等差数列的性质、求和知识点及训练.docx

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1、等差数列的性质、求和知识点及训练重点：掌握等差数列的通项公式、求和公式以及等差中项的求法难点:对等差数列的综合考察一知识梳理1.定义：（d为常数）（）；2等差数列通项公式： ， 首项:，公差:d，末项: 推广： 从而；3等差中项（1）如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或（2）等差中项：数列是等差数列4等差数列的前n项和公式：（其中A、B是常数） （当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）5等差数列的判定方法 （1）定义法：若或(常数) 是等差数列 （2）等差中项：数列是等差数列 （3）数列是等差数列（其中是常数）。（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。6等差数列的证明方法 定

2、义法：若或(常数) 是等差数列7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）通常把题中条件转化成只含和的等式！8.等差数列的性质：（1）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（2）当时,则有，特别地，当时，则有.(3) 若是等差数列，则 ，也成等差数列 （公差为md ）图示：（4）若等差数列、的前和分别为、，且，则.（5）若、为等差数列，则为等差数列(6)求的最值法一：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离

3、二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为法二：“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和即当 由可得达到最大值时的值“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。即 当 由可得达到最小值时的值或求中正负分界项（7）设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项的和，是前n项的和，则：1.当项数为偶数时，其中n为总项数的一半，d为公差；2、在等差数列中，若共有奇数项项，则注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量【类型1】

4、求等差数列通项【例1】.等差数列中，求.【变式1】四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数.【例2】等差数列中，求通项公式.【变式1】等差数列中，则的值是【变式2】已知等差数列中 ，则【变式3】 等差数列中，则【变式4】若等差数列的前5项和，且，则【例3】已知数列中，=1，则数列的通项公式为 _【变式1】已知数列中，=2,=3，其前 n项和满足 (n2，nN)，则数列的通项公式为 ( ) A=n B= C= n-l D=n+l【例4】在数列和数列中，为数列的前n项和，且满足，数列的前n项和满足，且（1）求数列的通项公式（2）求数列的通项公式【例5】数列中，求数列的通项公

5、式；【类型2】求等差数列前n项和【例1已知为等差数列，为其前项和，若则的值为_【变式1】如果是一个等差数列的前n项和，其中 a，b，c为常数，则c的值为 【例2】（10年全国文6） 等差数列中，那么的前7项和 【变式1】已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10项和等于（）A55 B70C85D100【例3】通项公式为，则_【变式1】通项公式为则通项公式为，若其前n项和为10，则项数n为【例4】等差数列中，前n项和记为，求取最小值时n的值.【变式】差数列中，则时有最大值；【类型3】等差数列性质的应用【例1】（1）等差数列中，求的值. （2）等差数列中，求的值.

6、【例2】（2009年辽宁理科14） 等差数列中， 的前n项和为，如果，则【变式1】（2009年辽宁文） 等差数列中，的前n项和为，则【变式2】已知等差数列中，则【变式3】已知数列和的前n项和分别为，且求 的值.【例3】等差数列的前n项和记为，若为一个确定的常数，则下列各数中一定是常数的是（ ）C B C D【变式1】等差数列中，则（ ）C -36 B48 C54 D72【变式2】等差数列中，已知前15项的和，则等于（ ）A B12 C D6【变式3】在等差数列中，若 则 【类型4】证明数列是等差数列【例1】知数列的前n项和为，求通项公式并判断是否为等差数列【例2】在数列中，,设证明是等差数列【

7、例3】已知数列的前n项和为，且满足，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式。【变式1】数列中，判断是否为等差数列.【例4】数列中，；1） 求证是等差数列；2） 求的通项公式.【变式1】已知数列满足，（1） 设，求证为等差数列；（2） 求通项；附录资料:不需要的可以自行删除考试后心理调节技巧同学们：升入高中的第一次考试（月考）结束了，成绩也出来了, 不知道同学们现在的心情怎么样，可能是几家欢乐几家愁吧，先不管是乐还是愁，我们都是时候好好调整自己的心态，所以今天我就跟你们一起探讨一下考试后的心理调节。主要是分为两大部分，一是成绩还没公布前的心理调节，第二是知道考试成绩后的心理调节。一、考试成绩不清

8、楚前的心理调节虽然考试的成绩现在还不知道，但此时此刻同学们的心情大概可以概括为以下几种： 1.疯狂放松心理我想现在很多同学都想考试后痛痛快快地玩一下，这种心情是可以理解的，考试后轻松一下，发泄一下压抑的情绪是无可厚非的，但考试后就将学习抛到九霄云外，这就不对了。考完试只是一次人生中小的终点,再这个终点后,我们还要迎接更多的挑战和起点。所以我建议同学们还是利用考试后这段稍微清闲的时间，好好调整自己的情绪，准备迎接下半个学期的紧张学习。2.盲目乐观心理虽然具体成绩还不知道，可能有的同学认为自己运气不错，超常发挥，有点沾沾自喜。但问题是成绩还没公布，不应该有盲目乐观的心理，否则在真实的成绩公布之后，

9、和原来想象的相去甚远，我们的内心就会经历严重的心理挫折，本来乐观的心理就会被失败、痛苦所代替。这种痛苦的体验会使心理承受力低的同学产生自卑感。所以我们应该调整自己的心态，客观地估计自己的成绩，切忌过高估计成绩。我们可以参照上次成绩来估计，因为成绩的提高不是一蹴而就的，需要有一个过程，正确认识自己的实力，从而对快要面临的成绩有一个合理的期望。还可以与平时成绩相近的同学比较，因为只有与自己平时成绩相近的同学进行比较，才能真正知道自己成绩的意义，从而把自己的可能成绩放在恰当的位置。否则，就会过高估计自己的成绩，最终导致无法面对真实的成绩。3.自责后悔心理有的同学因为某些个别地方没有充分发挥，认为不该

10、错的地方错了，错得冤枉，非常自责和后悔，纠缠于自己某个缺陷不放。其实考试是涉及到很多综合能力的过程，不能要求自己一点失误也没有，关键是尽力吸取经验教训，避免在以后的考试中犯同样的错误。4.失落焦虑心理考试结束后，随着紧张感的结束，我们有的同学反而感到茫然无措，心理空荡荡的，仿佛失去了什么。这种失落心理会使他们失去热情，对什么事都不感兴趣，就是急切地想知道自己的成绩，在紧张焦虑、苦苦等待中度过，这是一种焦虑恐惧心理，我们也应该消除。因为处于这种焦虑恐惧中的同学，很难保持良好的学习状态，会出现注意力不集中、倦怠、消极的表现。如果真的很难集中投入到学习中去，就可以选择一些需要付出体力的活动，例如通过

11、剧烈的活动如踢球、跑步等来发泄自己消极情感，也可以做一些不需要特别投入的活动如练字等，使自己在充实的活动中等待成绩公布。二、知道考试成绩后的心理调节（一）避免两种不合理情绪很快我们的成绩就会陆续公布，那么肯定会出现“几家欢乐几家愁”的情形。所以也要注意以下两种不合理的心理状态。1.骄傲自满心理在本次的考试中，肯定有考得不错的同学，那么首先要预先祝贺你取得好的成绩，因为你的付出得到了相应的收获。但同时也要特别提醒你们，千万不能骄傲自满。我们都知道一个道理：池塘里的水，经年累月之后就成了死水，而流水不腐的根本就在于它能不断的获得新的活水，补充新的血液。我们的学习也是这样，一次考试的成就并不能代表以

12、后的每一次考试都能保持。所以我们得再接再厉，创造更好的成绩。2.心灰意冷心理可能绝大多数同学在试卷发下来的那一刹那间，觉得用简直就是闻者伤心，见者流泪，惨不忍睹！。有的同学甚至对未来感到绝望，丧失了对学习与生活的勇气和信心。还有的人因此而妄自菲薄、自暴自弃，还有的同学看到别的同学的成绩远远高于自己，会产生比较强烈的嫉妒心理。这些同学可能会出现因为害怕考试失败就逃避考试的行为。但我们应该清楚地认识到不能因为怕失败就要逃避它。难道我们就因为害怕车祸，就不出门了？还有飞机是比汽车更危险的交通工具，但如果条件允许的话，我想人们更喜欢选择飞机吧。既然我们都不害怕对我们生命有威胁的东西，我们为什么要害怕考

13、试失败呢？在我们的平时生活中，难道都是没有什么失败和挫折的事情发生的么？相信平时我们都经常听到一些很好的祝福话语，例如一帆风顺、万事如意、马到成功、心想事成等等，但我们认真地想一想，这些祝福的话语真的可以在生活中实现吗？应该可能性不大吧？为什么人们要说这些祝福的话呢？就是人们都知道在生活中肯定有很多挫折和困难，才说出这样的祝福的话语，希望在一定程度上能给对方信心战胜挫折和困难。所以在我们的人生征途上肯定会遇到很多挫折和困难，考试只是一个很小很小的困难。先来听一下肯德基创始人的故事。肯德基创始人的故事很多同学都知道肯德基餐店吧，在全球都有它的连锁店，那么你对肯德基的创始人，也就是肯德基先生有什么

14、印象？可能都是在注册商标上看到的满头白发，留着山羊胡子的小老头吧。为什么不用他年轻帅气的照片呢？那我们得先了解一下肯德基先生的故事。岁时父亲去世，岁时辍学，开始流浪。岁时谎报年龄参军，但军旅生活处处不顺心。岁时结婚，不久妻子卖了他的财产逃跑。后来学法律学不成，就卖保险，卖轮胎，经营渡船、加油站等等，都失败了。到中年时做餐厅厨师和洗瓶师，但不久也失业。年老后要靠福利金生活。66岁时拿着几百美元的社会福利金，开着一辆破汽车，向餐厅出售他研制的一种炸鸡配方，88岁时终于因为他的炸鸡配方才获得成功。 KFC 就是这样创办并从此风靡全球。所以我们不能逃避失败和挫折，而应该勇敢面对它。可能我们一生都试图摆

15、脱压力，但终归是徒劳无功。科学家认为，人需要激情、紧张和压力。如果没有既甜蜜又痛苦的滋味，人的机体就根本无法存在。实验表明，如果将一个人关进隔离室内，尽可能让他感觉非常舒服，但没有任何情感体验，也就是没有喜怒哀乐，他也会很快发疯。适度的压力可以激发人的免疫力，从而延长人的寿命。如果我们平时都没有考试，或者每次考试都是满分，那么我们就没有学习的动力。挫折对于一个生活的强者来说,无异于一剂催人奋进的兴奋剂，可以提高他的认识水平，增强他的承受力，激发他的活力。所以挫折可帮助我们更好的适应社会。我们的一生其实就是适应所生存的社会的一生，而要适应社会，就要学会随时依社会环境更替调整自己的动机、追求、情感

16、和行为。在我们的成长过程中，社会采用奖赏、引导、威胁、甚至惩罚的方式，让我们在成功和挫败中学会适应社会，学会依社会环境的不同来调整自己的言行。那么当前我们中学生的主要任务是学习，所以考试就成了我们成长中必不可少的检验。如果我们连考试失败都接受不了，那么我们怎么面对以后工作上的失败，生意上的失败，人际关系上的失败？所以我们应该把适度的挫折看为我们成长中的“精神补品”。因为在成长中，每战胜一次挫折，就强化一次自身的力量，为下一次应付挫折提供了更多的精神力量，坚强的意志力也就在这一次又一次的锤炼中培养出来。著名的美国康奈尔大学做过一次心理实验-青蛙实验。实验的第一部分,他们捉来一只健硕的青蛙,冷不防

17、把它扔进一个煮沸的开水锅里,这只反应灵敏的青蛙在千钧一发的生死关头,用尽全力,跃出让它葬身的水锅,安然逃生。实验的第二部分:隔了半小时,他们使用一个同样大小的铁锅,这一回往锅里放入冷水,然后把那只死里逃生的青蛙放进锅里,青蛙自由自地在水中游来游去,接着实验人员在锅底偷偷地用火加热,青蛙不知底细,自然地在微温的水中享受“温暖”。慢慢地,锅中的水越来越热,青蛙觉得不妙了,但等到它意识到锅中的水温已经承受不住了,必须奋力跳出才能活命时,已经晚了,它全身发软,呆呆躺在水里,直到煮死在锅里。这个实验告诉我们,最可怕的不是突然危机的降临,而是缓慢渐进的危机降临。期中考试成绩不理想的同学,考试失利对你们来说

18、不是一件坏事，它在一定程度上是一件好事，给自己敲响了警钟，有了危机意识.才能更努力的学习,记住永远不要认为自己是最努力的，和你自己努力比的同时，也要与周围的同学比。（二）如何看待不好的成绩面对不满意的成绩，先请同学们回答我一个问题：“对于考试，你努力学习了吗？”如果以前你没努力，现在努力还来得及，但更多的同学可能会说，我觉得我比初中还努力，但我现在的成绩却远远不如初中的，为什么呢？要想揭开这个疑问，我们必须弄清楚以下两点。1.高中学习的特点高中的学习跟初中的学习是有很大的不同的。高中的知识量比初中的大，理论性、系统性和综合性都增强，还有学科间知识相互渗透，从而增加了高中学习的难度，考验同学们各

19、方面的能力也有更高的要求水平。所以有的同学没有一下子适应过来，特别是高一的同学。而且每个人适应高中学习的速度各不相同，适应快的需要一两个月的时间，适应慢的则需要一两年的时间，也许有的同学上高三才找到学习的感觉。但要相信，只要努力肯定会有回报！同时我们也要认识到，努力是相对的，你努力的同时，别人也在努力，你学到十点多，别的同学学到十二点多。所以不能只看到自己的努力而没看到别人的付出，只许自己进步不许别人有好成绩！2.正确认识名次意义很多同学衡量自己的学习有没有进步，都是看名次的，所以就很在意名次的高低。高一的同学一定要明白：现在你是在一中读书，每个同学都是很有实力的。所以你的名次与初中相比肯定是

20、退后一些，应该学会在班级里找到恰当的位置。而且也应该知道每个人在班上的名次是不可能固定的，不是进步就是退步。也要走出一个误区，就是不能单单看排名，因为很多从前不用功但很有潜力的同学成绩现在赶上来了，人人都在发展。应该拥有一颗平常心，正视自己和别人的排名变化，与其嫉妒或羡慕他人，不如虚心向他人请教有效的方法，提高自己的学习效率。高中学习是一个知识积累的过程，重在检查所学基础知识漏洞所在，不要将目光只放在眼前的名次上。 （三）认识考试的意义，学会总结分析考试成绩不理想的话，你也不应该一味地伤心、后悔，让下半个学期都沉浸在痛苦之中。除此之外，最重要的是应该认识到考试的意义，平时的考试或练习的真实意图

21、是使我们同学能够“发现问题，解决问题”，也就是通过考试可以告诉我们什么知识已经掌握，哪些还没有理解。通过对考试结果的分析能反映自己学习上的漏洞，只要自己知道漏洞在哪儿，如何去弥补，下一次成绩就一定会提高。对考试的分析也指出了我们接下来的复习的重难点以及学习计划的方向，所以考试可以使今后复习的目标更加明确，解决问题的精力更易集中，使我们更好的检测和把握自己。那么我们考试后如何分析总结？有的同学考前对试题卷是“可欲而不可求”，考时则是对试题卷“奉若真神”，生怕漏了一道题，但是考后则是把它无情的抛弃。这时，他们的眼中只有分数了，为什么有那么多的同学没有把眼光放在以后。其实分数只不过是对你这阶段努力的

22、一个评价，考完后不是盯着它，难道盯着它就能把66分变成99分吗？关键还是要弄清丢失分数的原因、不清楚的知识以及这一阶段的不足，我们的目标不是这一次次的小考，而是将来的高考。我们也应避免不良的归因方式，若将考试成绩差的原因总是归于外部因素，例如埋怨老师教的不好，试题太难等，这就很难地准确地分析考试失败的原因。如果找不出真正的原因，那么自然没有办法寻找到更正确、更有效的途径来提高自己。所以考试后可结合试卷，对自己平时的复习目的、学习态度和学习方法进行分析。对回答正确的题目，要重新温习一下自己运用的是哪个知识点来解答的，是如何理解运用所学知识的。答错了的题目，就要找到自己出错的原因，一般原因有粗心、

23、基本概念不清以及计算错误等三类。粗心一般是偶然的，通过加强检查可以部分克服。但要想一点粗心的错误都不犯，就只有扎扎实实地好好学习，每一次考试都尽最大的努力，一丝不苟。基本概念不清，则需要弄清楚是大部分概念都存在问题呢还是个别的？ 如果是大部分概念都存在程度不同的不清楚问题，就说明在学习方法上有明显欠缺，需要及时补救，加强基本概念的学习，并从最基础的概念开始进行补课。如果只是部分概念存在问题，则说明我们在学习这一部分知识时，有缺陷，需要专门进行补漏，把相关教材认真地再学习一遍，并多做有关练习。 出现计算错误，要分清是偶然的还是经常性的。如果只是偶然出错，只需下次考试时，在检查上对计算多下功夫就行

24、了。如果是经常在计算问题上丢分，则说明学生在笔算技巧上有问题，需要特别加以训练，应把各种类型计算题的规则好好复习，并进行反复地计算练习，从根本上提高计算能力。还有就是要把每部分丢分的比重弄清，比重最大的就是我们的弱点。针对错误采取对策加以克服，且要牢牢记住错误的地方，以免再犯同样的错误。所以要把平时考试中的错题集中分类，并与过去的错题加以比较，找出隐藏其中的知识难点“登记注册”，作为以后临考复习的重点。 （四）调整考后抑郁心态1.正确面对外界压力相信同学都觉得学习有很大的压力，这些压力主要来源于父母、老师、同学、亲戚朋友等等。觉得没有达到父母的期望值，很难面对望子成龙、望女成凤的父母，其实你可

25、以先分析一下：自己是否努力了，是否尽自己的全力了，如果已竭尽全力但仍无达到父母的要求，就不必再过多地责备自己。你不妨可这样思考：只要我尽力了，我的心里就是坦然的，不必再伤心、再痛苦，但求问心无愧，父母对我们的关爱是一种人的本能，一种天性，虽然父母对我们不太理想的考试成绩会表现出焦虑，甚至会有一些指责，这也是亲人间亲情的自然流露。反过来说，你对父母的爱感到压力，也是一种对父母的爱。还有的同学认为自己考得不好，觉得很难面对同学轻视的眼光和讥讽的话语。但我们认真地想一想，如果自己身边的同学考得不好，我们有表露了轻视的眼光和说了很多讥讽的话语吗？应该没有吧。所以那些所谓轻视的眼光和讥讽的话语都是我们假

26、想出来的，我们不必在意那些我们假想出来的东西！2.学会消除不良情绪不管怎样，考得不好总是令人沮丧的事情，要学会寻找合理方式消除内心沮丧。把积压在内心的压力宣泄出来，才有利于甩掉包袱轻松再战。一般可以通过以下方式来消除内心压抑的情绪。建立自信不要总是追忆考试过程，也不要经常和同学谈论此次考试，更不能什么事都不做，先暂时把自己的目标定的低一点，要多做一些自己平时做得最好的事情，或者做一些相对较容易的作业，使自己找回自信。这只是给自己喘气的机会，并不是说放弃学习。找回自信后就可以有更好的精力投入到学习中去。学会倾诉我们平时都有这种体验，当我们遇到高兴的事情时，通常希望有人来分享，那么当我们遇到痛苦的

27、事情时，就更需要得到别人的理解、安慰、鼓励、信任和支持。所以关于考试考得不好，感到内心很郁闷，就可对亲属、要好的朋友说，一吐为快，也可以向师长寻求解决办法。向同龄人倾诉烦恼可以唤起情感的共鸣，向年长的朋友倾诉，可以给你一些建设性的意见，切忌在“男儿有泪不轻弹”中积郁成病。学会发泄可自备发泄物（布娃娃、塑料玩具、布艺等）摔摔打打，锤上一顿，当然要避免自伤或伤及他人或贵重物品。对于女孩子来说，找个地方，比如说把自己蒙在被窝里或者江边痛痛快快地大哭一场，可以任其流泪，有时候，眼泪是一剂良药，然后擦干眼泪笑逐颜开；对于男孩子来说，找几个朋友踢一场足球或者找一片旷野大喊几声，然后甩甩头昂然前行。转移注意

28、力考试考得不好，可能有些同学不愿接触外界，闭门思过，终日苦闷不堪。此时不妨主动增加生活情趣，转移自己的注意力，把自己解脱出来。如平时做些自己喜欢的事情或发展个人爱好，充实自己的生活。也可以适当的听一些柔和明快的音乐，也可以自弹自唱，在音乐中排解烦恼，平息愤怒，鼓起勇气，陶冶情操，但不要长时间用来麻痹自己，反正就是要学会从情绪消沉的低谷中走出来。（五）制订可行的学习计划考完后总结固然重要，但是更要找到新的起点，有的同学一次考试失败了，就一蹶不振，我想这样做是没有必要的。哭完后，发泄完就静下心来重新找到自己的起点，尽量用一个好心情，用一种平常心去投入下一轮的学习，也许努力不一定会有收获，但不努力一

29、定不会有收获。所以调整好心态后，就必须要根据自己的具体情况制订一个可行的计划。对于有明显问题的学科需要增加学习时间，对于出现的主要问题要找出相应的对策，并拿出专门的时间加以克服。当学习出现全面的退步，应该考虑全面调整学习方法和计划。在制订计划时不能急于求成，要根据自己的实际情况，制订适合自己的计划。如果我们将目标确定太高或太低，就会失去目标与计划的实际意义。例如如果对自己提出过高的要求，那样达不到自己要求的时候又会产生新的心理不平衡。所以不能一步登天，要学会给自己设定短期的目标，不断给自己制造成功的喜悦，从而不断增强学习和考试的信心。有的同学考完后很有动力，列了一大堆复习计划，下了一大堆决心，

30、但是几天过后就又像以前一样了。所以请大家要用毅力坚持学习下来，如果一直像以前，不做出改变的话，下次考试怕又要名落孙山，正如0，你不在前面写一个1时，0还是0，所以请大家能找到新的起点，并扬长补短，当然了，找到起点后决不能停在起点不动，而要前进、奋斗。结语：同学们，不论发生了什么再美好再糟糕的事，只要是发生在昨天，那都将成为过去。对于美好的事物，不要沉醉，对于糟糕的事物，不要悲伤，眼前才是最重要的，更多时候要往前看。学习正如吃饭，而考试失败则是饭中的一粒石头，你总不能在人生中对知识最渴求时，因为一次的失败而不学习，正如你不会因为饭中有一粒石子而饿着不吃饭吧，所以继续努力，愿你们的付出会有收获。今天的广播到此结束，谢谢。