高中数学平面向量教案人教版（理科）.docx

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1、第一节平面向量的概念及其线性运算向量的线性运算及几何意义(1)理解平面向量的有关概念及向量的表示方法(2)掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义(3)理解两个向量共线的含义(4)了解向量线性运算的性质及其几何意义知识点一向量的有关概念名称定义向量既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或称模)零向量长度为零的向量叫作零向量，其方向是任意的，零向量记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这两个向量叫作平行向量，平行向量又叫共线向量规定：0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量易误提醒1对

2、于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任一向量平行(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件2单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制自测练习1若向量a与b不相等，则a与b一定()A有不相等的模 B不共线C不可能都是零向量 D不可能都是单位向量解析：若a与b都是零向量，则ab，故选项C正确答案：C2若mn，nk，则向量m与向量k()A共线 B不共线C共线且同向 D不一定共线解析：可举特例，当n0时，满足mn，nk，故A，B，C选项都不正确，故D正确答案：D知识点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a

3、bba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫作a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0，所以(2xy)4428，当且仅当y2x时取等号，所以的最小值为8.答案：B6已知S是ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若xyz，则xyz_.解析：依题意得()，因此xyz10.答案：07已知平面向量a，b满足|a|1，b(1,1)，且ab，则向量a的坐标是_解析：设a(x，y)平面向量a，b满足|a|1，b(1,1)，且ab，1，xy0.解得xy.a或.答案：或8已知A(3,0)，B(0，)

4、，O为坐标原点，C在第二象限，且AOC30，则实数的值为_解析：由题意知(3,0)，(0，)，则(3，)，由AOC30，知xOC150，tan 150，即，1.答案：19已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，设a，b，c，有3c，2b，求：(1)3ab3c；(2)满足ambnc的实数m，n；(3)M，N的坐标及向量的坐标解：由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)，(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)，M的坐标为(0,20)

5、又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N的坐标为(9,2)故(90,220)(9，18)10.(2015皖南八校模拟)如图，AOB，动点A1，A2与B1，B2分别在射线OA，OB上，且线段A1A2的长为1，线段B1，B2的长为2，点M，N分别是线段A1B1，A2B2的中点(1)用向量与表示向量；(2)求向量的模解：(1)，两式相加，并注意到点M，N分别是线段A1B1，A2B2的中点，得.(2)由已知可得向量与的模分别为1与2，夹角为，所以1，由()得| .B组高考题型专练1(2013高考陕西卷)已知向量a(1，m)，b(m,2)，若ab，则实数m等于()A B.C或 D0解析：由abm

6、212m或m.答案：C2(2015高考四川卷)设向量a(2,4)与向量b(x,6)共线，则实数x()A2 B3C4 D6解析：由向量a(2,4)与向量b(x,6)共线，可得4x26，解得x3.答案：B3(2015高考全国卷)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4) B(7,4)C(1,4) D(1,4)解析：设C(x，y)，A(0,1)，(4，3)，解得C(4，2)，又B(3,2)，(7，4)，选A.答案：A4(2015高考北京卷)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.解析：由题中条件得()xy，所以x，y.答案：5(2015高考湖北卷)已知向量

7、，|3，则_.解析：因为，|3，所以()|2|2329.答案：9第三节平面向量的数量积1数量积的定义及长度、角度问题(1)理解数量积的含义及其物理意义(2)了解向量数量积与向量投影的关系(3)掌握数量积的坐标表达式及相关性质，并会进行数量积的运算(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判定两向量垂直2数量积的综合应用会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及其他的一些实际问题知识点一平面向量的数量积1两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a和b，作Oa，Ob，则AOB叫作向量a与b的夹角(2)范围向量夹角的范围是0180，a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角180.(3)

8、向量垂直如果向量a与b的夹角是90，则a与b垂直，记作ab.2平面向量数量积(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫作a与b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos .规定0a0.当ab时，90，这时ab0.(2)ab的几何意义ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积易误提醒1两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角2在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量3在实数运算中，若a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量a，b却有|ab|a|b|，当且仅当ab

9、时等号成立这是因为|ab|a|b|cos |，而|cos |1.必记结论两向量a与b的夹角为锐角cosa，b0且a与b不共线；两向量a与b的夹角为钝角cosa，b0，且a与b不共线自测练习1. 已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为()A. B.C. D.解析：向量a，b满足|a|1，|b|4，且ab2，设a与b的夹角为，则cos ，.答案：C2已知a，b为单位向量，其夹角为60，则(2ab)b()A1 B0C1 D2解析：(2ab)b2abb22|a|b|cosa，b|b|2211cos 6010.答案：B3已知|a|4，|b|3，a与b的夹角为120，则b在a方向

10、上的投影为()A2 B.C2 D解析：b在a方向上的投影为|b|cos 120.故选D.答案：D知识点二数量积的性质及坐标运算1向量数量积的性质(1)如果e是单位向量，则aeea|a|cosa，e(2)abab0.(3)aa|a|2，|a|.(4)cosa，b.(5)|ab|a|b|.2数量积的运算律(1)交换律：abba.(2)分配律：(ab)cacbc.(3)对R，(ab)(a)ba(b)3平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|

11、x1x2y1y2|易误提醒1实数运算满足消去律：若bcca，c0，则有ba.在向量数量积的运算中，若abac(a0)，则不一定得到bc.2实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线自测练习4已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则_.解析：mn(23,3)，mn(1，1)，又(mn)(mn)，(mn)(mn)(23,3)(1，1)0，从而3.答案：35已知向量a与b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|5ab|.解析：由ab|a|b|cosa，b13cos 120，得|5ab|