立体几何易考点考向知识点总结分析,立体几何高考真题及答案解析.docx

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1、考点27 空间几何体的结构及其三视图与直观图空间几何体（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.（2）能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.（3）会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.一、空间几何体的结构1多面体几何体结构特征备注棱柱底面互相平行.侧面都是平行四边形.每相邻两个平行四边形的公共边互相平行

2、.按侧棱与底面是否垂直分类，可分为斜棱柱和直棱柱.侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.特别地，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.棱锥底面是多边形. 侧面都是三角形. 侧面有一个公共顶点.三棱锥的所有面都是三角形，所以四个面都可以看作底.三棱锥又称为四面体.棱台上、下底面互相平行，且是相似图形. 各侧棱的延长线交于一点. 各侧面为梯形.可用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥2旋转体几何体结构特征备注圆柱圆柱有两个大小相同的底面，这两个面互相平行，且底面是圆面而不是圆.圆柱有无数条母线，且任意一条母线都与圆柱的轴平行，所以圆柱的任意两条母线互相平行且相等. 平行于底面的

3、截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.圆锥底面是圆面.有无数条母线，长度相等且交于顶点. 平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面,过轴的截面（轴截面）是全等的等腰三角形.圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.圆台圆台上、下底面是互相平行且不等的圆面. 有无数条母线，等长且延长线交于一点. 平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面,过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形.圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.球球心和截面圆心的连线垂直于截面.球心

4、到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式:.球可以由半圆面或圆面绕直径所在直线旋转得到.二、空间几何体的三视图与直观图1空间几何体的三视图（1）三视图的概念光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图;光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图;光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图. 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.（2）三视图的画法规则排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.如下图：正侧俯画法规则)正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；)侧视图和正视图的高度一致，

5、即“高平齐”；)俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”.线条的规则)能看见的轮廓线用实线表示；)不能看见的轮廓线用虚线表示.（3）常见几何体的三视图常见几何体正视图侧视图俯视图长方体矩形矩形矩形正方体正方形正方形正方形圆柱矩形矩形圆圆锥等腰三角形等腰三角形圆圆台等腰梯形等腰梯形两个同心的圆球圆圆圆2空间几何体的直观图（1）斜二测画法及其规则对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是： 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x轴和y轴，两轴相交于点O，且使xOy=45(或135)，它们确定的平面表

6、示水平面.已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y轴的线段.已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴使xOz=90，且yOz=90.画直观图时，把它们画成对应的轴Ox，Oy，Oz，使xOy=45(或135)，xOz=90，xOy所确定的平面表示水平平面.已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴、y轴或z轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置

7、关系相同.已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.（3）直观图的面积与原图面积之间的关系原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍，直观图面积是原图面积的倍.考向一 空间几何体的结构特征关于空间几何体的结构特征问题的注意事项：(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可

8、.典例1 下列命题中正确的是A有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱C用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱【答案】B 【解析】在A中，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不是棱柱，故A错误；在B中，由棱柱的定义得：有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故B正确；在C中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故C错误；在D中，如

9、图的几何体，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不是棱柱，故D错误故选B1正三棱锥内有一个内切球,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的图是典例2 边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是A10 cmB cmC cm D cm【答案】D【解析】圆柱的侧面展开图如图所示， 展开后，故选D.【名师点睛】求几何体的侧面上两点间的最短距离问题，常常把侧面展开，转化为平面几何问题处理2如图，在长方体中，点在棱上，当取得最小值时，则棱的长为_.考向二 空间几何体的三视图三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥

10、、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图(2)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.典例3 如图所示，在放置的四个几何体中，其正视图为矩形的是 A B C D【答案】B【解析】A选项三棱锥、C选项圆台、D选项的正视图都不是矩形，而B选项圆柱的正视图为矩形.故选B3一个动点从正方体的顶点处出发，经正方

11、体的表面，按最短路线到达顶点位置，则下列图形中可以表示正方体及动点最短路线的正视图是ABCD典例4 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是A三棱锥B三棱柱C四棱锥D四棱柱【答案】B 【解析】由三视图中的正视图可知，有一个面为直角三角形，由侧视图和俯视图可知其他的面为长方形.综合可判断为三棱柱.4如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的最长棱长为A23B4C6D42考向三 空间几何体的直观图斜二测画法中的“三变”与“三不变”：“三变”；“三不变”.典例5 如图是水平放置的平面图形的直观图,则原平面图形的面积为

12、A3BC6D【答案】C【解析】原平面图形如图,即RtOAB,其中OA=OA=3,OB=2OB=4,故原平面图形的面积为，故选C【方法点晴】本题主要考查了平面图形的直观图及其原图形与直观图面积之间的关系，属于基础题，解答的关键是牢记原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍，直观图面积是原图面积的倍.5已知边长为1的菱形中，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为ABCD1有下列三个说法： 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 其中正确的有A0个B1个C2个D

13、3个2某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是A圆柱 B圆锥C四面体 D三棱柱3如图为水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系中点B的坐标为（2，2），则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，点到轴的距离为ABC1D4如图，正方体中，为棱的中点，用过点、的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是ABCD5正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为A等腰三角形B直角三角形C平行四边形D梯形6用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是A BC D7已知三棱柱的高为2，底面三角形的边长分别为3，4，

14、5.若球内切于三棱柱，其正视图和俯视图如图所示，则其左视图是ABCD8用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面半径之比为1:4，若截去的圆锥的母线长为3cm，则圆台的母线长为A1cmB3cmC12cmD9cm9一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是0,1,0,0,2,0,2,0,2,0,2,2，绘制该四面体的三视图时，按照如下图所示的方向画正视图，则得到的正视图为A BC D10一个正方体的内切球、外接球、与各棱都相切的球的半径之比为A BC D11如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图，该几何体的各个面中有若干个是梯形，则这些

15、梯形的面积之和为A28 B30C32 D3612长方体中，设点关于直线的对称点为，则与两点之间的距离是A B C D13已知正三棱柱ABCA1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为AB25CD3114已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为ABCD15如图所示,E,F分别为正方体ABCD-ABCD的面ADDA、面BCCB的中心,现给出图的4个平面图形,则四边形BFDE在该正方体的面上的射影可能是图.(填上所有正确图形对应的序号)16如图所示是一个几何体的表面展开平面图,该几何体中与“数”字

16、面相对的是“ ”.17已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有_.（填序号）18已知一个圆锥的母线长为2，底面圆的周长为，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为_.19一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为_.20用半径为，圆心角为的扇形纸片卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为_.21正三棱锥PABC中，PA=PB=PC=a，AB的中点为M，一小蜜蜂沿锥体侧面由M 爬到C点，最短路程是_.1（2018新课标全国文科）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面

17、上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为ABC3D22（2018新课标全国文科）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是3（2016天津文科）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为 ABCD变式拓展1【答案】C【解析】正三棱锥的内切球与各个面的切点为正三棱锥各面的中心,所以过一条侧棱和高的截面必过该棱所对的面的高线,故C正确.2【答案】【

18、解析】把长方形展开到长方形所在平面，如图，当，在同一条直线上时，取得最小值，此时，令，则，得.故棱的长为.3【答案】C【解析】由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到定点位置，共有6种展开方式，若把平面和平面展开到同一个平面内，在矩形中连接，会经过的中点，故此时的正视图为；若把平面和平面展开到同一个平面内，在矩形中连接，会经过的中点，此时的正视图为.故选C 4【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是如图所示的四棱锥OABCD，其所在正方体的棱长为4，A，D为棱的中点，根据几何体可以判断，该四棱锥的最长棱为AO，AO=42+42+22=6故选C5【答案】D【解析】如图，菱形中，则菱形的面积为，所以

19、用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为.故选D考点冲关1【答案】A 【解析】本题主要考查棱台的结构特征中的平面不一定平行于底面，故错；可用反例去检验，如图所示，故错 2【答案】A【解析】因为圆柱的三视图有两个矩形，一个圆，正视图不可能是三角形，而圆锥、四面体（三棱锥）、三棱柱的正视图都有可能是三角形，所以选A3【答案】B【解析】因为垂直于轴，所以在直观图中的长度是1，且与轴的夹角是，所以到轴的距离是.4【答案】A【解析】正方体中，过点的平面截去该正方体的下半部分后，剩余部分几何体的正视图为图中粗线部分故选A5【答案】A【解析】如图所示，由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥所

20、得的几何体，很明显截面是等腰三角形.故选A6【答案】A【解析】根据斜二测画法知，平行于x轴的线段长度不变,平行于y的线段变为原来的，由此得原来的图形是A故选A7【答案】D【解析】设球的半径为，由正视图、俯视图可得，又球与三棱柱的三个侧面相切，可得其左视图如选项D所示故选D.8【答案】D【解析】如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x，根据相似三角形的性质可得33+y=x4x，解得y=9，所以圆台的母线长为9cm.故选D9【答案】D【解析】根据空间直角坐标系中点的位置，画出直观图如图，则正视图为D中图形.故选D10【答案】C【解析】设正方体的棱长为，那么其内切球的半

21、径为，外接球的半径为（正方体体对角线的一半），与各棱都相切的球的半径为（正方体面对角线的一半），所以比值是，故选C【方法点睛】球与几何体的组合体的问题，尤其是相切，一般不画组合体的直观图，而是画切面图，圆心到切点的距离是半径并且垂直，如果是内切球，那么对面切点的距离就是直径，而对面切点的距离是棱长，如果与棱相切，那么对棱切点的距离就是直径，而切点在棱的中点，所以对棱中点的距离等于面对角线长，而如果外接球，那么相对顶点的距离就是直径，即正方体的体对角线是直径11【答案】C【解析】由三视图可知该几何体如图所示，各个面中有两个梯形，一个矩形，两个直角三角形，则这两个梯形的面积和为S=122+63+1

22、22+65=32.故选C12【答案】A【解析】如下图所示：在中，易知，由余弦定理得：，所以.故选A13【答案】B【解析】将正三棱柱沿侧棱展开，如图所示：在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值由已知求得正三棱柱底面三角形的边长为，所以矩形的长等于，宽等于7，由勾股定理求得故选B14【答案】D【解析】由三视图可知：该几何体为一个三棱锥PABC，其中PC底面ABC，底面ABC是一个三边分别为，2的三角形，PC2由，可得A90，则ABAC又PC底面ABC，PCBC，PCAC则ABPA因此该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为4故选D15【答案】【解析

23、】四边形BFDE在正方体ABCD-ABCD的面BCCB上的射影是;在面ABCD上的射影是;易知的情况不可能出现.16【答案】学【解析】由图形可知,该几何体为三棱台，两个三角形为三棱台的上下底面，与“数”字面相对的是“学”.17【答案】【解析】俯视图为时，该几何体从上往下依次为圆柱、圆柱、长方体组成的组合体；俯视图为时，该几何体从上往下依次为长方体、长方体、圆柱组成的组合体；俯视图为时，该几何体从上往下依次为圆柱、长方体、长方体组成的组合体；俯视图为时，该几何体从上往下依次为三棱柱、圆柱、长方体组成的组合体；俯视图不可能为.18【答案】2【解析】底面圆的周长为，所以半径为，两母线夹角最大为，圆锥

24、的母线长为2，过圆锥顶点的截面面积，所以，当截面中的两圆锥母线夹角为时，截面面积最大为2.19【答案】【解析】由题意得，水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，其面积为，又原图形与直观图的面积比为，所以原图形的面积为20【答案】【解析】如图所示，半径为，圆心角为的扇形，所以扇形的弧长为，设卷成圆锥的底面圆的半径为，则，解得，所以这个圆锥筒的高为.21【答案】【解析】由题意，将侧面PBC展开，那么点M到C的距离，就是在中MC的长度，由题中数据易得，MC=102a，如果将侧面PAC展开，同理可得.直通高考1【答案】B【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，知点M在

25、上底面上，点N在下底面上，且可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为42+22=25.故选B【名师点睛】该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.2【答案】A【解析】本题主要考查空间几何体的三视图.由题意知，俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形.故选A3【答案】B 【解析】由题意得截去的是长方体前右上方顶点处的一个棱锥，故选B.【名师

26、点睛】（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何体中的点、线、面之间的位置关系及相关数据 考点28 空间几何体的表面积与体积了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.一、柱体、锥体、台体的表面积1旋转体的表面积圆柱（底面半径为r，母线长为l）圆锥（底面半径为r，母线长为l）圆台（上、下底面半径分别为r,r,母线长为l）侧面展开图底面面积 侧面面积 表面积 2多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.棱锥、棱台、棱柱的侧面积公

27、式间的联系：二、柱体、锥体、台体的体积1柱体、锥体、台体的体积公式几何体体积柱体(S为底面面积，h为高),(r为底面半径，h为高)锥体(S为底面面积，h为高)， (r为底面半径，h为高)台体(S、S分别为上、下底面面积，h为高)，(r、r分别为上、下底面半径，h为高)2柱体、锥体、台体体积公式间的关系3必记结论（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差；（2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.三、球的表面积和体积1球的表面积和体积公式设球的半径为R，它的体积与表面积都由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数，其表面积公式为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为.2球的

28、切、接问题（常见结论）（1）若正方体的棱长为，则正方体的内切球半径是；正方体的外接球半径是；与正方体所有棱相切的球的半径是（2）若长方体的长、宽、高分别为，则长方体的外接球半径是（3）若正四面体的棱长为，则正四面体的内切球半径是；正四面体的外接球半径是；与正四面体所有棱相切的球的半径是（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高考向一 柱体、锥体、台体的表面积1已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积2多面体的表面积是各个面

29、的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.3求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.典例1 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为ABCD【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为两个半圆柱构成，其表面积为，故选D【名师点睛】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积时常会设计此种陷阱典例2 若正四棱柱的底边长为2，与底面成45角，则三棱锥的表面积为A BC D【答案】A【解析】由与底面成45角，且正四棱柱的底边长为2，可知棱柱的高为

30、，故三棱锥的表面积为 故答案为A.1某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A46B48C50D522榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为A192 B186C180 D198考向二 柱体、锥体、台体的体积空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题. 求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解（2）若所给定

31、的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则

32、的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.典例3 如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为ABCD【答案】D【解析】根据三视图可得，该几何体是三棱柱割去一个三棱锥所得的几何体，如图所示：所以其体积为.故选D.典例4 如图，几何体EFABCD中，DE平面ABCD，CDEF是正方形，ABCD为直角梯形

33、，AB/CD，ADDC，是腰长为22的等腰直角三角形（1）求证：BCAF；（2）求几何体EFABCD的体积.【解析】（1）因为是腰长为22的等腰直角三角形，所以ACBC.因为DE平面ABCD，所以DEBC.又DE/CF，所以CFBC，又ACCF=C，所以BC平面ACF.所以BCAF.（2）因为是腰长为22的等腰直角三角形，所以AC=BC=22,AB=AC2+BC2=4，所以AD=BCsinABC=22sin45=2,CD=ABBCcosABC=422cos45=2.所以DE=EF=CF=2，由勾股定理得AE=AD2+DE2=22，因为DE平面ABCD，所以DEAD.又ADDC,DEDC=D，所

34、以AD平面CDEF.所以.3已知一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为，则的值为ABCD4如图，在斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，为棱的中点，. （1）求证：平面； （2）求斜三棱柱的体积. 考向三 球的表面积和体积1确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.2球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为31；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球

35、心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高3与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.4有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径之间满足关系式：.典例5 九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥为鳖臑， 平面，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为ABCD【答案】C【解析】如图，由题可知，底

36、面为直角三角形，且，则，则球的直径，则球的表面积.故选C.典例6 四棱锥的底面为正方形，底面，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则的长为A3B2C1D【答案】C【解析】连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OEPA，底面，OE底面ABCD，可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球的半径为R，可得，则，解得PA=1.故选C5一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的表面积是A BC D6已知是某球面上不共面的四点，且， ，则此球的体积为A BC D考向四 空间几何体表面积和体积的最值求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个

37、思路：一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决.典例7 如图,A1A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于A,B的任意一点,A1A=AB=2.（1）求证：BC平面A1AC;（2）求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.【解析】（1）因为C是底面圆周上异于A,B的任意一点,且AB是圆柱底面圆的直径,所以BCAC.因为AA1平面ABC,BC平面ABC,所以AA1BC.又AA1AC=A,所以BC平面A

38、A1C.（2）方法一：设AC=x(0x2),在中,BC=AB2AC2=4x2,故V三棱锥A1ABC=13SABCAA1=1312ACBCAA1=x4x2=13x2(4x2)=13(x22)2+4.因为0x2,0x24,所以当x2=2,即x=2时,三棱锥A1-ABC的体积取得最大值.方法二：在中,AC2+BC2=AB2=4,从而V三棱锥A1ABC=13SABCAA1=1312ACBCAA1=ACBC13AC2+BC22=23,当且仅当 AC=BC=2时等号成立.所以三棱锥A1-ABC的体积的最大值为.7表面积为16的球内接一个正三棱柱,则此三棱柱体积的最大值为A4B10C8D151一个长方体共一

39、顶点的三条棱长分别是，这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是A12 B18C36 D62的斜二侧直观图如图所示，则的面积为AB1CD23某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A1B2C3D64一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为AB4CD5一个与球心距离为2的平面截球所得圆面面积为，则球的表面积为A20B202C16D1626我国古代数学名著孙子算经中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺.问：须工几何？”意思是：“现要筑造底面为等腰梯形的

40、直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为丈、下底为丈、高为丈，直棱柱的侧棱长为尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？”（注：一丈等于十尺）A BC D7如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为ABCD8已知圆锥的高和底面半径之比，且圆锥的体积，则圆锥的表面积为ABCD9如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为ABCD10中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都

41、为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，若鳖臑的体积为l，则阳马的外接球的表面积等于ABCD11如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的表面积为，则的值为ABCD112已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，底面，若，且，则此球的表面积等于ABCD13已知等边三角形的边长为2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为_.14若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为_.15将若干毫升水倒入底面半径为4cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为8cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是_cm.16正三棱锥的高为，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则此球的表面积是 17已知三棱锥的外接球半径为2，平面，则该三棱锥体积的最大值为_18已知四面体中，则四面体的体积为_.19如图所示的几何体为一简单组合体，在底面中，.（1）求证：平面；（2）求该组合体的体积.1（2019年高考浙江卷）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提