河北省2023-2024学年高三下学期省级联测考试（3月）数学试题含解析.docx

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1、 河北省2023-2024学年高三下学期省级联测考试（3月）数学试题含解析20232024高三省级联测考试数学试卷班级_姓名_. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ）A B.

2、 C. D. 3. 将向量绕坐标原点逆时针旋转得到，则（ ）A. 1B. -1C. 2D. -24. 已知，则（ ）A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为，准线为是抛物线上位于第一象限内的一点，过点作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则（ ）A. 2B. C. D. 36. 甲乙丙丁4位同学报名参加学校举办的数学建模物理探究英语演讲劳动实践四项活动，每人只能报其中一项，则在甲同学报的活动其他同学不报的情况下，4位同学所报活动各不相同的概率为（ ）A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 4C.

3、 6D. 38. 设，则下列大小关系正确的是（ ）A. B. C. D. 二多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ）A. B. C. D. 10. 下列说法正确是（ ）A. 若数据的极差和平均数相等，则B. 数据的第80百分位数为10.5C. 若，则D. 若，随机变量，则11. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）A. 存在点，使得直线与直线为异面直线B. 存在点，使得C. 若为线段的中点，则三棱锥与三棱锥

4、体积相等D. 过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，若，则_.13. 已知圆，过点的直线交圆于两点，且，则满足上述条件的一条直线的方程为_.14. 已知函数，若在区间上有且仅有两个不相等实数，满足，则的取值范围为_.四解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15. 记的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，求的范围.16. 2020年11月，国务院办公厅印发新能源汽车产业发展规划（20212035年），要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高

5、质量可持续发展，加快建设汽车强国.新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进具有新技术新结构的汽车.为了了解消费者对不同种类汽车的购买情况，某车企调查了近期购车的100位车主的性别与购车种类的情况，得到如下数据：单位：人性别购车种类合计新能源汽车传统燃油汽车男20女50合计30100（1）补全上面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断购车种类与性别是否有关；（2）已知该车企的A型号新能源汽车有红白黑蓝四种颜色.现有三个家庭各计划购买一辆A型号新能源汽车，记购买的汽车颜色相同的家庭个数

6、为，求的分布列与数学期望.附：.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82817. 如图，已知平行六面体棱长均为. （1）证明：；（2）延长到，使，求直线与平面所成角正弦值.18. 已知函数在区间内有唯一极值点，其中为自然对数的底数.（1）求实数的取值范围；（2）证明：在区间内有唯一零点.19. 信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文通信的数学理论中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵.（1）当时，计

7、算；（2）若，判断并证明当增大时，的变化趋势；（3）若，随机变量所有可能的取值为，且，证明：.20232024高三省级联测考试数学试卷班级_姓名_. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名班级和考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析

8、】【分析】根据并集的定义求解.【详解】因为，所以.故选：.2. 已知复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简复数，从而求出其共轭复数.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：A.3. 将向量绕坐标原点逆时针旋转得到，则（ ）A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】由模长公式得，而，由即可求解.【详解】因为，且，所以.故选：B.4. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式即可.【详解】因为，所以.故选：C.5. 已知抛物线的焦点为，准线为是抛物线上位于第一象限

9、内的一点，过点作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则（ ）A. 2B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】由题意解三角形得，由此代入抛物线方程得，结合焦半径公式即可求解.【详解】 过点作的垂线，垂足为，因为直线的倾斜角为，则，设，因为，所以.故选：B.6. 甲乙丙丁4位同学报名参加学校举办的数学建模物理探究英语演讲劳动实践四项活动，每人只能报其中一项，则在甲同学报的活动其他同学不报的情况下，4位同学所报活动各不相同的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件概率公式分别计算出积事件所含的基本事件数和事件所含的基本事件数，代入公式计算即得.【详解】设“甲同学报的

10、活动其他同学不报”，“4位同学所报活动各不相同”，由题得，所以.故选：C.7. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 3【答案】D【解析】【分析】由已知结合双曲线的定义得到，再根据余弦定理，得到，求出离心率即可.【详解】因为，所以，又，所以，所以，在中，在中，因为，所以，整理得，故，故离心率.故选：D.8. 设，则下列大小关系正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】构造函数通过求导以及零点存在定理得出函数单调性结合端点值即可得出当时，由此，进一步构造，结合导数得其单调性，由此可得，令，即.

11、【详解】令，则，令.当时，单调递增，所以存在，使得，且当时，单调递减；当时，单调递增.又，所以存在，使得，且当时，单调递增；当时，单调递减.又，所以当时，即.当时，则，即.令，所以，当时，则，即，故故选：C.【点睛】关键点点睛：关键是构造适当的函数，利用导数研究其单调性、极值，由此即可顺利得解.二多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据已知可直接得到A；换元法得到B；乘“1”法得到C；基本不等式

12、判断D即可.【详解】对于，由题可得，即，故A正确；对于，当且仅当时，等号成立，故B不正确；对于C，当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：ACD.10. 下列说法正确的是（ ）A. 若数据的极差和平均数相等，则B. 数据的第80百分位数为10.5C. 若，则D. 若，随机变量，则【答案】CD【解析】【分析】根据平均数和极差公式即可得到关于的方程，则可判断A；利用百分位数计算公式即可判断B；根据正态分布的性质即可判断C；根据二项分布的均值的性质即可判断D.【详解】对于A，当时，解得，当时，解得，当时，无解，故A不正确；对于B，由于，所以数据，16的第80百分

13、位数为12，故B不正确；对于C，则，故C正确；对于D，若，则，所以随机变量的期望，故D正确.故选：CD.11. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）A. 存在点，使得直线与直线为异面直线B. 存在点，使得C. 若为线段的中点，则三棱锥与三棱锥体积相等D. 过三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】根据四点共面，即可判断直线与直线不是异面直线；根据线面垂直证明线线垂直即可判断；直接求出，根据，构造三棱柱，利用即可求解，类比球体的截面，找到截面面积最大的状态，画出截面图，求得面积即可判断选项.【详解】对于，如图，连接，由正

14、方体的性质知，所以四点共面，平面，故不正确；对于，如图，设的中点为，连接，若为的中点，则平面，又平面，所以，在中，所以，故，又平面，所以平面，又平面，所以，故正确；对于，如图，取的中点，连接，设，连接，则几何体为斜三棱柱，从而， 在三棱柱中，,其中,又，故正确；对于，如图，因为正方体中心对称（类比为球体，看作弦），故过的截面经过正方体的对称中心时所得截面面积最大，此时截面交棱于中点，也为中点，取的中点的中点的中点，连接，所以过三点的平面截正方体所得截面面积最大时，截面形状为正六边形，面积为，故正确.故选:.【点睛】思路点睛：在求解三棱锥的体积时一般可以通过转换顶点，更换几何体的底面和高求解，也

15、可以将三棱锥的体积转化为几个容易求解的几何体的体积差求解；解决选项的关键就是能够合理转化问题，类比解决，从而找到截面面积最大的状态.三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，若，则_.【答案】8【解析】【分析】根据等差数列的通项公式，列式计算，即得答案.【详解】由题意知数列是首项为1，公差为2的等差数列，得，解得，故答案为：813. 已知圆，过点的直线交圆于两点，且，则满足上述条件的一条直线的方程为_.【答案】（或）【解析】【分析】分为当直线的斜率存在时和直线的斜率不存在时，利用圆中的几何关系求出直线方程即可.【详解】由题意得圆心，半径，故点

16、在圆外，设点到直线的距离为，由得，即，即，解得，当直线的斜率不存在时，即，此时，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，解得，故直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.故答案为：（或）14. 已知函数，若在区间上有且仅有两个不相等的实数，满足，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式将函数化成正弦型函数，再将看成整体角，求得范围，作出的图象，根据题设可知函数在上恰好出现两个最大值点，结合图象，需使区间右端点所在的范围满足，计算即得.【详解】，令，因为，所以，作出函数的图象. 要使在区间上有且仅有两个不相等的实数，满足，即使在区间上必须恰好出现两个最大值.由图知，解得，

17、故的取值范围为.故答案为：.四解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15. 记的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，求的范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变形求；（2）利用正弦定理将的范围转化为三角函数的值域求解.【小问1详解】由正弦定理得，因为，所以，所以，则，因为，所以，所以，所以.【小问2详解】因为，则，因为,所以.所以.因为.所以.所以，所以.16. 2020年11月，国务院办公厅印发新能源汽车产业发展规划（20212035年），要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加

18、快建设汽车强国.新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进具有新技术新结构的汽车.为了了解消费者对不同种类汽车的购买情况，某车企调查了近期购车的100位车主的性别与购车种类的情况，得到如下数据：单位：人性别购车种类合计新能源汽车传统燃油汽车男20女50合计30100（1）补全上面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断购车种类与性别是否有关；（2）已知该车企的A型号新能源汽车有红白黑蓝四种颜色.现有三个家庭各计划购买一辆A型号新能源汽车，记购买的汽车颜色相同的家庭个数为，求的分布列与数

19、学期望.附：.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）列联表见解析，有关； （2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）完善列联表，计算的观测值，再与临界值比对即得.（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望.【小问1详解】列联表如下（单位：人）：性别购车种类合计新能源汽车传统燃油汽车男202040女501060合计7030100设零假设：购车种类与性别无关，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即购车种类与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.【小问2详解】依题意，的可能取值为，所以的分布列为023数学期望.

20、17. 如图，已知平行六面体的棱长均为. （1）证明：；（2）延长到，使，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质证明线线垂直即可.（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法处理即可.【小问1详解】如图，连接，与交于点，连接，由题意可得，平行六面体中，连接，易得是正三角形，则，所以，因为是等边三角形，所以，又因为，面，所以平面.因为平面，所以. 【小问2详解】过点作，垂足为，由（1）可知，平面.因为平面，所以.因为，面，所以平面，易知是等边三角形，故三棱锥为正四面体，因为三棱锥为正四面体，所以为的重心，则.以为原点，所在直线分别为

21、轴，轴，过点垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，则，因为，所以，所以，所以，设平面的法向量为，则所以令，则，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18. 已知函数在区间内有唯一极值点，其中为自然对数的底数.（1）求实数的取值范围；（2）证明：在区间内有唯一零点.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得，分和讨论单调性，并保证在内有唯一零点即可.（2）利用导数确定在区间上的单调性，根据零点存在性定理证明即可.【小问1详解】，当时，当时，在上单调递减，没有极值点，不合题意；当时，与在上分别单调递增，显然在上单调递增，因为，所以，得，此时

22、在内有唯一零点，所以当时，；当时，所以在内有唯一极小值点，符合题意.综上，实数的取值范围为.【小问2详解】证明：由（1）知，当时，与均为单调递增，上单调递增，又，在上，在上单调递增，当时，单调递增，当时，单调递减,当时，单调递增，当时，又，在内有唯一零点，即在内有唯一零点.19. 信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文通信的数学理论中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵.（1）当时，计算；（2）若，判断并证明当增大时，的变化趋势；（3）若，随机变量所有可能的取值为，且，证明：.【答案】（1）0 （2）随着的增大而增大，证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用公式求解；（2）先求出，再判断单调性即可求解；（3）分别求出和，结合对数函数单调性放缩即可求解.【小问1详解】当时，则，所以【小问2详解】随着的增大而增大.当，则，设，则，因此随着的增大而增大.【小问3详解】证明：若，随机变量所有可能的取值为，且.，因为，故故，由于，所以，所以，所以，所以.【点睛】关键点点睛：本题考查随机变量的均值，解决问题的关键是读懂定义，结合对数运算求解.