2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（19题新结构试卷）含答案.pdf

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1、高三数学第 1 页（共 2 页）2024 普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数数 学学 一、单选题一、单选题（本大题共本大题共 8 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）合题目要求的）1已知集合1|i,innAz zn=+N，则A的元素个数为（）A1 B2 C3 D4 2函数32()32f xxx=+的图象为曲线 C，斜率为 k的直线 l经过点(0,2)，则“0k=”是“l是 C的切线”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3盲盒

2、里有大小、形状完全相同的3个绿球，4个红球，现抛掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从盲盒里取出几个球则取出的球全是绿球的概率为（）A16 B110 C37 D17 4已知()()21012112nnnxxaa xa xax+=+，*nN，且1267aa=，则n=（）A4 B5 C7 D8 5若正项等比数列 na的前 n项和为nS，且6325SS=，则789aaa+的最小值为（）A10 B15 C20 D25 6已知函数()3sincos(0)f xxx=+的最小正周期为，若12()()4f xf x=，则12xx+的值按从小到大的顺序排列，得到数列na，则12aa+=（）A2 B3 C6 D 7在空

3、间中，到一定点的距离为定值的点的轨迹为球面，已知菱形 ABCD的边长为 2，30ABC=，P 在菱形 ABCD 的内部及边界上运动，空间中的点 Q满足1PQ=，则点 Q 轨迹所围成的几何体的体积为（）A14+4 33 B14+43 C16+4 33 D16+43 8已知抛物线()2:20C xpy p=的焦点为F，直线l与抛物线C相切于点P（异于坐标原点O），与x轴交于点Q，若2PF=，1FQ=，则向量FP与PQ的夹角为（）A6 B56 C3 D23 二、多选题二、多选题（本大题共本大题共 3 3 个小题，每小题个小题，每小题 6 6 分，共分，共 1818 分在每小题给出的四个选项中，有多项

4、符合题分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得目要求，全部选对的得 6 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 0 分分）9已知角的终边过点()3,4P，则（）A7cos225=B24tan27=C2 5cos25=D1tan22=10如图，两个正四棱锥PABCD和QABCD的底面重合，顶点,P Q位于底面两侧，且平面PAD 平面QAD设直线PA与平面ABCD所成角为，直线QA与平面ABCD所成角为()，直线QA与PC所成角为，则（）A=B=C2+D3+11我国著名数学家华罗庚先生说：“就数学本身而言，是壮丽多彩千姿百态引人入胜的认

5、为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美.”图形美是数学美的重要方面.如图，由抛物线22(0)ypx p=分别逆时针旋转90 180 270可围成“四角花瓣”图案（阴影区域），则（）A开口向下的抛物线的方程为()220 xpy p=B若8AB=，则2p=C设1p=，则1t=时，直线xt=截第一象限花瓣的弦长最大 D无论p为何值，过点B且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值#QQABYYKUggiAQgAAAQgCQwF4CgIQkAECACoGgAAIsAAByQFABAA=#高三数学第 2 页（共 2 页）三、填空题三、填空题（本大题共本大题共 3 3 个小题

6、，每小题个小题，每小题 5 5 分，共分，共 1515 分分）12已知单位向量,a b的夹角为，向量32cba=，若Zc，则cos=.（写出一个可能值）13已知动点 P，Q分别在圆221:(ln)()4Mxmym+=和曲线lnyx=上，则PQ的最小值为 14 欧拉函数()()*nnN的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如：()32=，()42=，则()8=；若()22nnnb=，则nb的最大值为 四、解答题四、解答题 15（13 分）已知点()2,1P在椭圆2222:1(0)xyCabab+=上，且椭圆的离心率为32.(1)求椭圆C的方程；(2)过P作直线l交椭圆C于另

7、一点A，求PAO的面积的取值范围.16（15 分）如图，四棱锥PABCD中，2PAPDADCD=，90DABABC=，60ADC=(1)证明：PCBC；(2)若二面角PADB的大小为120，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值 17（15 分）在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：每次祈愿获取五星角色的概率00.006p=；若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立设X表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数(1)求X的概率分布；(2)求X的数学期望（保留小

8、数点后两位）参考数据：900.9940.582 18（17 分）在凸四边形ABCD中，记,ABa BCb CDc DAd=，四边形ABCD的面积为 S已知180BD+=(1)证明：()22222cosabcdBabcd+=+；(2)设2abcdp+=，证明：()()()()Spapbpcpd=；(3)若1bcd=，求四边形ABCD面积的最大值 19（17 分）材料一：有理数都能表示成st，（,Zs t，且0t，s与 t互质）的形式，进而有理数集可以表示为,Zss tt且0t，s 与 t互质.材料二：我们知道当0 x 时，可以用一次多项式近似表达指数函数，即e1xx+；为提高精确度.可以用更高次

9、的多项式逼近指数函数 设2012exnnaa xa xa x=+对等式两边求导，得1121e02(1)xnnnnaa xna xnax+=+对比各项系数，可得：10naa=+，122aa=，213aa=，1nnana=；所以10111(1)!nnaaaann nn=，取0 x=，有00e1a=，代回原式：2e11!2!nxxxxn=+材料三：对于公比为()01qq的等比数列 na，当n+时，数列 na的前 n 项和()11111nnaqaSqq=.阅读上述材料，完成以下两个问题：(1)证明：无限循环小数 3.7 为有理数；(2)用反证法证明：e 为无理数（e2.7182为自然对数底数）#QQA

10、BYYKUggiAQgAAAQgCQwF4CgIQkAECACoGgAAIsAAByQFABAA=#答案第 1 页，共 9 页 参 考 答 案 1C【详解】当1n=时，1iii0iz=+=，当2n=时，221i1 12iz=+=，当3n=时，3311ii0iiz=+=，当4n=时，441i1 12iz=+=+=，当5n=时，5511iiii0iiz=+=+=，当6n=时，626211ii1 12iiz=+=+=，当7n=时，7373111iii0iiiz=+=+=，当8n=时，848411ii1 12iiz=+=+=+=，可知以上四种情况循环，故集合0,2,2A=，A的元素个数为 3.故选：C

11、 2A【详解】设直线l与曲线C相切的切点为32(,32)t tt+，由32()32f xxx=+，求导得2()36fxxx=，则2()36kfttt=，直线l的方程为322(32)(36)()yttttxt+=，而直线l经过点(0,2)，因此3222(32)(36)()ttttt+=，解得0=t或32t=，则0k=或94k=，显然点(0,2)在曲线C上，曲线C在点(0,2)处切线的斜率(0)0kf=，切线方程为2y=，因此经过点(0,2)且斜率0k=的直线l是曲线C的一条切线，所以“0k=”是“l是C的切线”的充分不必要条件.故选：A 3B【详解】设B=“取出的球全是绿球”，=iA“掷出()1

12、,2,3i i=点”，则()16iP A=，又因为从盲盒里每次取出i个球的所有取法是7Ci，即基本事件总数为7Ci，而从袋中每次取出i个绿球的所有取法是3Ci，即事件所含基本事件数为3Ci，所以掷出i点，取出的球全是绿球的概率为()37CCiiiP B A=，所以，()()()12333331231777CCC1131116CCC6773510iiiP BP A P B A=+=+=.故选：B.4A【详解】()2nx+的通项公式为1,0,1,22,C,rn rrrnrnTx+=，二项式()()12nxx+的展开式中x项的系数为110111C2C2C2C2nnnnnnnnnna=+=+，2x项的

13、系数为221122112C2C2C2C2nnnnnnnnnna=+=+，1267aa=，()()01122117 C2C26 C2C2nnnnnnnn+=+，#QQABYYKUggiAQgAAAQgCQwF4CgIQkAECACoGgAAIsAAByQFABAA=#答案第 2 页，共 9 页 即()121(1)7 226222nnnnn nnn+=+，即235280nn=4n=，（负值舍），故选：A.5C【详解】因为 na是正项等比数列，6325SS=，即6335SSS=+，所以3S，63SS，96SS也是等比数列，且96789SSaaa=+，所以()()263396SSSSS=，则()223

14、33963333335102525251021020SSSSSSSSSSS+=+=，当且仅当3325SS=，即35S=取等号，所以789aaa+的最小值为20，故 C 正确.故选：C.6D【详解】由题意，函数()3sincos2sin()6f xxxx=+=+，因为函数()f x的最小正周期为，所以2=，即2=，所以()2sin(2)6f xx=+，则minmax()2,()2f xf x=，因为12()()4f xf x=，所以1()f x，2()f x分别为()f x的最大值和最小值，不妨设1()f x为最大值，2()f x为最小值，则122,Z62xkk+=+，222,Z62xkk+=+

15、，所以12222 2,Z,Z3xxkkkk+=+，所以12(),Z,Z6xxkkkk+=+，所以取0kk+=时，16a=，取1kk+=时，256a=，所以12566aa+=+=.故选：D.7D【详解】根据题意可知Q的轨迹所围成的几何体截面图（过平面ABCD），如图所示，其中ABEF，ADHG，CDIJ，BCKL区域内的几何体为半圆柱，它们的高为 2，底面半径为 1，体积为21 12 442=；AFG，BEL，CKJ，DHI区域内的几何体为球的一部分，球心分别为A，B，C，D，半径为 1，360909015030FAGJCK=，360909030150EBLHDI=，360FAGJCKEBLHD

16、I+=，所以这四个区域的几何体组成一个半径为 1 的完整的球，体积为43；而ABCD区域内的几何体为棱柱，高为 2，体积为12 2 sin302242 =，所以Q的轨迹所围成的几何体体积为41644433+=+，故选：D 8B【详解】设点()00,P xy，抛物线C对应的函数为22xyp=，求导得xyp=，所以，直线PQ的斜率为0 xkp=，则直线PQ的方程#QQABYYKUggiAQgAAAQgCQwF4CgIQkAECACoGgAAIsAAByQFABAA=#答案第 3 页，共 9 页 为()000 xyyxxp=，即22220000000022xxxxxxxyxyxxppppppp=+=

17、+=，在直线PQ的方程中，令0y=，可得02xx=，即点0,02xQ，由已知可得2002202222144xppPFypxpFQ=+=+=+=，解得2031xp=，故抛物线的方程为22xy=，则10,2F，()20000011,1222xFPxyxx=，0003,222xxPQy=，所以，2012FPx=+=，209344xPQ=+=，所以，2033322cos,22 32 3xFP PQFP PQFPPQ=，因为0,FP PQ，故5,6FP PQ=.故选：B.9ABD【详解】因为角的终边过点()3,4P，所以2233cos534=+，2244sin534=+，4tan3=，所以297cos2

18、2cos1212525=，2422tan243tan2161tan719=，故 A 和 B 正确，因为()2 2 Z2kkk+，所以()Z24kkk+，即角2的终边位于第一象限或第三象限，所以tan02，但cos02或cos02均满足题意，故 C 错误，由224tan31tan2tan2=，得2tan3tan20222+=，解得tan22=（舍去）或1tan22=，故 D 正确.故选：ABD 10ACD【详解】如下图所示：设正方形ABCD的中心为O 因为PABCD和QABCD都是正四棱锥，所以OP 平面ABCD，OQ 平面ABCD 所以,P O Q三点共线，,P O Q C四点共面 由线面角定

19、义知,PAOQAO=，如下图在平面四边形PAQC中，#QQABYYKUggiAQgAAAQgCQwF4CgIQkAECACoGgAAIsAAByQFABAA=#答案第 4 页，共 9 页 易知PAOPCO=，PCOQAOAFC=+，即=+，由线线角定义知=，所以 A 正确，B 错误；如图，取AD的中点E，连接,PE QE，则PEAD，QEAD，所以PEQ是二面角PADQ的一个平面角，因为平面PAD 面QAD，所以2PEQ=，设12,2OPh OQh AB=，则12tan,tanPEOhQEOh=，所以121hh=，因为12tan,tan22hh=，所以2PEOQEO+=，所以 C 正确；因为(

20、+)=+1=12+2212212=2(1+2)2212=22 3，又02+，所以3+，所以 D 正确 故选：ACD 11ABD【详解】对于 A，因为抛物线22(0)ypx p=的焦点为,02p，若抛物线逆时针旋转270，则开口向下，焦点为0,2p，故开口向下的抛物线方程为：()220 xpy p=，故A 正确；对于 B，由题意可知，,A B关于x轴对称，因为8AB=，设()(),AABBA xyB xy，所以4Ay=，4By=，因为点A在抛物线22(0)ypx p=上，所以162Apx=，所以8Axp=，即8,4Ap，所以8,4Bp，由B在抛物线()220 xpy p=上，所以()26424p

21、p=，解得2p=，故 B 正确；对于 C，当1p=，由2222yxxy=得()2,2A，所以02t，由题意直线xt=截第一象限花瓣弦长为12222222ttytt=，02t，所以1222ytt=，令0y=，则312t=，当3102t 时，0 y，函数单调递增，当3122t 时，0y，函数单调递减，所以当312t=时，函数取到最大值，故 C 错误；对于 D，由2222ypxxpy=得()2,2Bpp，过第二象限的两抛物线分别为：22xpy=，22ypx=，#QQABYYKUggiAQgAAAQgCQwF4CgIQkAECACoGgAAIsAAByQFABAA=#答案第 5 页，共 9 页 对于，

22、22xyp=，则xyp=，设切点坐标为2,2mmp，所以过点B的切线方程为：()22mypxpp+=，将点2,2mmp代入得22440mmpp+=，解得22 2mpp=，因为0m，故()22 222 2mppp=，所以切线的斜率为22 2，故无论p为何值，切线斜率均为22 2，其与直线yx=的夹角为定值，由题意可知，22xpy=与22ypx=关于直线yx=对称，故过点B的两切线也关于直线yx=对称，故22ypx=的切线与直线yx=的夹角为定值，即无论p为何值，过点B且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值，故 D 正确.故选：ABD 1234（或14，答案不唯一）【详解】由题意2339133

23、cos13cosZ2244cbaba=+=，所以213cos1,1,Z123cc=，所以只能取13cos4c=或21cos4c=.故答案为：34（或14，答案不唯一）.13122【详解】由题意得()ln,Mm m，即圆心M在exy=上，半径为12，故PQ的最小值等于MQ的最小值减去半径12，设(),lnQ nn，由于exy=与lnyx=关于yx=对称，MQ的最小值等于Q到直线yx=的距离的最小值的 2 倍，由lnyx=，可得1yx=，令11n=，解得1n=，故lnyx=在点()1,0Q处的切线与yx=平行，此时()1,0Q到yx=的距离最小，最小值为1 0221 1=+，故MQ的最小值为222

24、2，则PQ的最小值等于122.故答案为：122 14 4 94【详解】由题设(2)1=，则18中与 8 互质的数有1,3,5,7，共 4 个数，故()84=，在12n中，与2n互质的数为范围内的所有奇数，共12n个，即()122nn=，所以()22122nnnnnb=，则22211(1)21222nnnnnnnnnbb+=，当2n 时10nnbb+，当3n 时10nnbb，即12345bbbbb，#QQABYYKUggiAQgAAAQgCQwF4CgIQkAECACoGgAAIsAAByQFABAA=#答案第 6 页，共 9 页 所以nb的最大值为33213924b=.故答案为：4，94 15

25、(1)22182xy+=(2)(0,2.（2）讨论直线斜率存在和不存在的情况，存在时设直线方程，联立椭圆方程，可求得A点坐标的表达式，从而求得PA的表达式，再求出原点到直线l的距离，即可求得PAO的面积的表达式，结合k的取值范围，即可求得答案.【详解】（1）由题意可得2222411314abba+=，解得：228,2ab=，所以椭圆C的方程为22182xy+=.（2）当直线PA的斜率不存在时，则直线PA的方程为2x=，则点A的坐标为()2,1A，则12 222AOPS=.当直线PA的斜率存在时，设斜率为k，则直线PA的方程为()112,2yk xk=，（12k=时，,P O A三点共线）设()

26、()1122,A x yB xy，由()222148yk xxy=+=，消去y得()()222241168161640kxkk xkk+=，由已知得()()()222221684 41 1616416(21)0kkkkkk=+=+，则12k ，结合题意得221122216164882842,2414141kkkkkxxkkk+=+，则()()1128421141kkyk xk+=+=+，()()()222211228484214141kkkPAxykk+=+=+2284141kkk+=+，而原点O到直线l的距离为22212111kkdkk+=+，所以2222222 41218411122122

27、4114141AOPkkkkSd PAkkkk+=+，因为12k ，所以()()2221 41,22,021 4kk+且2211 4k+，221 111 4k +且221014k+，所以2201114k+，从而02AOPS，综上可知，PAO的面积的取值范围为(0,2.16(1)证明见解析(2)21070.【详解】（1）取AD的中点O，连接OP，OC，AC，因为2PAPDADCD=，ADC60=，所以APD和ACD都是等边三角形，#QQABYYKUggiAQgAAAQgCQwF4CgIQkAECACoGgAAIsAAByQFABAA=#答案第 7 页，共 9 页 所以ADOP，ADOC，OPOC

28、O=，,OP OC 平面POC，所以AD 平面POC，PC 平面POC，所以ADPC，因为90DABABC=，所以/AD BC，所以PCBC.（2）由（1）知ADOP，ADOC，则二面角PADB的平面角为120POC=，3OPOC=，且AD 平面POC，AD 平面ABCD，所以平面POC 平面ABCD，平面POC 平面ABCDOC=，在平面POC内作OMOC交PC于点M，所以OM 平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则()1,0,0D，()1,3,0B，()0,3,0C，3 30,22P，所以3 331,22PB=，3 330,22PC=，()1,3,0DC=，设平面PCD的一

29、个法向量为(),nx y z=，则3 3302230n PCyzn DCxy=+=，得()3,1,3n=，设直线PB与平面PCD所成角为，则3 33 3321022sin7027913 1 344n PBnPB+=+，所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为21070.17(1)()()()1008901,189,1,90kppkkP Xkpk=N(2)()69.67E X 【详解】（1）解：将每次祈愿获取五星角色的概率记为0p，X的所有可能取值为1、2、3、90 则()01P Xp=，()()0021P Xpp=，()()20031P Xpp=，()()8800891P Xpp=，()()8

30、90901P Xp=，所以X的概率分布为()()()1008901,189,1,90kppkkP Xkpk=N.（2）解：X的数学期望()=1 (=1)+2 (=2)+3 (=3)+90 (=90)()()()28900000012131901pppppp=+，(1 0)()=1 (1 0)0+2 (1 0)20+3 (1 0)30+90 (1 0)90，得，()()()()()28889000000000111901p E Xpppppppp=+()()8990000891901ppp，()()()()()9089288089000000090190(1)111189(1)ppE Xpppp

31、pp=+()()()()()()89288890000000901111111891ppppppp=+#QQABYYKUggiAQgAAAQgCQwF4CgIQkAECACoGgAAIsAAByQFABAA=#答案第 8 页，共 9 页 ()()()()()90288890000001111111pppppp=+=，因为00.006p=，所以()()909000111 0.9941 0.58269.670.0060.006pE Xp=18(1)证明见解析(2)证明见解析(3)3 34【详解】（1）解：设ACx=在ABC和ACD中，由余弦定理得：2222222cos,2cosxababB xcd

32、cdD=+=+整理得()22222coscosabBcdDabcd=+因为BD+=，所以coscos()cosDBB=,代入上式得()22222cosabcdBabcd+=+（2）连接AC，ABC和ACD的面积分别为11sin,sin22ABCACDSabB ScdD=如图示：因为BD+=，所以()sinsin sinDBB=,从而()1sin2ABCACDSSSabcdB=+=+所以()2221sin4SB abcd=+()()2211 cos4Babcd=+()()2211cos44abcdabcdB=+()()22222211221616abcdabcd=+()()()()2222222

33、21222216abcdabcdabcdabcd=+()()()()2222116abcdcdab=+()()()()116abcdabcdabcdabcd=+()()()()12222222216pdpcpbpa=()()()()papbpcpd=所以，()()()()Spapbpcpd=（3）由（2），当1bcd=时，32ap+=,即23ap=,而()()()()33113Sppapp=其中，322bcdp+=方法一：设()()()3313,2g xxxx=则()()()()()()23231311104gxxxxxx=当3 5,2 2x时，()0g x；当5,2x+时，()0g x 则(

34、)g x在3 5,2 2单调递增，在5,2+单调递减 所以()527216g xg=，所以3 34S,等号成立条件是52p=，此时2a=综上，四边形ABCD面积的最大值是3 34 方法二：根据均值不等式，()()()()()()4311193113 31933344ppppSpp+=等号成立条件是193pp=,即52p=,此时2a=综上，四边形ABCD面积的最大值是3 34 19(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）()23.730.70.070.007370.1 0.10.1n=+=+#QQABYYKUggiAQgAAAQgCQwF4CgIQkAECACoGgAAIsAAByQFAB

35、AA=#答案第 9 页，共 9 页 ()()0.11 0.173731 0.11 0.19nn=+=+，当n+时，7343.7399=+=，故3.7为有理数（2）由题可得，2e11!2!nxxxxn=+，取1x=，有111e11!2!n=+，假设 e 为有理数，不妨令()()11111e11!2!1!2!stttt=+=+（,Zs t，且0t，s与t互质），等式两边同乘t!得：()()()!1!1!2!1!2!tttttts tttt+=+，易得，!1!2!ttttt+为正整数，()1s t 也为正整数，则()()!1!2!tttt+亦为正整数，但()()()()()()()!1111!2!112123tttttttttt+=+()()231111111111111111nttttttt+=+，不可能为正整数，矛盾，所以 e 为无理数#QQABYYKUggiAQgAAAQgCQwF4CgIQkAECACoGgAAIsAAByQFABAA=#