【数学 】平面向量及其应用（培优提升题） 2023-2024学年高一下学期数学同步单元练习（人教A版）.docx

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1、02平面向量及其应用（培优提升题）- 2023-2024学年高一下学期数学同步单元练习（人教A版，2019新版）一、单选题1（2023下福建漳州高一福建省诏安第一中学校考期末）如图，圆为的外接圆，为边的中点，则（）A26B13C10D52（2023下福建莆田高一统考期末）在中，为上一点，且满足若，则的值为（）A1BCD23（2023下福建南平高一统考期末）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则（）A1BCD4（2023下福建厦门高一统考期末）在平行四边形中，设，则（）ABCD5（2023下福建漳州高一统考期末）已知向量与垂直，若，且与向量的夹角是锐角，则（）ABCD6（2023下福建

2、南平高一统考期末）在中，则（）ABCD7（2023下福建漳州高一统考期末）已知向量，且，则（）A9B8C6D38（2023下福建泉州高一福建省永春第一中学校考期末）已知平面向量满足且对，有恒成立，则与的夹角为（）ABCD9（2023下福建莆田高一统考期末）已知向量，且，则（）A4B-4C2D-210（2023下福建龙岩高一统考期末）已知向量，满足，与的夹角的余弦值为，则向量在向量上的投影向量为（）ABCD11（2023下福建宁德高一统考期末）位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距1

3、0nmile的C处的乙船乙船也立即朝着渔船前往营救，则（）ABCD二、多选题12（2023下福建福州高一福州四中校考期末）在中，角的对边分别是，则能确定为钝角的是（）ABCD13（2023下福建漳州高一统考期末）已知的重心为，外心为，内心为，垂心为，则下列说法正确的是（）A若是中点，则B若，则C与不共线D若，则三、填空题14（2023下福建高一福建师大附中校考期末）在中，.若点D在边BC上，且满足，则 .15（2023下福建福州高一福建省福州延安中学校考期末）向量，向量，则在上的投影向量是 .16（2023下福建福州高一福建省福州屏东中学校考期末）如图，在四边形ABCD中，E为BC的中点，且，

4、则 17（2023下福建福州高一福州三中校考期末）已知，若，则 .18（2023下福建莆田高一统考期末）在正三角形中，为上的点，垂足为，且交于点，若，则的值是 19（2023下福建漳州高一统考期末）龙文塔位于漳州市龙文区步文镇鹤鸣山，是漳州古城的标志性建筑，某研究性学习小组想利用正弦定理测量龙文塔的高度，他们在塔底点的正西处的点测得塔顶点的仰角为，然后沿着东偏南的方向行进了后到达点（三点位于同一水平面内），且点在点北偏东方向上，由此可得龙文塔的高度为 .（参考数据：取）20（2023下福建漳州高一统考期末）的内角所对边的长分别为，若，试写出一个值，使该三角形有两解，则满足题意的的值可以是 .2

5、1（2023下福建南平高一统考期末）在中，点D在边BC上，当取得最小值时， .22（2023下福建南平高一统考期末）已知平面向量，且.写出满足条件的一个非零向量 .四、解答题23（2023下福建福州高一福州日升中学校考期末）已知向量满足(1)求与的夹角；(2)求的值24（2023下福建福州高一福州三中校考期末）已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且.(1)求角A；(2)若，的外心为O，求的值.25（2023下福建厦门高一厦门外国语学校校考期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求角A；(2)已知，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记.当时，设的面积为S

6、，求S的最小值：记，.问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意的，都有成立?若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由.26（2023下福建厦门高一厦门外国语学校校考期末）如图，已知，任意点M关于点A的对称点为S，S关于B的对称点为N.(1)用，表示向量；(2)已知，连接，交于G点，若，求的余弦值.27（2023下福建福州高一福建省福州第一中学校考期末）在中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c，若(1)求的最小值；(2)若的面积为，求的值28（2023下福建漳州高一统考期末）的内角所对的边分别为.若，且.(1)求；(2)求的最大值.29（2023下福建漳州高一统考期末）如图，在中，点是的中点，

7、设，(1)用表示；(2)如果，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论.30（2023下福建南平高一统考期末）如图，在平面四边形ABCD中，且的面积为.(1)求A，C两点间的距离；(2)设的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且.作的内切圆，求这个内切圆面积的最大值.31（2023下福建南平高一统考期末）已知向量，且.(1)求在上的投影向量；(2)求与的夹角.32（2023下福建宁德高一统考期末）已知为平面向量，且(1)若，且与垂直，求实数k的值；(2)若，且，求向量的坐标33（2023下福建厦门高一统考期末）已知的内解所对的边分别为，满足(1)求证：；(2)若为上一点，且，求的面积的最大值

8、试卷第5页，共6页学科网（北京）股份有限公司参考答案：1B【分析】由中点关系可得，利用为的外接圆的圆心，可得，同理可得，即可得出结论【详解】由于是边的中点，可得，是的外接圆的圆心，同理可得，故选：B2C【分析】根据三点共线的结论结合平面向量基本定理可得，再利用数量积的定义与运算律求解.【详解】由题意可得：，因为三点共线，则，且，又因为，则，可得，解得，可得，所以，即.故选：C.3B【分析】由正弦定理结合角度转化可得的大小，再由余弦定理解出边的值.【详解】因为，由正弦定理得所以，又，所以则，即，则由余弦定理可得，所以.故选：B.4A【分析】根据向量的线性运算结合平行四边形的性质运算求解.【详解】

9、由题意可得：.故选：A.5A【分析】根据题意，设，由条件列出方程，代入计算，即可得到结果.【详解】设，因为向量与垂直，且，则可得，解得或，又因为与向量的夹角是锐角，当时，故舍去，当时，满足.故选：A6D【分析】根据向量的线性运算求解即可【详解】，故选：D7C【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】因为向量，且，所以，解得.故选：C.8A【分析】将两边平方，根据，有恒成立，可求得两向量夹角，再结合夹角余弦公式即可求得.【详解】由展开得，对，有恒成立，即,即，所以可得，所以解得，又，所以，则，所以，则与的夹角余弦值,所以与的夹角为.故选：A9A【分析】由向量减法的坐标运算和向量共线的坐

10、标表示，列方程求解.【详解】向量，则有，由，得，解得.故选：A.10D【分析】利用投影向量的定义结合已知条件直接计算即可【详解】因为向量，满足，与的夹角的余弦值为，所以向量在向量上的投影向量为，故选：D11A【分析】由余弦定理求得，进而由正弦定理求得答案【详解】由题意，由余弦定理得，由正弦定理得，即，解得故选：A12ACD【分析】选项，利用正弦定理化角为边，并结合余弦定理，可得；选项B，由，可得；选项C，利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式，化简可得；选项D，根据同角三角函数的商数关系，两角和的余弦公式，化简可得.【详解】选项，由正弦定理及，知，由余弦定理得，由，所以为钝角，即选项正确

11、；选项B，则，显然不可能为钝角，即选项B错误；选项C，由正弦定理及，得，由，所以，又，所以，由，所以，由，所以为钝角，即选项C正确；选项D，由，知，由，则，有所以，即，所以，由，所以为钝角，即选项D正确.故选：ACD.13ABD【分析】连接交于点，得，根据三角形相似可判断A；取的中点得，所以，再可判断B；点为垂心得， 利用得，可得与共线可判断C；分别做、交、于、点，设内切圆半径为得，利用得，得，从而求出，再由余弦定理可得，再利用，求出可判断D.【详解】对于A，连接交于点，则点是的中点，是中点，连接，所以，所以，可得，故A正确；对于B，取的中点，连接、，因为点为外心，所以，所以，若，则，所以，故

12、B正确；对于C，因为点为垂心，所以， 因为，所以，而，所以与共线，故C错误；对于D，分别做、交、于、点，连接延长交于点，可得，设内切圆半径为，则，所以，所以， 即，所以， 即，由可得，在中由余弦定理可得，因为，可得，所以，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：在选项D中，解题的关键点是利用、求出，考查了学生的思维能力及运算能力.14/【分析】根据向量加减、数乘的几何意义得，再应用向量数量积的运算律求模长，即可得结果.【详解】由，所以，故.故答案为：15【分析】根据投影向量的定义写出在上的投影向量.【详解】在上的投影向量为.故答案为：161【分析】利用向量共线定理和向量的三角形法则及其多边

13、形法则即可得出【详解】E为BC的中点，又，而，故答案为：117/【分析】根据题意，由平面向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【详解】因为，则，且，则，解得.故答案为：18/【分析】根据题意分析可得，结合平面向量的线性运算可得，进而可得结果.【详解】由题意可知：，因为，且，可得，又因为，则，所以.因为，则，所以.故答案为：.19【分析】设龙文塔的高度为，根据题意分别求得，在中，利用正弦定理，即可求解.【详解】设龙文塔的高度为，在直角中，所以，在中，所以，由正弦定理，即，解得.故答案为：.20写间的任一实数都正确【分析】根据题意，由正弦定理即可得到，再由三角形有两解列出不等式，即可得到结果.【

14、详解】由正弦定理可得，即，因为三角形有两解，所以，所以，即，所以，故答案为：间的任一实数.21【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.【详解】设，则在中，在中，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：.22（答案不唯一，形如）【分析】设出的坐标，再利用向量垂直的坐标表示即可作答.【详解】设，而向量，且，因此，即，又，则令，所以，取，得.故答案为：23(1)(2)【分析】（1）根据数量积的运算律可直接构造方程求出，再由向量夹角公式直接计算可得结果；（2）由向量数量积运算律可求得，进而可得结果.【详解】（1），又，.（2），.24(1)(2)【分析】（1）根据

15、题意，由正弦定理的边角互化进行化简，然后结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由正弦定理可得的外接圆半径R，结合余弦定理可得，再由平面向量的模长公式即可得到结果.【详解】（1）由正弦定理得：即，所以因为，所以，所以即，所以，因为，所以，所以，故（2）设的外接圆半径为R，则，解得：，所以又因为，所以所以所以.25(1)(2)；存在，【分析】（1）先由正弦定理边角互化，由三角恒等变换、三角函数化简得解；（2）先找到，设，在和中，由正弦定理得，从而由得解.假设存在实常数，k合题，由和差化积，积化和差化简可得：，由，是定值，整理化简得到：，故而,进而得解.【详解】（1）因为，所以

16、由正弦定理可得，所以，所以，所以，因为，所以或或，即或（舍去）或（舍去），又，所以；（2）因为，所以，又，所以，.如图，设，则在中，由正弦定理，得，所以在中，由正弦定理，得，所以，因为，所以，故当，即时，；假设存在实常数，k，对于所有满足题意的，都有成立，则存在实常数，k，对于所有满足题意的，都有，由题意，是定值，所以，是定值，对于所有满足题意的，成立，故有,因为，从而，即，因为，为的内角，所以，从而，.【点睛】关键点睛：含参数的等式恒成立问题，只需通过参数整理，此题的关键是得到，则，变量多，技巧性较强.26(1).(2).【分析】（1）根据图形的几何性质，结合平面向量的线性运算，可得答案；（

17、2）根据平面向量的基本性质，根据条件，求得模长之间的关系，利用数量积以及运算律，建立方程，可得答案.【详解】（1）由题意得A是的中点，B是的中点，.（2）取作为基底，由题意，.，即.B为的中点，.，.27(1)(2)或【分析】（1）根据正弦定理可得，由余弦定理结合均值不等式可得出答案；（2）由三角形的面积公式可得，由余弦定理结合条件可得，将代入结合三角变换可出答案.【详解】（1）由，根据正弦定理可得，由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为；（2）由的面积为，即，则，由（1）可知，即，即，所以，即，解得或，当时，满足，当时，满足，所以或.28(1)(2)【分析】（1）由正弦定理边化

18、角，再利用和差角公式化简即可；（2）由正弦定理边化角，再利用和差角公式化简后，由三角函数性质求解.【详解】（1）由已知，得，由正弦定理，得.因为，所以，因为，所以，所以，即.由于，所以.（2）由（1）及正弦定理，得，所以，且.所以.其中.所以当时，取最大值.29(1)，(2)，证明见解析【分析】（1）根据向量的线性运算法则，准确化简，即可求解；（2）因为，化简，即可得到结论.【详解】（1）解：因为，所以，因为是的中点，可得（2）解：.因为，则以，所以.30(1)(2).【分析】（1）由面积公式及余弦定理求解；（2）由所给条件求出B，再由内切圆性质求半径，法一利用正弦定理及正弦型函数的性质求最值

19、得解；法二利用均值不等式求出最大值得解.【详解】（1）在中，因为，所以.由余弦定理可得，所以.故A，C两点间的距离是 .（2）根据三角形面积公式有，即，又因为 ，所以，所以，所以，得.设内切圆的半径是，因为，则.所以又，因此，解法一：在中，.由正弦定理得，所以，于是 .又，所以.当时，取得最大值，从而取得最大值2.故内切圆面积的最大值为.解法二：所以，所以，当且仅当时等号成立，此时.内切圆面积的最大值为.31(1)(2)【分析】（1）利用投影向量的概念求解即可；（2）先利用向量的数量积运算求得，再利用求解即可.【详解】（1）因为向量，且，所以在上的投影向量为.（2）因为向量，且，所以，所以，记

20、与的夹角为，则，又，所以与的夹角为.32(1)(2)或【分析】（1）利用向量运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列出方程，求解作答.（2）利用向量共线设出的坐标，利用坐标求模列式计算作答.【详解】（1）因为，则，因为与垂直，于是，即，解得.所以（2）由，设，而，则，解得，所以或33(1)证明见解析(2)2【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再逆用差角正弦公式可得，结合角的取值范围即可证明；（2）在中，由，可得，利用正弦定理可求得，再利用三角形的面积公式，结合倍角正弦公式可化简为，结合角的范围即可求解.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，即，因为，所以，所以，所以或若，则；若，则，舍去；所以成立（2）在中，因为，所以，由正弦定理得，即，所以在中，由正弦定理得，因为，所以因为，又，所以，所以的面积又，所以，所以，所以当，即时，的面积最大值为2答案第19页，共20页学科网（北京）股份有限公司