不等式易考点考向知识点总结分析,不等式高考真题及答案解析.docx

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1、考点24 不等关系与一元二次不等式1不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.一、不等关系1不等式的概念（1）现实世界与日常生活中，与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系（2）用数学符号“”“”“”“”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式2两个实数大小的比较（1）作差法：设a，bR，则，abab0，b

2、0，则ab，ab；ab，bc；(单向性)可加性：abacbc；(双向性)ab，cd；(单向性)可乘性：；(单向性) ab，c0acb0，cd0；(单向性)乘方法则：；(单向性)开方法则：ab0(nN，n2)(单向性)注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递.（2）可乘性中，要特别注意“乘数c”的符号.4必记结论（1）ab，ab0.（2）a0b0,0cd.（4）0axb或axbb0，m0，则；(bm0)；(bm0)二、一元二次不等式及其解法1一元二次不等式的概念我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式，有下列三种形式：

3、（1）一般式：；（2）顶点式：；（3）两根式：.2三个“二次”之间的关系判别式的图象一元二次方程的根有两相异实根有两相等实根没有实数根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集3一元二次不等式的解法由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下：（1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即或；（2）计算：求出相应的一元二次方程（）的根，有三种情况：；（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；（4）求解：利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集可用程序框图表示一元二次不等式的求解过程，如图.4一元二次不等式恒成立问题（1）

4、恒成立的充要条件是：且（2）恒成立的充要条件是：且（3）恒成立的充要条件是：且（4）恒成立的充要条件是：且（5）恒成立的充要条件是：且或且（6）恒成立的充要条件是：且或且考向一 比较大小比较大小的常用方法：（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反.（3）介值比较法：介值比较法的理论根据是：若ab,bc,则ac，其中b是a与c的中介值. 介值比较法的关键是通过不等式的

5、恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.（4）利用单调性比较大小.（5）函数法，即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单调性将其进一步转化为自变量的大小问题来解决.典例1 若a=2x2+1，b=x2+2x，c=x3，试比较a，b，c的大小.【解析】a=2x2+1，b=x2+2x，c=x3，ab=(2x2+1)(x2+2x)=x22x+1=(x1)20，即ab，bc=(x2+2x)(x3) =x2+3x+3=(x+32)2+340，即bc，综上可得：abc.典例2 已知0ab1，则，的大小关系是A BC D【答案】A【解析】因为0ab1,所以=0.综上，得0),一根(=0)

6、,无根(0，解关于x的不等式f(x)0.【解析】（1）当a=2时，fx02x25x+20,可得2x1x20，12x2,fx0的解集为12,2.（2）不等式fx0可化为ax22a+1x+20,a0，即ax1ax20,a0， 当0a2，解得，当a=12时，1a=2，解得x=2. 当a12时，1a2，解得.综上，当0a12时，不等式的解集为.3已知关于的不等式.（1）若该不等式的解集为，求，的值；（2）若，求此不等式的解集.考向四 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间关系的应用一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件

7、下相互转换.（1）若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系.（2）若一元二次不等式的解集为或，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范围.典例7 已知函数fx=3x2+a(6a)x+c.（1）当c=19时,解关于a的不等式f10；（2）若关于x的不等式fx0的解集是(1,4)，求实数a,c的值.【解析】（1）当c=19时,f(x)=3x2+a(6a)x+19,所以f(1)=3+a(6a)+19=a2+6a+16, f(1)0,即a26a160,

8、解得2a8.(2)依题意:1,4是方程3x2+a(6a)x+c=0的解,由根与系数的关系可得,解得a=3c=12.典例8 已知关于x的不等式.（1）若不等式的解集为x|x1，求k的值；（2）若不等式的解集为，求实数k的取值范围.【解析】（1）由不等式的解集为x|x1，可知k0,3和1是一元二次方程的两根，所以，解得.（2）由题意知不等式的解集为，若k=0，则不等式为2x0，不合题意；若k0，则，解得.综上，实数k的取值范围为.4已知二次函数（1）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）若关于的方程有两个不等正实根，求实数的取值范围考向五 一元二次不等式的应用对于分式不等式和高次不等式，

9、它们都可以转化为一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解.1分式不等式的解法若与是关于的多项式，则不等式(或0，或0，或0)称为分式不等式解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解即;.对于形如a(或a)的分式不等式，其中a0，求解的方法是先把不等式的右边化为0，再通过商的符号法则，把它转化为整式不等式求解. 2高次不等式的解法不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式解高次不等式常用的方法有两种： （1）将高次不等式中的多项式分解成若干个不可约因式的乘积，根据实数运算的符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式(组)于是原不等式的解集就是各不等式(组

10、)解集的并集（2）穿针引线法：将不等式化为标准形式，一端为0，另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可约因式的乘积； 求出各因式的实数根，并在数轴上标出； 自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)；记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集典例9 不等式的解集为_.【答案】【解析】不等式可转化为xx33x+10,且方程的根为，则由穿针引线法可得原不等式的解集为.典例10 解关于x的不等式:0(aR).【解析】原不等式等价于：(xa)(xa2)0，其对应方程的两根为x1a，x2a2.，分情况讨论如下：若a1，即a2a，则所

11、求不等式的解集为若a0或a1，原不等式可化为x20或(x1)20.此时，所求不等式的解集为.若0a1，即a2a，则所求不等式的解集为综上所述：当a1时，原不等式的解集为；当a0或a1时，原不等式的解集为；当0a1时，原不等式的解集为5已知函数.（1）若关于的不等式的解集为，求的解集；（2）若，解不等式的解集.考向六 含参不等式恒成立问题的求解策略解决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用，从解题策略的角度看，一般而言，针对不等式的表现形式，有如下四种策略：（1）变换主元，转化为一次函数问题. 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.参数和未知数是相互牵制、相互依赖的关系，有时候变

12、换主元，可以起到事半功倍的效果.（2）联系不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题.（3）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值即若在定义域内存在最大值，则(或)恒成立(或);若在定义域内存在最小值，则(或)恒成立(或);若在其定义域内不存在最值，只需找到在定义域内的最大上界(或最小下界)，即在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的，只是等号均可以取到.（4）转化为两个函数图象之间的关系，数形结合求

13、参数. 在不等式恒成立问题的处理中，若能画出不等式两边相应的函数图象，恒成立的代数问题立即变得直观化，等价的数量关系式随之获得，数形结合可使求解过程简单、快捷典例11 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c，且不等式f(x)2x的解集为(1,3)，对任意的xR都有f(x)2恒成立.（1）求f(x)的解析式；（2）若不等式kf(2x)2x+10在x1,2上有解，求实数k的取值范围.【解析】（1）f(x)=ax2+bx+c0， 设t=2x11,3，则， 又，当且仅当t=2t即t=2时取得最大值24，k24，即实数k的取值范围为.典例12 已知函数.（1）若对于xR，f(x)0恒成立,求实数m的取值

14、范围;（2）若对于x1,3，f(x)5m恒成立,求实数m的取值范围.【解析】（1）因为对xR恒成立,则m=0时,恒成立;,解得.故实数m的取值范围为.（2）f(x)5m,即.因为,所以m对于x1,3恒成立.记g(x)=,x1,3,易知,所以.即实数m的取值范围为.6若函数的定义域为，求实数的取值范围.1已知集合，则ABCD2下列命题正确的是A若，则B若，则C若，则D若，则3是的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4设，则ABCD5已知实数，满足，则的取值范围是ABCD6三个正整数，满足条件:，若，则的最大值是A12B13C14D157若不等式的解集是，则不等式的解集

15、是ABC2，3D3，28关于的不等式的解集为，则的取值范围为ABC或D9设是关于的一元二次方程的两个实根，则的最小值是AB18C8D610设正数，满足，若关于的不等式的解集中的整数解恰有4个，则的取值范围是ABCD11不等式的解集是_12设，则的大小顺序是_13不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是_14若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是_.15已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式有且仅有一个整数解，求正实数的取值范围.16已知函数.（1）若关于的不等式的解集为，求的值；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.1（2019年高考全国卷文数）已知集合，则ABCD

16、2（2019年高考全国卷文数）已知，则ABCD3（2019年高考天津卷文数）设，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（2019年高考浙江卷）若，则“”是 “”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件5（2018年高考天津卷文数）设，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6（2017年高考天津卷文数）设，则“”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（2017年高考山东卷文数）已知命题p：;命题q：若,则a8可得x2，求解绝对值不

17、等式x2可得x2或x8”是“|x|2” 的充分而不必要条件.故选A.【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6【答案】B【解析】由，可得，由，可得，即，因为，所以“”是“”的必要而不充分条件，故选B【名师点睛】判断充要关系的的方法：根据定义，若，那么是的充分而不必要条件，同时是的必要而不充分条件，若，那么是的充要条件，若，那那么是的既不充分也不必要条件；当命题是以集合的形式给出时，那就看包含关系，若，若是的真子集，那么是的充分而不必要条件，同时是的必要而不充分条件，若，那么是的充要条件，若没有包含关系，那么是的既不充分也不必

18、要条件；命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将“是”的关系转化为“是”的关系进行判断7【答案】B【解析】由时成立知p是真命题,由可知q是假命题,所以是真命题,故选B.【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理与证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假8【答案】【解析】 由题意，不等式，得，所以不等式的解集为.【名师点睛】本题考查解不等式，能正确化简不等式是解决该题的关键.9【答案】1，1（答案不唯一）【解析】使“若ab，则1ab，则1a1b”为真命题即可，只需

19、取a=1,b=1即可满足，所以满足条件的一组a,b的值为1,1（答案不唯一）.【名师点睛】此题考查不等式的运算，解决本题的关键在于对原命题与命题的否定真假关系的灵活转换，对不等式性质及其等价变形的充分理解，只要多取几组数值，解决本题并不困难.10【答案】【解析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知得,即，解得，故函数的定义域为.【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可考点25 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区

20、域表示二元一次不等式组.（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.一、二元一次不等式（组）与平面区域1二元一次不等式表示的平面区域一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式表示直线某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界.不等式表示的平面区域包括边界，把边界画成实线2对于二元一次不等式的不同形式，其对应的平面区域有如下结论：3确定二元一次不等式(组)表示平面区域的方法（1）对于直线同一侧的所有点(x，y)，使得的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足.（2）可在直线的同一侧任取一点，一般取

21、特殊点(x0，y0)，从的符号就可以判断 (或)所表示的区域（3）由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.（4）点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线的两侧的充要条件是；位于直线同侧的充要条件是.二、简单的线性规划问题1简单线性规划问题的有关概念（1）约束条件：由变量x，y的不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y的约束条件关于变量x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y的线性约束条件（2）目标函数：我们把求最大值或最小值的函数称为目标函数目标函数是关于变量x，y的一次解析式的称为线性目标函数.（3）线性规划问题：一般地，在线性

22、约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域，其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解2简单线性规划问题的解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线 (目标函数为)；（2）移：平行移动直线，确定使取得最大值或最小值的点；（3）求：求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或最小值；（4）答：给出正确答案3线性规划的实际问题的类型（1）给定一定数量的人力、物力资源

23、，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；（2）给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小 常见问题有：物资调运问题；产品安排问题；下料问题.4非线性目标函数类型（1）对形如型的目标函数均可化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)间距离的平方的最值问题（2）对形如型的目标函数，可先变形为的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等（3）对形如型的目标函数，可先变形为的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线的距离的倍的最值考向一 二元一次不等式（组）表示的平面区域1确定平面区域的方法如下：第一步，“直线定界”，

24、即画出边界，要注意是虚线还是实线；第二步，“特殊点定域”，取某个特殊点作为测试点，由的符号就可以断定表示的是直线哪一侧的平面区域；第三步，用阴影表示出平面区域.2二元一次不等式组表示的平面区域的应用主要包括求平面区域的面积和已知平面区域求参数的取值或范围.（1）对于面积问题，可先画出平面区域，然后判断其形状（三角形区域是比较简单的情况），求得相应的交点坐标、相关的线段长度等，若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式.（2）对于求参问题，则需根据区域的形状判断动直线的位置，从而确定参数的取值或范围.典例1 不等式组表示的平面区域与表示的平面区域的公共部分面积为_【答案】【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图，由可得，可化为，表示以为圆心，以为半径的圆内及其圆上各点，由图可知不等式组表示的平面区域与表示的平面区域的公共部分面积为以为圆心，以为半径的圆的四分之一，其面积为，故答案为.典例2 已知不等式组表示的平面区域的面积为2，则 的值为 A BC1 D