【数学 】变化率问题（1）课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

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1、5.1.1变化率问题5.1导数的概念及其意义为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了学中引入了函数函数.随着对函数的研究的不断深化，在十随着对函数的研究的不断深化，在十七世纪中叶产生了七世纪中叶产生了微积分微积分，它是数学史上继欧式几何，它是数学史上继欧式几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑史上的里程碑.序言序言 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关：微积分的创立与处理四类科学问题直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在一、已知物体运动的路程作为时间的

2、函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；作为时间的函数，求速度与路程；二、求曲线的切线；二、求曲线的切线；三、求函数的最大值与最小值；三、求函数的最大值与最小值；四、求长度、面积、体积和重心等四、求长度、面积、体积和重心等.几百年中，科学家们对这些问题的兴趣与研究经几百年中，科学家们对这些问题的兴趣与研究经久不衰久不衰.终于，在十七世纪中叶，牛顿和莱布尼兹在前终于，在十七世纪中叶，牛顿和莱布尼兹在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，

3、各自独立地创立了微积分的想象力，各自独立地创立了微积分.（1646.7.1 1716.11.14）（1643.1.4 1727.3.31）导数导数是微积分的是微积分的核心核心概念之一概念之一.它是研究函数增减、它是研究函数增减、变化快慢、最大变化快慢、最大(小小)值等问题的最一般、最有效的工值等问题的最一般、最有效的工具具.导数导数研究的问题即研究的问题即变化率问题变化率问题：研究某个变量相对：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度于另一个变量变化的快慢程度.本章，我们将利用丰富的背景与具体实例，学习本章，我们将利用丰富的背景与具体实例，学习导数的基本概念、基本运算与思想方法导数的基本概念

4、、基本运算与思想方法.通过具体实例通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义。导数的意义。在在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道对数函数增长速度的差异，知道“对数增长对数增长”是越来越慢是越来越慢的，的，“指数爆炸指数爆炸”比比“直线上升直线上升”快快得多，进一步的能否精得多，进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个确定

5、量的刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题。问题。新知引入新知引入5.1导数的概念及其意义5.1.1 5.1.1 变化率问题变化率问题什么是变化率？什么是变化率？一个变量相对另一个变量的变化而变化的一个变量相对另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率快慢程度叫做变化率选 修 第 二 册选 修 第 二 册 第五章第五章 一元函数的导数及其应用一元函数的导数及其应用5.1.1 变 化 率 问 题变 化 率 问 题教材教材P59P59探究：探究：在一次跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系 h(t)=-4.9t2+2.8

6、t+11.如何用运动员在某些时间段内的平均如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态速度粗略地描述其运动状态?请计算请计算hto问题问题1 1：跳水运动员的速度：跳水运动员的速度可以把整个运动时间段分成可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度时间内的平均速度近似地描近似地描述述他的运动状态他的运动状态.问题问题2：你能否根据经验描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度？析：在上升阶段越来越慢析：在上升阶段越来越慢 在下降阶段越来越快在下降阶段越来越快在上升阶段越来越慢在上升阶段越来越慢 在下降阶段越来越快在下降阶段越来越快这段时

7、间里的平均速度为0显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，因此，用平均用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.运动员在这段时间里并不处于静止状态.为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度瞬时速度的概念。的概念。我们把物体在某一时刻的速度称为我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度。探究探究2：问题问题5：瞬时速度与平均速度有什么关瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在系？你能利用这种关系求运动员在t=1是的瞬时是的瞬

8、时速度吗？速度吗？用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想观察观察给出给出 更多的值更多的值,利用计算工具计算对应的平均速度的值，当利用计算工具计算对应的平均速度的值，当 无限趋近于无限趋近于0,平均速度有什么变化趋势？平均速度有什么变化趋势？(3 3)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度？的瞬时速度？问题问题6 6：？思考：？思考(1)(1)求运动员求运动员在在t=0.5s时的瞬时速度时的瞬时速度.（2）你能否利用上述关系求运动员在t=2s时的瞬时速度？(1)(1)求运动员求运动员在在t=0

9、.5s时的瞬时速度时的瞬时速度.问题问题6 6：？思考：？思考（2）你能否利用上述关系求运动员在t=2s时的瞬时速度？（3 3）如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时）如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻刻t0的瞬时速度？的瞬时速度？例例1 1：某物体的运动路程某物体的运动路程s s(单位：单位：m)m)与时间与时间t t(单单位：位：s)s)的关系可用函数的关系可用函数s s(t t)t t2 2t t1 1表示，求表示，求物体的初速度和物体在物体的初速度和物体在t t1 s1 s时的瞬时速度时的瞬时速度思路：求物体的初速度，即求物体在t0时的瞬时速度设非匀速直线运动中物体的位移随时间变

10、设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为化的函数为ss(t)，则求物体在，则求物体在tt0时刻的时刻的瞬时速度的步骤如下：瞬时速度的步骤如下：求运动物体瞬时速度的三个步骤求运动物体瞬时速度的三个步骤(3)求瞬时速度求瞬时速度v：求极限(2)求平均速度求平均速度:(1)写出时间改变量写出时间改变量t，位移改变量，位移改变量s(ss(t0t)s(t0).方法归纳瞬时速度瞬时速度物体在物体在某一时刻某一时刻的速度称为瞬时速度的速度称为瞬时速度课堂小结课堂小结 升华素养升华素养瞬时速度瞬时速度平均速度平均速度逼近思想逼近思想取极限取极限本质：瞬时速度是平均速度的极限本质：瞬时速度是平均速度的极限LOGO平均速度平均速度瞬时速瞬时速度度2.求物体在时刻求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤：的瞬时速度一般步骤：平均变化率平均变化率瞬时变化率瞬时变化率n1.物体运动的物体运动的瞬时速度瞬时速度的本质是的本质是平均速度的极限平均速度的极限.无限逼近无限逼近取极限取极限无限逼近无限逼近取极限取极限3.数学思想、方法：数学思想、方法：特殊到一般、极限思想特殊到一般、极限思想 几何意义几何意义？课堂小结课堂小结 升华素养升华素养课后作业课后作业2.教材教材P70习题习题5.1T1，2，3，41.教材教材P61练习练习T1，2，3