Mathematica入门使用教程精品资料.doc

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1、Mathematica软件包计算机发展到今天，数学起着举足轻重的作用。随着计算机的发展，它也能够帮助人们处理和解决许多数学问题。在众多数学软件中，大致可分为两类。一类是数值计算型软件，如：Matlab、Xmath、MLAB等，这一类软件具有非常强的计算能力和可视化功能，运行效率很高；另一类软件为符号运算型软件，如：Mathematica、Maple等，他们以处理符号运算强而出名，可以得到解析符号解和任意精度解，数值计算功能相对较弱。Mathematica便是符号运算中的佼佼者。第一节 Mathematica快速入门Mathematica是由美国物理学家Stephen Wolfram领导的一个小

2、组开发进行量子力学研究的，软件开发成功促使Stephen Wolfram与1987年创建Wolfram研究公司，并推出了Mathematica1.0。在1996和1998年，该公司推出了2.2和3.0版本，较之以前的版本有较大改动。目前我们常用的就是这两个版本。Mathematica系统是用C语言开发的，因此可以方便的移植到各种计算机系统上。Mathematica是一个功能强大的数学软件包。它将符号演算、数值计算和绘图功能有机结合在一起，能进行多项式的因式分解、展开；一般和微分方程的求根；幂级数的展开；复数、向量、矩阵、极限和微积分的各种运算等。可以按需要计算成任意位数的小数表示出来(只要机器

3、内存足够大)。并且有较强的二维函数作图、三维函数作图及动画功能.适合于从事实际工作的工程技术人员和科学工作者使用，正日益成为高等数学计算的一个不可缺少的工具。本书以Mathematica2.2为例。一、算术运算(一) 激活Mathematica主工作窗口，有两种方法:（1）选择：开始程序Mathematica菜单条Mathematica 22子菜单；（2）用鼠标双击Windows桌面上的Mathematica快捷图标。(如图1)图 1激活Mathematica主工作窗口后输入命令；键入SHIFT+ENTER(或工具栏中的)来执行输入的命令语句，在执行语句后，会加上提示符：In数字:=Out数字

4、=。注：In数字:=为输入提示符, Out数字=为输出提示符，为计算机执行语句后自动生成，不用键入。Mathematica系统区分大小写，A和a的含义是不同的。它的函数都以大写字母开头的单词为函数名, Plot3D, Plot, Eigenvalues, Cos等, 常数也是如此, 如Pi. 函数名后的参数用括起, 逗号隔开. 用鼠标点击File菜单，选中子菜单Exit，则可退出该软件。此时出现对话框（如图2），若前面的输入和计算结果需要存储则选择：是(Y)。则存储为文件名为Ne-wnb-1.ma的文件，供下次使用时调用；否则选择：否(N)；如果不想退出，选择：取消。如果你要将结果存储为一个你

5、喜爱的名字，如“积分.ma”。可通过点击File菜单，选中子菜单Save As/Export，在窗口的File Name栏中输入相应的文件名：“积分.ma”，点击OK按钮即可。(二) Mathematica的基本计算 1. 算术运算符 + - * / 加、减、乘、除、乘方(乘也可用空格或在不相混淆的前提下省去不写) 上述运算的优先顺序与通常的数学运算完全一致。 expr 计算expr的值，其中expr为表达式。 Nexpr 计算expr的近似值，有效位一般为6位 Expr/N 与Nexpr等价 Nexpr, n 计算expr的近似值，有效位为n位 2. 数学函数 Sqrtx x开平方 Expx

6、 e的x次方 ex Logx x的自然对数 lnx Logb,x 以b为底, x的对数 Absx |x|(x为复数时指模) Roundx 离x最近的整数 Ceilingx 大于等于x的最小整数 x+Iy 复数x+iy Rez 复数z的实部 Imz 复数z的虚部 Argz 复数z的辐角 Quotientn,m n/m的整数部分 Modn,m n/m的余数 Random 0,1间随机数 Maxx,y,.，Minx,y,. 最大数和最小数 Sinx,Cosx,Tanx,Cotx, Secx,Cscx,ArcSinx,ArcCosx,ArcTanx, ArcCotx,ArcSecx ArcCscx 3

7、. 常数 Pi Pi=3.141592653589793. E e=2.71828. Degree Pi/180 I i=Sqrt-1 Infinity 无穷大 DirectedInfinity 有向的无穷 例1 求表达式的值 输入：-32*(4/7 + 2)*5 - 8)(1/4) 输出: （没有输出结果）输入: -32*(4/7+2)*5-8)0.25 输出: -13.361 （*仅仅是把1/4改为0.25就会输出计算结果*）输入: -32*(4./7+2)*5-8)(1/4) 输出: -13.361 注意： 如果表达式中含有小数，则会输出近似值，否则输出准确值。“（*” 和 “*）”之间

8、为注释内容，不参加运算。 例2 求表达式 的值 输入: 17(1/3)*5*Pi+(4/9)0 输出 输入 N17(1/3)*5*Pi+(4/9)0,20 输出 41.389596777612950615 比较： 输入 N17(1/3)*5.0*Pi+(4/9)0,20 输出 41.3896 例3 求表达式 输入 SqrtS输入2. 输出 0.953571 二、变量与赋值 在Mathematica中可以用一些字母表示一个数学函数，比如Sin2。也可以用一些字母表示某个具体的数字,比如Pi=3.1415，在一些计算中往往需要保留大量的中间结果，我们就用一些字母表示这些数字。 1变量 在程序执行过

9、程中，其值不断变化的量称为变量。其标示符应该由字母开头的字母数字串组成，可以包含任意多的字母数字，但不能包含空格和标点符号，比如mn，h2，Math4，ToPo都是合法变量名。在Mathematica中，变量不仅可以表示一个数字，也可表示一个表达式，比如多项式或复杂的算式。 2变量的赋值 我们可以通过运算符号“=”或“：=”来给一个变量赋值，一般格式为： 变量=表达式 或 变量1=变量2=表达式 其执行步骤为：先计算等号右侧的表达式的值，再将结果赋给左侧变量。如果使用“：=”进行赋值，并不计算表达式的值，而是将整个表达式赋给变量，直到需要时才被计算。因此，“=”称为立即赋值，“：=”称为延迟赋

10、值。例如： 输入 Math4 = 3*2 + 6.8 输出 12.8 输入 Math4 := 3*2 + 6.8 这一句没有输出 输入 Math4 = 4x + 5x2 + 2x3 + 8x4 输出 4x+5x2+2x3+8x4 输入 s1 = s2 = 3*4 + 4.5 输出 16.5 输入 Math4 /. x - 2 输出 172 其中“/.x-”为变换规则，他把变量Math4中的x变换为2。只要不进行重新赋值或退出系统，原有的变量就会保留。有时候我们需要清除这些值，以免在以后的计算中发生错误。清除变量Math4,s1如下： ClearMath4,s1 注意:上述输入语句均没有输出。

11、三、自定义函数 定义一个函数，在Mathematica中可以用以下两种方式：fx_=expr 或 fx_:=expr, 其中expr为函数f(x)的表达式。Clearf: 清除f的所有定义内容。自定义函数可以像Mathematica系统内部函数一样使用，其书写要按照定义的函数名书写。 例4 已知 ,求f(2)。 输入 fx_ = x3; f2 输出 8 中间的分号表示该语句不输出结果，可以连续输入一些带分号的语句再执行。带分号的语句之间无需换行。 例5 已知求f(1.2),f(-2)的值并作图。 输入 fx_ := (Ex)*Sinx /; x = 0; fx_ := Cosx /; 0 x

12、E; f1.2 f-2Plotfx, x, -4, 10输出 0.362358 -0.12306其中“/;”后为条件。Plot为绘图语句，我们将在以后学习。 例6 已知f(x,y)=x+y,求f(2,3) 输入 fx_, y_ := x + y; f2, 3 输出 5 *四、表及其运算 Mathematica的表形式为：a,b,c,d,，其元素也可以为表，甚至其他任何形式的元素。用表也可表示集合，形式上无区别。表可以为一层或更多层，如1，2，3，46，7等。常见的有单层、二层、三层表。 1. 表的生成表的生成有很多种方法，如直接键入语句gg=1,2,6,7,表示将该表赋给gg变量。下面介绍另外

13、两种方法： 通项生成法：命令格式： Tableexpr,n,n1,n2,step 表示将n依次按步长step取n1到n2间的值后，带入含n的表达式expr计算所得到的取值表。例如： 输入 Tablen2, n, 2, 6 输出 4, 9, 16, 25, 36 当step=1时，step可以省去不写；step=1且n1=1是，两者皆可省去，例如： 输入 Tablen2, n, 2, 6 输出 4, 9, 16, 25, 36 输入 Tablen2, n, 6 输出 1, 4, 9, 16, 25, 36 当n1 x趋近于 时expr的极限， 可以为Infinty(+ )，-Infinity(-

14、 ) Limitexpr,x- ,Direction-1 x趋近于 时expr的极限 Limitexpr,x- ,Direction-1 x趋近于 时expr的极限 例1求下列极限：（1） （2） （3） （4） (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 解：（1）输入 Limit(1 - 2x)(1/x), x - 0输出 (2)输入 LimitSinx - Pi/3/(1 - 2Cosx), x - Pi/3输出 (3) 输入 Limit(x2 - 1)/(2x2 - x - 1), x - 0输出 1(4) 输入 Limit(x2 - 1)/(2x2 - x

15、- 1), x - 1输出 (5) 输入 Limit(x2 - 1)/(2x2 - x - 1), x - Infinity （* Infinity指正无穷大*）Limit(x2 - 1)/(2x2 - x - 1), x - -Infinity输出 (6) 输入 LimitTanPi/4 - xCotx, x - 0输出 (7) 输入 Limit(Sin1/x + Cos1/x)x, x - Infinity Limit(Sin1/x + Cos1/x)x, x - -Infinity输出 e e(8) 输入 Limit(Cosx(1/2)(1/x), x - 0输出 (9) 输入 Limi

16、tArcTan1/(1 - x), x - 1, Direction - 1 （*沿正向靠向于1，即1的左极限*）输出 (10) 输入 LimitArcTan1/(1 - x), x - 1, Direction - -1 （*沿负向靠向于1，即1的右极限*）输出 - (11) 输入 LimitLog1 + Ex/x, x - -Infinity输出 0(12) 输入 LimitLog1 + Ex/x, x - Infinity输出 1二、微分微分学是微积分的重要组成部分，它主要包含导数与微分，其中导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度，微分则指明当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少。

17、从实际中来又紧密联系现实世界的实际是微分的显著特点，对初学微分的同学，在学习方法上，要改变那种偏重解题技巧而忽视数学概念的思想方法的习惯，要知道微积分的精华，并不仅仅是解题的技巧，而是能更多的体会隐藏在各基本概念之后的数学思想，如果数学思想不明确，即使有一定的解题技巧，也不一定得到有价值的科学结论。Mathematica关于导数和微分的命令如下：命令格式： Df, x f的导数或偏导数 Df, f的高阶混合偏导数 Df, x, n f对x求n阶导数或偏导数以上函数当f为单变量函数时，指f对x的导数。以下为全微分命令格式： Dtf f的微分或全微分df Dtf, x 函数f对x的导数df/dx

18、Dtf, x, n f对x求n阶导数 例2求下列函数的一阶导数 （1）y= （2）y= 解：（1）输入 D2x3 + 5x2 + Sin7, x 输出 （2）输入 DLogCosx, x 输出 -Tanx 例3、求下列函数的三阶导数 （1）y=ln cos x （2）y=解：（1）输入 DLogCosx, x, 3 输出 -2Secx2Tanx（2）输入 Dx7, x, 3 输出 例4、求下列函数在指定点的值 （1） ； （2） . 解：（1）输入 DSinx - Cosx, x % /. x - (Pi/6) （*该次输入将两个命令作为一个输入*）% /. x - (Pi/4) （*对上上一

19、个输出中的x用（Pi/4）代替的结果*） 输出 Cosx + Sinx （*对上一个输出中的x用（Pi/6）代替的结果*） （2）输入 D3/(5 - x) + x2/5, x /. x - 0 （*直接对该次输出中的x用0代替的结果*） D3/(5 - x) + x2/5, x /. x - 2 输出 其中%代表上一个输出，%代表上上一个输出，%依此类推。例5、求函数 的两个一阶偏导数和四个两阶偏导数。 输入 fx_, y_ := x*Sinx + Cosy; Dfx, y, x 输出 x Cosx + Sinx输入 Dfx, y, y 输出 -Siny 输入 Dfx, y, x, 2 输出

20、 2 Cosx - x Sinx 输入 Dfx, y, y, 2 输出 -Cosy 输入 Dfx, y, x, y 输出 0 输入 Dfx, y, y, x 输出 0 比较： 输入 fx_, y_ := x*Sinx + Cosy; Dtfx, y, x 输出 x Cosx + Sinx - Dty, x Siny *隐函数与参数方程所确定的函数的导数如下自定义函数 Dfxyf, x, y:=SolveDf, x= =0, yx 和 Dxyty, x, t:=Dy, t/Dx, t 可用于求隐函数与参数方程所确定的函数的导数。例如：求隐函数所确定的函数y=y(x)的导数Dfxyf, x, y:

21、SolveDf, x= =0, yxDfxyx2+(yx21, x, y)输出结果为： 即 再如：求参数方程所确定的函数y=y(x)的导数Dxyty, x, t:=Dy, t/Dx, tDxytaCost, b Sint, t输出结果为： 即： 习 题1求下列极限（精确到五位小数）：(1) (2) 2求下列函数的导数：(1) 已知：y=求(2) 已知：y=求(3) 已知y=xarctanx, 求高阶导数以及它在x=0点的值。5求下列隐函数的导数：(1) (2) 6求下列参数方程所确定的函数的导数：(1) (2) 7、,求8、z=ln(x2+y2) 求9、求z=yxy的全微分。第三节 用Math

22、ematica作积分计算积分学包括不定积分和定积分两大部分，它与微分学有着密切的联系。微积分的基本定理又称牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式，它揭示了微分与积分之间本质的联系，即微分与积分是互逆的运算，同时揭示了它与不定积分之间的联系，即积分与不定积分都归结为求原函数。积分在几何、物理等方面有着广泛的应用。Mathematica软件包中，积分主要是通过函数Integrate 来完成，它包括不定积分和定积分。本节将通过大量的实例来讲解Mathematica4.0中积分函数的使用及注意事项。一、不定积分格式: Integratef,x 函数Integratef,x和Df,x为互逆的

23、运算，如果对一个函数f先做积分运算Integratef,x再求导Df,x，则会得到函数f本身。另外，不定积分的计算结果并不输出常数C，观察如下运算：输入 IntegrateCosx, x输出 Sinx输入 DSinx + c, x输出 CosxMathematica2.2在做积分运算时作了如下约定：（1）对于与积分变量无关的变量，Integrate函数总是假定它和积分变量相互独立，计算时把它当作常数对待。例如： 输入 Integratea*Sinx + b*Cosx, x输出 -a Cosx + b Sinx上述计算中Mathematica2.2把a和b当作常数。（2）对变量的运算只取一般情况

24、，不考虑特殊值。例如： 的运算结果是，显然在取特殊值n=-1时不成立。比较：输入 Integratexn, x输出 输入 Integratex(-1), x输出 Logx（3）由于积分相对于微分来说是一个比较困难的过程。微分有一套系统的生成规则，积分没有统一的方式计算。微分运算时，结果与要微分的函数是同一种类型函数，至少是相似的。Mathematica做积分运算时，结果总是很复杂，它尽量保持与要积分的函数是同一类型。比较：输入 IntegrateLogx, x输出 -x + x Logx输入 IntegrateLogLogx, x输出 x LogLogx - LogIntegralxLogIn

25、tegral为内部函数，其定义为： （z1）。例1 求下列不定积分：（1） （2） （3）（4） （5）（6）解：（1）输入 Integrate(3 - x2)3, x输出 （2）输入 Integratex2/(1 + x2), x输出 x - ArcTanx（3）输入 Integrate(Cotx)2, x输出 -x - Cotx（4）输入 Integratex/(1 + x2 + (1 + x2)(3/2), x输出 （5）输入 IntegrateSinxCosx + a, x输出 （6）输入 IntegrateLogSinx/(Sinx)2, x输出 -x - Cotx - Cotx L

26、ogSinx二、定积分定积分使用的函数仍然是Integrate，只是多了几个参数而已。以下为定积分函数Integrate的使用格式： Integratef ，x，xmin，xmax 定积分 Integratef ，x，xmin，xmax，y，ymin，ymax 二重积分 *在mathematica4.0版本中，积分Integrate还可以带一定的参数选项，以控制积分的进行：选项参数缺省值意义PrincipalValueFalse是否求柯西主值GenerateConditionsTrue结果是否显式地给出条件Assumptions 是否对参数进行假定看下面的例子：输入 Integratexn,

27、x, 0, 1, GenerateConditions - False输出 当设置GenerateConditions - False时，Mathematica4.0将参数n作为一般的值对待，并不考虑特殊情况。我们可以使用Assumptions选项给积分附加一些条件。对上例我们分别假定n1 ，n=1和n=-1的情况分别计算：输入 Integratexn, x, 0, 1, Assumptions (n 1)输出 输入 Integratexn, x, 0, 1, Assumptions - (n = 1)Simplify：bass：1 is not a well formed assumptio

28、n.Simplify：bass：1 is not a well formed assumption.输出 输入 Integratexn, x, 0, 1, Assumptions - (n = -1)Integrate：idiv： Integral of does not converge on0, 1.输出 (Integrate , x, 0, 1, Assumptions - -1 上述输出表明n=1时，虽然可以算出却输入并不是最简的格式；n=-1时，无法计算，原样输出。例2 求下列定积分（1） （2） （3）（4） （5）解：（1）输入 Integratex2Cosx, x, 0, 2*

29、Pi输出 4（2）输入 IntegrateArcCosx, x, 0, 1输出 1（3）输入 Integrate1/(1 + x2), x, -Infinity, Infinity输出 （4）输入 Integratex + y, x, 0, 1, y, 0, 1输出 1（8）输入 Integratex*y2, x, 0, 1, y, x2, x输出 二重积分必须先化为二次积分，再输入命令计算。习 题1求下列各式的不定积分：(1) (2) 2求下列各式的定积分：(1) (2) (3) 3计算 其中D由圆心在原点的单位圆围成。4、计算其中D由x=0, y=0, x+y=2围第四节 .图形函数Mat

30、hematica的图形函数十分丰富，用寥寥几句就可以画出复杂的图形，而且可以通过变量和文件存储和显示图形，具有极大的灵活性。 图形函数中最有代表性的函数为:Plot表达式，变量，下限，上限，可选项，(其中表达式还可以是一个表达式表，这样可以在一个图里画多个函数)；变量为自变量；上限和下限确定了作图的范围； 一.一元函数作图 Plot函数f，x，xmin，xmax，选项 在区间x，xmin，xmax上，按选项的要求画出函数f的图形例一、（1）作y=xsin的图形输入 Plotx*Sin1/x，x,-1,1输出输入 Plotx Sin1/x, x, -0.1, 0.1输出（2）在同一坐标系中作y=

31、sinx和y-cosx的图形输入 ClearxPlotSinx, Cosx,x, 0, 2Pi 输出Plot函数的可选项常用参数的使用格式与作用Plot函数除了上述使用方式外还有另一种使用方式： Plotf1, f2, , fi, x, xmin, xmax可选参数 其中可选参数的格式为：可选参数名-可选参数值（或可选参数值表）1参数AspectRatio此参数是设置作出的图象的横纵比，默认的横纵比为1：0.618 。将参数AspectRatio的值设置为Automatic可以按实际比例（1：1）作图。比较：PlotSinx, Cosx, x, 0, 2*Pi和 PlotSinx, Cosx,

32、 x, 0, 2*Pi, AspectRatioAutomatic它们的图象分别如下2参数PlotStyle参数PlotStyle的值是一个表，应将它的值放在双花括号内，它决定作的图形的划线的宽度、虚实、色彩等。（1）参数值RGBColorr, g, b决定划线的色彩。其中r、g、b分别表示红色、绿色、蓝色的强度，其取值范围是0, 1之间的数。例如：用红线作图：PlotSinx, x, 0, 2*Pi , PlotStyleRGBColor1, 0, 0（2）参数值Thicknesst它描述划线的宽度，其中t是一个实数，其取值范围在0, 1之间，这时以整个图的宽度为1。因此t的取值一般应远远小

33、于1。例如：作图：PlotSinx, x, 0, 2*Pi, PlotStyleRGBColor1, 0, 0, Thickness0.001(3)参数PlotPoints它确定函数值的单位取点。当函数值变化比较剧烈时，应取一个比较大的值，以免作出的图形过分偏离函数的实际图形。其格式为： PlotPointsn其中n为单位取点数。比较下面图形：作图：PlotExp2/2, x, 7, 7PlotExp2/2, x, 7, 7, PlotPoints604参数PlotRange它决定作图时函数值的取什范围。其格式为：PlotRange参数值其参数值为：（1）Automatic此为系统默认值，当函

34、数在作图区间存在无穷值点和很侠窄的尖峰，系统会将这一部分切掉；（2）All要求画出函数值的全部情况，当发现系统下切掉了重要的尖峰时可以使用该值重画图形。但在无穷值点不应使用该值，否则会跌入无穷循环的陷阱，甚至导致死机；（3）y1, y2要求作出函数值在y1, y2范围内的图形。作图：PlotTanx, x, Pi, PiPlotTanx, x, Pi, Pi, PlotRange-60, 605参数DisplayFunction它决定图形的显示与否。当它取值为$DisplayFunction时（系统的默认值），图形将在屏幕上显示出来；当它取值为Identity时表示只生成图形表达式，但不显示。

35、其格式为：DisplayFunction$DisplayFunction(或Identity)执行下述语句后，将只计算图形的表达式，而不输出图形。如：输入 A=PlotSinx, x, 0, 2*Pi, DisplayFunction-Identity则输出为 -Graphics-其中-Graphics是上述图形的表达式，它包括与图形有关的数据和性态的描述，可以用函数InputFormA或下面的ShowA把它的内容显示出来。图形的重新显式与组合显式：Show函数函数Plot可以在同一坐标系的同一区间作出不同函数的图象，但不时需要在同一坐标系的不同区间作出不同函数的图象，或者在一个坐标系内做一个函数图象时要求函数的各个部分其有不同的性态，这就需要使用Show函数