导数及其应用考点梳理讲解总结,导数及其应用的高考题型解析及答案.docx

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1、考点43导数及几何意义、导数的运算【命题解读】 导数及几何意义、导数的运算是高考中经常出现的知识点，在高考中常以选择或者填空的形式出现，整体难度以中档为主，偶尔在解答题中出现导数的几何意义，求解切线，重点还是考查计算能力。【命题预测】预计2021年的高考导数的几何意义还是必考知识点，复习中要注重知识点的相互联系，在导数的运算方面要加强计算能力。【复习建议】 1.掌握导数的概念及几何意义；2.会计算函数的导数以及运用导数求切线方程。考向一导数的概念及几何意义1.导数的概念(1)在点x0处的导数limx0yx=limx0f(x0+x)-f(x0)x,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记

2、为f(x0)或y|x=x0,即f(x0)=limx0yx=limx0f(x0+x)-f(x0)x(2) 区间(a,b)上的导数当x(a,b)时,f(x)=limx0yx=limx0f(x+x)-f(x)x叫作函数在区间(a,b)内的导数2.导数的几何意义函数y=f(x)在点x=x0处的导数f(x0)就是函数图像在该点处切线的斜率.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程是y-f(x0)=f(x0)(x-x0).1.【2020全国高三课时练习（理）】函数的图像在点处的切线方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】，因此，所求切线的方程为，即.故选：B.2. 【2020山东高三其他】已知函数

3、的图象在点处的切线经过坐标原点，则（ ）ABCD【答案】A【解析】，切点为，所以，函数的图象在点处的切线方程为，由于该直线过原点，则，解得，故选A.考向二 导数的运算1.常用导数公式（1） C=0(C为常数)（2）(xn)= nxn-1 (nZ)（3） (sin x)= cos x (cos x)= -sin x（4）(ax)= axln a (a0,且a1)（5） (logax)= 1xlna (a0,且a1)（6） (ex)=ex（7） (ln x)=1x,(ln|x|)=1x2.导数的运算法则f(x)g(x)= f(x)g(x) f(x)g(x)= f(x)g(x)+f(x)g(x)f(

4、x)g(x)=f(x)g(x)-g(x)f(x)g(x)2复合函数y=fg(x)的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系yx= yuux这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”1. 【2020全国高三课时练习（理）】已知函数的导函数为，且满足，则等于（）A1BCD【答案】B【解析】，所以，得，故选B.2. 【2020河南高三其他（理）】已知函数，则_.【答案】1【解析】由，得，则，解得.故答案为：1.题组一（真题在线）1. 【2020年高考全国卷理数】函数的图像在点处的切线方程为ABCD2. 【2020年高考全国III卷理数】若直线l与曲线y=

5、和x2+y2=都相切，则l的方程为Ay=2x+1By=2x+Cy=x+1Dy=x+3. 【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强其中所有正确结论的序号是_4. 【2019年高考全国卷理数】已知曲

6、线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则A Ba=e，b=1C D，5. 【2019年高考全国卷理数】曲线在点处的切线方程为_6. 【2020年高考北京】已知函数（）求曲线的斜率等于的切线方程；（）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值题组二1. 【2020陕西西安高三二模（理）】已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）ABCD2. 【2020全国高三课时练习（理）】若曲线与曲线在交点处有公切线，则（ ）AB0C2D13. 【2020邢台市第二中学高二期末】已知函数在点处的切线方程为，则（ ）ABCD4. 【2020陕西西安高三三模】函数的图象在点处的切线的倾斜角为（

7、）ABCD5. 【2020山东师范大学附中高二月考】已知函数的导函数为，且满足，则等于（ ）ABCD16. 【2020全国高三课时练习（理）】函数在点(0，f(0)处的切线方程是_. 7. 【2020福建高三其他（理）】设曲线在处的切线与直线平行，则实数a的值为_.8. 【2020山东莱阳一中高三月考】已知，则_9. 【2020河南开封高三二模（理）】已知函数则函数在处的切线方程为_10. 【2019山东聊城】如图，是可导函数,直线l是曲线在处的切线，令，则_.题组一1.B【解析】，因此，所求切线的方程为，即.故选：B2.D【解析】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线

8、的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍），则直线的方程为，即.故选：D3. 【解析】表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；正确；甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强错误；在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；正确；故答案为：4. D【解析】切线的斜率，将代入，得.故选D5. 【解析】所以切线的斜

9、率，则曲线在点处的切线方程为，即6. 见解析【解析】（）因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为，由点斜式可得切线方程：，即.（）显然，因为在点处的切线方程为：，令，得，令，得，所以，不妨设时，结果一样，则，所以，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，也是最小值为.题组二1.D【解析】，将代入得，故选D2.D【解析】由曲线，得，则，由曲线，得，则，因为曲线与曲线在交点出有公切线，所以，解得，又由，即交点为，将代入曲线，得，所以，故选D3.D【解析】切点在切线上，得，又切线斜率，.故选：D4.B【解析】，则，则倾斜角为故选：B5.B【解析】,令，则，解得，故选：B6. 【解

10、析】，, f(0)0,函数f(x)的图像在点(0,0)处的切线方程为y01(x0)，即yx.故答案为：7. C【解析】 ，所以的虚部为4.故选：C8. 2【解析】因为所以所以又因为曲线在处的切线与直线平行，所以故答案为：9. 【解析】，故切线方程为：，即故答案为：10. 【解析】由图像可知，切线过、，求导故答案为：考点44导数与函数的单调性【命题解读】 利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，在高考中经常出现的是含参数的函数的导数求解问题，难度以中高难度为主，主要出现在解答题中，命题形式灵活多变，主要考查分析能力和解答计算能力，对数学思维要求高。【命题预测】预计2021年的高考利用导数研究函

11、数单调性是热点知识点，命题形式更加灵活，新颖，对分析能力和计算能力要求更高。【复习建议】 1.借助图象理解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性。考向一利用导数研究函数的单调性导数到单调性单调递增在区间(a,b)上,若f(x)0,则f(x)在这个区间上单调递增单调递减在区间(a,b)上,若f(x)0，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减；若a=0，在单调递增；若a0，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减.（2）满足题设条件的a，b存在.（i）当a0时，由（1）知，在0，1单调递增，所以在区间0，l的最小值为，最大值为.此时a，b满足题设条件当且仅当，即a=0，（ii）

12、当a3时，由（1）知，在0，1单调递减，所以在区间0，1的最大值为，最小值为此时a，b满足题设条件当且仅当，b=1，即a=4，b=1（iii）当0a3时，由（1）知，在0，1的最小值为，最大值为b或若，b=1，则，与0a3矛盾.若，则或或a=0，与0a3矛盾综上，当且仅当a=0，或a=4，b=1时，在0，1的最小值为-1，最大值为13. 见解析【解析】（）由已知，有因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增所以，的单调递增区间为的单调递减区间为（）证明：记依题意及（），有，从而当时，故因此，在区间上单调递减，进而所以，当时，（）证明：依题意，即记，则，且由及（），得由（）知，当时

13、，所以在上为减函数，因此又由（）知，故所以，4. 见解析【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex+x2x，则=ex+2x1故当x（，0）时，0所以f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增（2）等价于.设函数，则.（i）若2a+10，即，则当x（0，2）时，0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x（0，2）时，g（x）1，不合题意.（ii）若02a+12，即，则当x(0，2a+1)(2，+)时，g(x)0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)1当且仅当g(2)=(74a)e21，即a.所以当时，

14、g(x)1.（iii）若2a+12，即，则g(x).由于，故由（ii）可得1.故当时，g(x)1.综上，a的取值范围是.5. 见解析【解析】（1）当时，；当时，所以在区间单调递增，在区间单调递减（2）因为，由（1）知，在区间的最大值为，最小值为而是周期为的周期函数，故（3）由于，所以题组二1.C【解析】因为的定义域为，由，得，解得，所以的递增区间为.故选：C.2.D【解析】构造函数，其中，则，所以，函数在定义域上为增函数，在不等式两边同时乘以得，即，所以，解得，因此，不等式的解集为，故选D.3.A【解析】设，代入点，则，解得，则，令，解得，函数的递增区间为.故选：A.4. C【解析】f(x)2

15、ax4a，若f(x)在(1，3)上不单调，令g(x)2ax24ax1，则函数g(x)2ax24ax1与x轴在(1，3)有交点，a0时，显然不成立；a0时，只需解得a.故选：C5. 【解析】，其中，令，则，故函数的单调减区间为，故答案为：6. 【解析】,解得在上恒成立,构造函数,解得x=1, 在上单调递增,在上单调递减,g(x)的最大值为g(1)=1, ,故填.7. 【解析】是上的奇函数，则在定义域内为增函数，可变形为，将其看作关于的一次函数，可得当时，恒成立，若，若，解得8. 见解析【解析】（1）当时，而时，时，在上单调递增，时，在上单调递减；综上，在上单调递增，在上单调递减；（2），令由知：

16、，时，而知，使在上单调增，在上单调减；而，在上恒成立.当时，有恒成立.当时，有恒有，令即，上，而在上，令，即单调减，又，所以使，即上，单调增，上，单调减，综上，使在上单调增，上单调减；又，1、时，在上单调减，上单调增，且，故此时不能保证恒成立；2、时，上恒成立；在上要使恒成立，令，有恒成立，所以只要单调递增即可，有成立，即综上，知：时不等式对任意恒成立，故.9. 见解析【解析】(1)ae，f(x)exex1，f(x)exe，f(1)1，f(1)0.当ae时，函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为y1.(2)f(x)exax1，f(x)exA当a0时，f(x)0，故f(x)在R上单调

17、递增；当a0时，由f(x)exa0，得xln a，当xln a时，f(x)eln aa0，当xln a时，f(x)eln aa0，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增综上，当a0时，f(x)在R上单调递增；当a0时，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增考点45导数与函数的极值、最值【命题解读】 利用导数研究函数的极值、最值是高考必考的重点知识点，已经是解决函数、不等式等问题的主要工具，在高考中常以各种题型出现，对于函数问题中含参问题的研究是高考出现频率较高的，试题难度比较大.【命题预测】预计2021年的高考利用导数研究函数的极值、最值出题形式

18、以新颖为主，灵活性较强，与函数、不等式等联系比较密切，难度以高档为主。【复习建议】 1.利用导数研究函数极值、最值；2.体会导数与函数极值、最值的关系。考向一利用导数研究函数的极值1.函数的极小值:函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f(x)0.则点a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.2.函数的极大值:函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0.则点b叫作函数y=f(x)的极大

19、值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.1. 【2020重庆期末】若定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则（ ）.A函数有1个极大值，2个极小值B函数有2个极大值，3个极小值C函数有3个极大值，2个极小值D函数有4个极大值，3个极小值【答案】B【解析】只有一个极大值点当时，当时，当时，时，时，且，函数在，处取得极大值，处取得极小值故选：B2. 【2018广东湛江期末】函数有极值的充分但不必要条件是（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，所以要使函数有极值，则需，解得，又由可推得，而由不能推得，所以函数有极值的充分但不必要条件是，故选

20、：A考向二 利用导数研究函数的最值1.在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值.2.若函数f(x)在a,b上单调递增,则f(a)为函数的最小值, f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则f(a)为函数的最大值, f(b)为函数的最小值.1. 【2020河北保定一模】已知函数在处取得最大值，则下列选项正确的是（ ）ABCD【答案】A【解析】函数的定义域为，而，令，则在上单调递减，且，使，从而在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值，.故选：A2. 【2019浙江金华高三期末】设的最大值为，则（ ）A当时，B当时，C当时，D当时，【答案】AB【解析】对于

21、选项A，当时，在区间上递减，所以，故选项A正确.对于选项B，当时，则，在区间上递增，即，故选项B正确.对于选项C，当时，当时，恒成立，所以，所以，故选项C错误.对于选项D，当时，则，在区间上递增，故选项D错误.故选：AB.题组一（真题在线）1. 【2019年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为ABCD2. 【2019年高考全国卷理数】已知函数，为的导数证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点3. 【2019年高考北京理数】已知函数（）求曲线的斜率为1的切线方程；（）当时，求证：；（）设，记在区间上的最大值为M（a）当M（a）最小时，求a的值4.

22、【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若ab，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M5. 【2020年高考天津】已知函数，为的导函数（）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（）当时，求证：对任意的，且，有6. 【2020年新高考全国卷】已知函数（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）1，求a的取值范围题组二1. 【2020全国月考（理）】函数的图象大致是( )ABCD2. 【202

23、0云南师大附中月考（理）】已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）ABCD3. 【2020霍邱县第二中学开学考试】已知函数f(x)x(lnxax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A(，0)BC(0,1)D(0，)4. 【2020江西省信丰中学月考】设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为（ ）ABCD5. 【2019湖南师大附中期末】若函数有两个极值点，则实数的取值范围是_6. 【2020北京期末】已知函数，则在区间上的最小值为_. 7. 【2020江西省奉新县第一中学月考（理）】若函数在区间上是减函数，则的最大值为_8. 【2020全国高三】已知函数给出下列结论：在上有最小

24、值，无最大值；设则为偶函数；在上有两个零点.其中正确结论的序号为_.（写出所有正确结论的序号）9. 【2020福建其他】设函数（1）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（2）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于10. 【2020湖北荆门月考】已知函数，.（1）设的导函数为，求的最小值；（2）设，当时，若恒成立，求的取值范围.题组一1.C【解析】当时，恒成立；当时，恒成立，令，则，当，即时取等号，则.当时，即恒成立，令，则，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，则时，取得最小值，综上可知，的取值范围是.故选C.2.见解析【解析】（1）设，则，.当时，单调递减，而，可得在有唯一

25、零点，设为.则当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.（2）的定义域为.（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，所以当时，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点.（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，而，所以存在，使得，且当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.又，所以当时，.从而，在没有零点.（iii）当时，所以在单调递减.而，所以在有唯一零点.（iv）当时，所以0，从而在没有零点.综上，有且仅有2个零点.3. 见解析【解析】（）由得.令，即，得或.又，所以曲线的斜率为1的切线方程是与，即与.（）令.由得.令得或.的情况如下：所以的

26、最小值为，最大值为.故，即.（）由（）知，当时，；当时，；当时，.综上，当最小时，.4. 见解析【解析】（1）因为，所以因为，所以，解得（2）因为，所以，从而令，得或因为都在集合中，且，所以此时，令，得或列表如下：1+00+极大值极小值所以的极小值为（3）因为，所以，因为，所以，则有2个不同的零点，设为由，得列表如下： +00+极大值极小值所以的极大值解法一：因此解法二：因为，所以当时，令，则令，得列表如下：+0极大值所以当时，取得极大值，且是最大值，故所以当时，因此5. 见解析【解析】（）（i）当时，故可得，所以曲线在点处的切线方程为，即（ii）依题意，从而可得，整理可得令，解得当变化时，的

27、变化情况如下表：1-0+极小值所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极大值（）证明：由，得对任意的，且，令，则 令当时，由此可得在单调递增，所以当时，即因为，所以， 由（）（ii）可知，当时，即，故 由可得所以，当时，对任意的，且，有6. 见解析【解析】的定义域为，（1）当时，曲线在点处的切线方程为，即直线在轴，轴上的截距分别为，因此所求三角形的面积为（2）当时，当时，当时，；当时，所以当时，取得最小值，最小值为，从而当时，综上，的取值范围是题组二1.B【解析】函数，则，令，解得的两个极值点为，故排除AD，且当时，恒为正，排除C，即只有B选项符合要求，故选：B.2.D【解析

28、】要使函数有两个极值点，求导得，则转化为有两个不同的实根，即和在上有两个交点，令，记，在上单调递减，且，所以当时，所以在上单调递增；当时，所以在上单调递减，故当时，；当时，所以，当，即时，和在上有两个交点，故选D3.B【解析】函数f（x）=x（lnxax），则f（x）=lnxax+x（a）=lnx2ax+1，令f（x）=lnx2ax+1=0得lnx=2ax1，函数f（x）=x（lnxax）有两个极值点，等价于f（x）=lnx2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax1与y=lnx的图象相切，由图可知，

29、当0a时，y=lnx与y=2ax1的图象有两个交点则实数a的取值范围是（0，）故选B4. A【解析】，是函数的极大值点，解得，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；当时，有极小值，且极小值为故选A5. 【解析】 令 由于函数函数有两个极值点点在区间 上有两个实数根 当 时， ，则函数 在区间单调递增，因此 在区间上不可能有两个实数根，应舍去当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，此时函数单调递增；令 ，解得 ，此时函数单调递减当时，函数取得极大值要使在区间上有两个实数根，则，解得实数 的取值范围是.6. 【解析】：由于，得到或 在上是增函数，在上是增函数，而，在上是减函数；可知的最小值在

30、或处取得，又，在区间上的最小值为.故答案为：.7. 【解析】 因为函数在区间上是减函数，所以在区间上恒成立，所以，即，即，令，则，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最大值为.故答案为：.8. 【解析】，由于，所以，所以在上递减，所以在上有最小值，无最大值，故正确.，依题意，由于，所以不是偶函数，故错误.，令得，画出和在区间上的图像如下图所示，由图可知和在区间上的图像有两个交点，则在上有两个零点，故正确.故答案为：.9. 见解析【解析】（1），依题意有，故经检验满足题意，的定义域为，当时，；当时，；当时，所以在区间单调递增，在区间单调递减（2）的定义域为，方程的判别式若，即，在的定义域内，故无极值若，则或当，当时，当时，所以无极值当，也无极值若，即或，则有两个不同的实根，当时，从而在的定义域内没有零点，故无极值当时，在的定义域内有两个不同的零点，可知在取得极值综上，存在极值时，的取值范围为由可得，则，所以的极值之和为10. 见解析【解析】（1），所以在上单调递减；在上单调递增所以的最小值为（2）当时，若成立，即对恒成立，亦即对恒成立.即，由（1）知时的最小值为，所以在上单调递增.在上恒成立.令，则.时，在上恒成立，此时满足已知条件，当时，由，解得.当时，此时在上单调递减；当时，此时在上单调递增.的最小值，解得.综上，的取值范围是.