（奥数典型题）第六讲 最大公因数 2023-2024学年五年级下册数学思维拓展含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司马小跳的生日会马小跳的生日会 今天是马小跳的生日，他请了许多朋友来和他一起庆祝生日。不一会儿，大家都到齐了。唉！原来所有人都被马小跳骗了。说是来聚会，谁知道是来干活的呀！张达、毛超、唐飞、安琪儿都被马小跳安排了各种活计。马小跳给安琪一根长74厘米的蓝彩带和一根长 66厘米的黄彩带，还说要剪成同样长的小段，要最长的。最后还要给他每根剩下2厘米。过了一会儿，安琪儿嘟着嘴来了。“马小跳，我不知道这个该怎么剪。我本来就不聪明，你还出个这么绕的问题。你要是嫌我笨，不喜欢我就直说，不需要这样拐弯抹角的。”安琪儿好像有点生气。“没有，没有，我绝对没有那个意思。”马小跳连忙解释。“是

2、8厘米！”在他们谈话的过程中，路曼曼已经把答案心算出来了。“你，你怎么知道的啊？”路曼曼这个突然的答案惊住了马小跳。“是这样的。你要安琪儿把两根彩带各剩下2厘米，那咱们就先剪掉这2厘米。74-2=72厘米，66-2=64厘米。你还要她剪成同样长的最长小段，也就是求72和64的最大公因数，最大公因数是8。所以每小段最长是8厘米。”路曼曼就像老师一样给大家上了一课。因数、公因数和最大公因数因数、公因数和最大公因数【知识点解释】给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数而这些公因数中最大的那个称为这些正整数的最大公因数第六讲第六讲 最大公因数最大公因数 故事故事 板

3、块二：知识精讲板块二：知识精讲 板块一：趣味数学板块一：趣味数学 （奥数典型题）第六讲 最大公因数 2023-2024学年五年级下册数学思维拓展 学科网（北京）股份有限公司 例题例题 1 1 一张长方形的纸，长 7 分米 5 厘米，宽 6 分米。现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？思路导航思路导航：7 分米 5 厘米=75 厘米，6 分米=60 厘米。因为裁成的正方形的边长必须能同时整除 75 和 60，所以边长是 75 和 60 的公约数。75 和 60 的公约数有 1、3、5、15，所以有 4种裁法。如果要使正方形面

4、积最大，那么边长也应该最大，应该取 75 和 60 的最大公约数 15 作为正方形的边长，所以可以裁（7515）（6015）=20 块。练练 习习 一一 1.把 1 米 3 分米 5 厘米长、1 米 5 厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？2.一块长 45 厘米、宽 30 厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？3.将一块长 80 米、宽 60 米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，小正方形的面积最大是多少？例题例题 2 2 一个长方体木块，长 2.7 米，宽 1.8 分米，高 1.5 分米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许

5、有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？思路导航：思路导航：2.7 米=270 厘米，1.8 分米=18 厘米，1.5 分米=15 厘米。要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。板块三：典例好题板块三：典例好题 学科网（北京）股份有限公司（270，18，15）=3，3 厘米=0.3 分米 练练 习习 二二 1.一个长方体木块的长是 4 分米 5 厘米、宽 3 分米 6 厘米、高 2 分米 4 厘米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？2.有 50 个梨

6、，75 个橘子和 100 个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？3.五年级三个班分别有 24 人、36 人、42 人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？每班各可以分几组？例题例题 3 3 有三根钢管，它们的长度分别是 240 厘米、200 厘米和 480 厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？思路导航：思路导航：要把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应该是 240、200 和 480 的公约数，而每小段要取最长，也就是求 240、200 和 480 的最大公约数。

7、240、200 和 480 的最大公约数是 40，所以每小段最长是 40 厘米。练练 习习 三三 1.有一个长方体木块，长 60 厘米、宽 40 厘米，高 24 厘米。如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？2.用一张长 1072 毫米、宽 469 毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？学科网（北京）股份有限公司 3.工人加工了三批零件，每加工一批零件，除了王师傅比其他工人多加工若干个外，其他工人加工的都同样多。已知他们第一批共加工 2100 个，其中王师傅比每个工人多加工 7 个；第二批加工 1800 个，其中王师傅比每个工

8、人多加工 6 个；第三批加工 1600 个，其中王师傅比每个工人多加工 13 个。这批工人最多有多少人？例题例题 4 4 一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距 360 米，乙、丙村相距 675米。现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？思路导航思路导航：由于甲乙、乙丙的两村中点各要种上一棵树，所要要将 3602=180 米、6752=337.5 米平均分成若干段，并且使每段的长度最长。因为（675、360）=45，而 180=3602，337.5=6752，所以，452=22.5，即相邻两棵树之间

9、距离最多是 22.5 米。练练 习习 四四 1.一条公路由 A 经 B 到 C。已知 A、B 相距 300 米，B、C 相距 215 米。现在路边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在 B 点及 AB、BC 的中点上都要植一棵，那么两树间的距离最多有多少米？3.有 336 支铅笔，252 块橡皮，210 个文具盒，用这些文具，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少？3.甲数是 36，甲、乙两数的最小公倍数是 288，最大公约数是 4，乙数是多少？例题例题 5 5 用一张长 1072 毫米、宽 469 毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方

10、形的边长最长是多少？思路导航：思路导航：前面的例题已经告诉了我们，解决这道题只要求出长方形长和宽的最大公约数就行了。但是这题中，长和宽的数比较大，最大公约数比较难求出，这里再介绍一种求两个数的最大公约数的方法。学科网（北京）股份有限公司 第一步：1072469，余 134；第二步：469134，余 67；第三步：13467，没有余数，所以用 67 毫米为正方形的边长来剪，正好能剪（107267）（46967）=112 个正方形，即这些正方形的边长最大是 67 毫米。这种求两个较大数的最大公约数的方法叫辗转相除法。练练 习习 五五 1.用辗转相除法求 568 和 1065 的最大公约数。2.试用

11、辗转相除法判断 1547 与 3135 是否互质。3.判断 11111/15015 是不是最简分数。中国古代求最大公因数的方法中国古代求最大公因数的方法 -更相减损术更相减损术 同学们，在这一单元中我们学习了用短除式的方法求两个数的最大公因数，你知道中国古代人是怎么求最大公因数的吗？看一看下面的介绍吧！更相减损术是出自九章算术的一种求最大公因数的算 法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公因数的场合。它的方法被归纳为：“可半者半之，不可半者，副置分母分子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”翻译出来为翻译出来为：第一步：任意给出两个非自然数；判断它们是否都是偶数。若是

12、，用 2 约分；若不是，执行第二步。板块四：数学故事板块四：数学故事 学科网（北京）股份有限公司 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数与较小数相等为止，则这个数（相等的数）就是所求的最大公因数。如果没看明白就来看看下面这个例子吧：例如：用更相减损术求 91 与 49 的最大公因数.解：由于 49 不是偶数，把 91 和 49 以大数减小数，并辗转相减，即：914942 49427 42735 35728 28721 21714 1477 所以，91 与 49 的最大公因数是 7。聪明的小朋友们你能看出其中的奥秘吗？想一想为什么

13、这样可以求出最大公因数？这种方法与我们所学的短除式的方法有没有联系？哪种方法更好呢？练习一 1.1 米 3 分米 5 厘米=135 厘米 1 米 5 厘米=105 厘米 135=3335 105=357 135 和 105 的最大公因数是：35=15 即裁成的正方形的边长是 15 厘米。（135105）（1515）=14175225=63（个）答：裁成的正方形边长最大是 15 厘米，至少可以裁成 63 个这样的正方形。2.45=335 30=235 45 和 30 的最大公因数是：35=15 答：这种正方形的边长最长是 15 厘米。板块五：答案解析板块五：答案解析 学科网（北京）股份有限公司3

14、.80=22225 60=2235 所以 80 和 60 的最大公因数是：225=20 即小正方形的最大的边长是：20 米 所以小正方形的面积为：2020=400（平方米）答：小正方形的面积是 400 平方米。练习二 1.4 分米 5 厘米=45 厘米 3 分米 6 厘米=36 厘米 2 分米 4 厘米=24 厘米 所切成的正方体的棱长为 45、36 和 24 的公因数,要求最大,就是求他们的最大公因数。45、36 和 24 的最大公因数为 3,则正方体的棱长为 3cm。则：453=15 363=12 243=8 15128=1448（个）2.50=255 75=553 100=2255 所以

15、 50、75 和 100 的最大公因数是：55=25；所以最多能分给 25 个小组。3.24=2223 36=2233 42=237 所以 24、36、42 的最大公因数是 23=6。246=4（组）366=6（组）426=7（组）答：每组最多有 6 人，五年级三个班分别可以分为 4 组、6 组、7 组。练习三 1.60,40,24的最大公因数是 4 厘米。2.1072222267 469767 所以，1072 和 469 的最大公因数为 67，剪成面积相等的正方形，并没有剩余，所以，这些正方形的边长最大为 67。3.由于 2100-7=2093=71323 1800-6=1794=23132

16、3 学科网（北京）股份有限公司 1600-13=1587=32323 又求最多有多少人，三个数的最大公因数是 23，所以这批工人最多有 23 人。故答案为：23 练习四 1.3002=150（米）2152=107.5（米）因为 150107.5=142.5 107.542.5=222.5 42.522.5=120 22.520=12.5 202.5=8 所以 150 和 107.5 这两个数的最大公因数就是 2.5。答：两树间的距离最多有 2.5 米。2.求 336、252、210 的最大公因数：42 份 33642=8（支）25242=4（块）21042=5（个）3.288=2222233

17、36=2233 甲乙两数的最大公因数是 4，甲是 36，那么乙肯定不能被 3 整除，否则最大公因数就是 12，故 3 不是乙数的因数，所以乙数=22222=32。练习五 1.1065568=1497（余数）568497=1 71 49771=7 那么 568 和 1065 的最大公因数就是 71 了。2.3135=15472+41（即只要求 44 和 1547 的最大公因数 即可）1547=4137+30（同理）41=301+11 30=112+8 学科网（北京）股份有限公司 11=81+3 8=32+2 3=21+1 所以 1 是他们的公因数,即两者互质。3.1501511111 余 3904，111113904 余 3303，39043303 余 601，3303601 余 298，601298 余 5，2985 余 3 无法整除，公因数只有 1，所以 11111 与 15015 两数互质。1501511111是最简分数。