN NK K.YOU.YOU