3.北京八一学校高三（下）开学考数学（教师版） (1).docx

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1、2024北京八一学校高三（下）开学考数 学2024.02本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D.2.已知复数满足，则复数的虚部为（ ）A.1 B. C.2 D.3.已知，则的最小值与最小正周期分别是（ ）A. B. C. D.4.已知数列的前项和，则（ ）A.3 B.6 C.7 D.85.已知实数，则下列不等式中成立的是（ ）A. B.C. D.6.已知分别为轴，

2、轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆面积的最小值为（ ）A. B. C. D.7.已知是双曲线与椭圆的左右公共焦点，是在第一象限内的公共点，若，则的离心率是（ ）A. B. C. D.8.设，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.9.正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（ ）A. B. C. D.10.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲乙丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为（，且）；选手总分为各场得分之和.四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最

3、后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ）A.每场比赛的第一名得分为4B.甲至少有一场比赛获得第二名C.乙在四场比赛中没有获得过第二名D.丙至少有一场比赛获得第三名第二部分（非选择题共110分）二填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若的二项式展开式中的系数为10，则_.12.关于的不等式的解集中至多包含1个整数，写出满足条件的一个的_.13.如图，单位向量的夹角为，点在以为圆心，1为半径的弧上运动，则的最小值为_.14.已知函数定义域为，设若，且对任意，则实数的取值范围为_.15.画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨

4、迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上两个动点.直线的方程为.给出下列四个结论：的蒙日圆的方程为在直线上存在点，椭圆上存在，使得；记点到直线的距离为，则的最小值为；若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为.其中所有正确结论的序号为_.三解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题满分13分）在中，.再从条件条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）的值；（2）和面积的值.条件：；条件：.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.17.（本小题满分14分）如图，在四面体中，平

5、面，点为棱的中点，.（1）证明：；（2）求平面和平面夹角的余弦值；（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分13分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：（1）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率；（2）从图中考核成绩满足的学生中任取3人，设表示这3人中成绩满足的人数，求的分布列和数学期望；

6、（3）根据以往培训数据，规定当时培训有效.请你根据图中数据，判断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由.19.（本小题满分15分）已知椭圆的上下顶点为，左右焦点为，四边形是面积为2的正方形.（1）求椭圆的方程；（2）已知圆的切线与椭圆相交于两点，判断以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.20.（本小题满分15分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证：对任意的成立.21.（本小题满分15分）已知无穷集合，且，记，定义：满足时，则称集合互为“完美加法补集”.（1）已知集合.判断2019和2020是否属于集合，并说明理由；（2）设集合.（i）

7、求证：集合互为“完美加法补集”；（ii）记和分别表示集合中不大于的元素个数，写出满足的元素的集合.（只需写出结果，不需要证明）参考答案本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项.1.D 2.A 3.A 4.B 5.B 6.A 7.D 8.B 9.C 10.C第二部分（非选择题共110分）二填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 12. 13. 14. 15.三解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，

8、演算步骤或证明过程.16.解：因为，所以，即.又，所以，所以，或，得或.若选择条件：（1）因为，所以不是最大角，得，所以.（2）由正弦定理，可得.所以.因为，所以，所以，所以，所以.若选择条件：（1）因为，所以，且，所以是最大角，得，所以.（2）由正弦定理（或直接利用），及，可得，因为，所以，又，所以.17.解：（1）因为平面平面，所以，因为，所以，所以.又因为平面，所以平面，因为平面，所以.（2）因为平面平面，所以.又因为，如图，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，设是平面的法向量，则，令，得，设平面的法向量为，则，令，则，设平面和平面夹角为，则，所以平面和平面夹角的余弦

9、值为.（3）设点满足，则，.若直线与平面所成角的正弦值为，则，化简得，所以无解.所以在线段上不存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为.18.解：（1）设该名学生考核成绩优秀为事件，由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀所以所求概率约为（2）的所有可能取值为因为成绩的学生共有8人，其中满足的学生有5人所以随机变量的分布列为0123（3）根据表格中的数据，满足的成绩有16个所以所以可以认为此次冰雪培训活动有效.19.解：（1）已知得，则，则所求方程为：.（2）（i）当直线的斜率不存在时，因为直线与圆相切，故其中的一条切线方程为.代入椭圆方程可得，可得，则以为直径的圆的方程为.（

10、ii）当直线的斜率为0时，因为直线与圆相切，所以其中的一条切线方程为.代入椭圆方程可得，可得，则以为直径的圆的方程为.显然以上两圆都经过点.（iii）当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为.代入椭圆方程消去，得，设，则.所以.所以，因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离，整理，得，将代入，得，显然以为直径的圆经过原点，综上可知，以为直径的圆过定点.20.解：（1）因为所以当时，所以，而曲线在处的切线方程为化简得到（2）法一：因为，令得当时，在区间的变化情况如下表：+0-0+极大值极小值所以在上的最小值为中较小的值，而，所以只需要证明因为，所以设，其中所以令，得，当时，在区间的变化情况如下表

11、：-0+极小值所以在上的最小值为，而注意到，所以，问题得证法二：因为“对任意的”等价于“对任意的”即“”，故只需证“”设所以设令，得当时，在区间的变化情况如下表：1-0+极小值所以上的最小值为，而所以时，所以在上单调递增所以而，所以，问题得证法三：“对任意的”等价于“在上的最小值大于”因为，令得当时，在在上的变化情况如下表：+0-0+极大值极小值所以在上的最小值为中较小的值，而，所以只需要证明因为，所以注意到和，所以设，其中所以当时，所以单调递增，所以而所以，问题得证法四：因为，所以当时，设，其中所以所以的变化情况如下表：2-0+极小值所以在时取得最小值，而所以时，所以21.答案：解：（1）由得是奇数，当时，所以，.（2）（i）首先证明：对于任意自然数可表示为唯一一数组，其中，使得，由于这种形式的自然数至多有个，且最大数不超过.由，每个都有两种可能，所以这种形式的自然数共有个结果.下证其中，则假设存在中，取最大数为，则所以不可能.综上，任意正整数可唯一表示为显然满足，所以集合互为“完美加法补集”.（ii）.第13页/共13页