5.浙江省名校协作体2023-2024学年高三下学期开学适应性考试数学试题.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司2023 学学年年第第二二学学期期浙浙江江省省名名校校协协作作体体适适应应性性试试题题高高三三年年级级数数学学学学科科考考生生须须知知：1.本本卷卷满满分分 150 分分，考考试试时时间间 120 分分钟钟；2.答答题题前前，在在答答题题卷卷指指定定区区域域填填写写学学校校、班班级级、姓姓名名、试试场场号号、座座位位号号及及准准考考证证号号；3.所所有有答答案案必必须须写写在在答答题题卷卷上上，写写在在试试卷卷上上无无效效；4.考考试试结结束束后后，只只需需上上交交答答题题卷卷。选选择择题题部部分分一一、选选择择题题：本本大大题题共共 8 小

2、小题题，每每小小题题 5 分分，共共 40 分分。在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的。1.已知集合2340Mx xx，ln1Nx yx，则MN（）A.1,4B.1,4C.1,4D.1,42.若1 2i32i2iz，则z（）A.33i B.33i C.33iD.33i3.已知直线0axy是双曲线222104xyaa的一条渐近线，则该双曲线的半焦距为（）A.6B.2 6C.2 2D.4 24.已知a，b是两个不共线的单位向量，,cab R，则“0且0”是“0cab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分

3、也不必要条件5.函数 1lnf xaxx的图象不可能是（）A.B.C.D.6.如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为 3，每个四棱锥的体积为 1，则该正四棱台的体积为（）更多资料请加微信n b s x 9 9 9学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司A.36B.32C.28D.247.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为2231xy，且圆C与x轴交于M，N两点，设直线l的方程为0ykx k，直线l与圆C相交于A，B两点，直线AM与直线BN相交于点P，直线AM、直线BN、直线OP的斜率分别为1k，2k，

4、3k，则（）A.1232kkkB.1232kkkC.1232kkkD.123kkk8.已知直线BC垂直单位圆O所在的平面，且直线BC交单位圆于点A，1ABBC，P为单位圆上除A外的任意一点，l为过点P的单位圆O的切线，则（）A.有且仅有一点P使二面角BlC 取得最小值B.有且仅有两点P使二面角BlC 取得最小值C.有且仅有一点P使二面角BlC 取得最大值D.有且仅有两点P使二面角BlC 取得最大值二二、选择题选择题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要有多项符合题目要求求.全部选对的得全部选对的得 6

5、分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为 1，2；红球有两个，编号为 3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（）A.A与D相互独立B.A与B相互独立C.B与D相互独立D.A与C相互独立10.已知函数 f x，g x的定义域均为R，且 25f xgx，47g xf x.若2x 是 g x的对称轴，且 24g，则（）A.f x是奇函数B.3,6是 g x的对称中心

6、C.2 是 f x的周期D.221130kg k11.在平面直角坐标系中，将函数 f x的图象绕坐标原点逆时针旋转090后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称 f x为“旋转函数”.那么（）A.存在90旋转函数B.80旋转函数一定是70旋转函数C.若 1g xaxx为45旋转函数，则1a D.若 exbxh x 为45旋转函数，则2e0b非选择题部分非选择题部分三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。把答案填在答题卡中的横线上。分。把答案填在答题卡中的横线上。学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司12.622xxyy的展

7、开式中42x y的系数为_.（用数字作答）13.已知F为抛物线C：24yx的焦点，直线xt与C交于A，B，AF与C的另一个交点为D，BF 与C的另一个交点为E.若ABF与DEF的面积之比为 4，则t _.14.设严格递增的整数数列1a，2a，20a满足11a，2040a.设f为12aa，23aa，1920aa这19 个数中被 3 整除的项的个数，则f的最大值为_，使得f取到最大值的数列 na的个数为_.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13 分）如图，在三棱锥AB

8、CD中，AB 平面BCD，平面ABC 平面ABD，ACAD，ABBD.（1）证明：BCBD；（2）求二面角ACDB的余弦值.16.（15 分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3A，2a.（1）若sinsin2sinBCA，求ABC的面积；（2）若3sinsin4BC，求b.17.（15 分）设02x.（1）若1tan2x，求cos44cos23cos44cos23xxxx；（2）证明：tan2sinxxxx；（3）若tan2sin0 xxax，求实数a的取值范围.18.（17 分）设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为kkP Xax，kkP Yay，0k

9、x，0ky，1k，2，n，111nnkkkkxy.指标D XY可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司1lnnkkkkxD XYxy.设,XB n p，01p.（1）若,YB n q，01q，求D XY；（2）若2n，113P Yk，1k，2，3，求D XY的最小值；（3）对任意与X有相同可能取值的随机变量Y，证明：0D XY，并指出取等号的充要条件.19.（17 分）已知椭圆C：221259xy的左焦点为F，P为曲线E：2240259xxy上的动点，且点P不在x轴上，直线FP交C于A，B两点.（1）证明：曲线E为椭圆，并求其离心率；（2）证明：

10、P为线段AB的中点；（3）设过点A，B且与AB垂直的直线与C的另一个交点分别为M，N，求PMN面积的取值范围.命题：金华一中2023 学年第二学期浙江省名校协作体适应性试题学年第二学期浙江省名校协作体适应性试题高三年级数学学科参考答案高三年级数学学科参考答案首命题：金华一中首命题：金华一中次命题兼审校：次命题兼审校：中学中学审核：审核：中学中学一一、选择题选择题：本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项是符合题目要求的。是符合题目要求的。1.A2.D3.A4.A5.D6.C7.A8.D7.如图，

11、由题意得AMl：12ykx，与圆C：2231xy联立，消y整理得221121240 xkxk，2Mx，2121241Akxk2112211242,11kkAkk，同理可得2222222422,11kkBkkOAOBkk，122212221222122211244211kkkkkkkk，即1212120k kkk学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司121k k ，2112kk，设00,P xy，01002024ykxykx120121201224,2,kkxkkk kykk，12121212242,kkk kPkkkk，即128,33kP，131213843kkk1213122k

12、kkk.8.如图，过A作AMl于M，连接MB、MC.因为直线BC垂直单位圆O所在的平面，直线l在平面内，且直线BC交单位圆于点A，所以ACl，AM，AC 平面AMC，AMACA，所以l 平面AMC，MC，MB 平面AMC，所以lMC，lMB，所以BMC是二面角BlC 的平面角.设BMC，AMC，AMB，AMt，则.由已知得0,2t，1ABBC，2tant，1tant，221tantantantan2 11tantan21ttttt t令 22tf tt，则 222222212222tttttfttt，当0,2t时，0ft，f t单调递增，当2,2t时，0ft，f t单调递减，12003ff.所

13、以0,2t，当2t 时，f t取最大值，没有最小值，即当2t 时tan取最大值，从而取最大值.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司由对称性知当2t 时，对应P点有且仅有两个点，所以有且仅有两点P使二面角BlC 取得最大值.二二、选择题选择题：本题共本题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要有多项符合题目要求求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.BCD10.BD11.ACD10.对于 A，因为2x 是 g x的对称轴，所以

14、22gxg x，又因为 25f xgx，所以25fxgx，故 f xfx，即 f x为偶函数，故 A 错误；对于 B，因为 47g xf x，所以 47g xf x，又因为 25f xgx，联立得2412gxg x，所以 yg x的图像关于点3,6中心对称，故 B 正确；对于 C，因为 25f xgx，24g，则 045f，即 01f；因为 47g xf x，则427f，即23f ，则 223ff；显然 20ff，所以 2 不是 f x的周期，故 C 错误；对于 D，因为2x 是 g x的对称轴，所以62gxg x，又因为2412gxg x，即 612g xgx，则 212g xg x，所以

15、212g xg x，所以22g xg x，即 4g xg x，所以 g x周期为 4，因为 g x周期为 4，对称中心为3,6，所以 36g，当4x 时，代入 47g xf x，即 407gf，所以 48g，所以 408gg，又2x 是 g x的对称轴，所以 136gg，所以 2215646864130kg k，故 D 正确.三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。把答案填在答题卡中的横线上。分。把答案填在答题卡中的横线上。12.4013.214.1825270四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 77 分。

16、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13 分）证（1）依题意，AB 面BCD，又因为ABBCB，且BC 面BCD，所以ABBC，同理可得ABBD，因为面ABC 面BCD，面ABC 面ABDAB，BD 面BCD，且BDAB，所以BD 面ABC，因为BC 面ABC，所以BCBD.解（2）方法 1取CD中点M，并联结AM、BM.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司（方法 1）因为ACAD，所以AMCD，由勾股定理可知2222BCACABADABBDAB.因为BCBD，所以BMCD；则根据二面角定义可知AMB是二面角ACDB的一个

17、平面角，且由图可知AMB为锐角.又因为AB 面BCD，同理（1）可知ABBM，设ABa，可得22BMa，所以tan2AMB，即二面角ACDB的余弦值为33.方法 2由（1）可知，AB、BC、BD三者两两相互垂直，故以点B为坐标原点，分别以BC、BD、BA 的方向为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系.（方法 2）由勾股定理可知2222BCACABADABBDAB.设,0,0BCa，则0,0BDa，则易得平面BCD的一个法向量可以是10,0,1n，而,0,ACaa，0,ADaa，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司故可得平面ACD的一个法向量可以是21,1,1n .设二面角A

18、CDB的一个平面角为，且由图可知为锐角.则123coscos,3n n ，即二面角ACDB的余弦值为33.16.（15 分）（1）在ABC中，由正弦定理2sinsinsinabcRABC可知：sinsin2sinBCA可化为：2222bcaRRR故可得：2bca，代入可得：4bc所以222216bcbcbc，故22162bcbc（*）在ABC中，由余弦定理可得：222cos2bcaAbc代入数据和（*）式可得：4bc 所以三角形面积为：1sin32SA bc故三角形ABC的面积为3.（2）因为ABC且3A，故23BC代入可得：23sinsin34BB因此31133sincossinsincos

19、22224BBBBB化简可得：3sin34B情况一：当7cos34B时，所以可得：sinsin33BB，化简可得：321sin8B在ABC中，由正弦定理可得：37sinsin2abBA学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司情况二：当7cos34B 时，同理可得：321sin08B，又因为0,B，故sin0B 故b的值为372.17.（15 分）（1）116（2）证明：先证当02x时，sin0 xx.令 sinm xxx，则 1 cos0m x 在02x时恒成立，sinm xxx在0,2上单调递增，00m xm，即当02x时，sin0 xx.要证tan2sinxxxx，只需证明ta

20、n2sinxxxx，即证tan2sin30 xxx令 tan2sin3xxxx，0,2x，则 232222cos12cos112cos3cos12cos30coscoscosxxxxxxxxx.（或322112cos33coscos30coscosxxxxx）当且仅当cos1x 时等号成立，而0cos1x，0 x 在 x在0,2上单调递增，00 x，即tan2sin30 xxx当02x时，tan2sinxxxx.（3）令 tan2sinf xxxax，0,2x，则 00f，212coscosfxxax，令costx，则t在0,2x上单调递减，0,1t，212fxg ttat，学科网（北京）股份

21、有限公司学科网（北京）股份有限公司而 3220g tt，g t在0,1t上递减，fx 在0,2x上递增 fx 的值域为3,a（I）当30a，即3a 时，0fx恒成立，所以 f x在0,2x递增，0f x，3a符合题意；（II）当30a，即3a 时，00f，存在00,2x使得00fx当00,xx时，0fx，f x递减，此时 0f x，矛盾，舍.综上知，3a.18.（17 分）（1）不妨设kak，则C1n kkkknxpp，C1n kkkknyqq.所以01C1ln1n kknn kkknn kkkppD XYppqq0011lnC1lnC111nnn kn kkkkknnkkpqpkppnppq

22、pq11lnln11pqpnpnqpq.（2）当2n 时，22P Xp，121P Xpp，201P Xp.记 2222ln321ln611ln3 1fpD XYpppppppp，4 ln224ln2114 1ln 12 1fpppppppppp 2 lnln 11 2ln2ppp.设 lnln 11 2ln2g pppp，112ln201gppp，g p单调递增.而102g，所以 fp在10,2为负数，在1,12为正数，fp在10,2单调递减，在1,12单调递增，D XY的最小值为3ln3ln22.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司（3）当0 x 时，ln1xx，所以11ln1xx，即1ln1xx.故11111ln10nnnnnkkkkkkkkkkkkkkkxyD XYxxxyxyyx，当且仅当对所有的k，kkxy时等号成立.19.（17 分）（1）E的离心率45e；（2）证明过程略；（3）PMN面积的取值范围是720,5.