福建省厦门市2024届高中毕业班第二次质量检查-数学能力提升练习含答案.pdf

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1、高三数学试题 第1页（共 4 页）厦门市 2024 届高中毕业班第二次质量检查 数学能力提升练习 满分：150 分 考试时间：120 分钟 考生注意：1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号 回答非选择题时，将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 3考试结束后，将答题卡交回 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

2、题目要求的 1已知集合|14Ax x，4|0 xBxx，则AC B R A0,4 B0,4 C3,04,5 D3,04,5 2已知正项等差数列 na的公差为d，前n项和为nS，且23341Sa，24441Sa,则d A1 B2 C3 D4 3已知，为关于x的方程2450 xx的两个虚根，则 A52 B52 C5 D5 4已知样本2,1,3,4,5xxR的平均数等于60%分位数，则满足条件的实数x的个数是 A0 B1 C2 D3 5在平面直角坐标系xOy中，点P在直线3410 xy 上若向量3,4a，则OP 在a 上的投影向量为 A34,55 B3 4,5 5 C34,2525 D34,25 2

3、5 6设1F，2F分别是双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点，P为双曲线左支上一 点，且满足112PFFF，直线2PF与C的一条渐近线垂直，则C的离心率为 A53 B3 C2 D5 7已知cos 140sin 110sin 130，则tan A33 B33 C3 D3 8设集合1,0,1A，12345,1,2,3,4,5iBx x x x xxA i，那么集合B中满足 1234513xxxxx的元素的个数为 A60 B100 C120 D130 高三数学试题 第2页（共 4 页）二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符

4、合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年16月的GDP数据y（单位：百亿元）建立了一元线性回归模型，根据最小二乘法得到的经验回归方程为 0.42yxa，其中解释变量x指的是16月的编号，其中部分数据如表所示：时间 1月 2月 3月 4月 5月 6月 编号x 1 2 3 4 5 6 y/百亿元 1y 2y 3y 11.107 5y 6y （参考数据：621796iiy，62170iiyy），则 A经验回归直线经过点3.5,11 B10.255a C根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14

5、.57百亿元 D第4个样本点44,xy的残差为0.103 10如图1，扇形ABC的弧长为12，半径为6 2，线段AB上有一动点M，弧AB上一 点N是弧的三等分点，现将该扇形卷成以A为顶点的圆锥，使得AB和AC重合，则在 图2的圆锥中 A圆锥的体积为216 B当M为AB中点时，线段MN在底面的投影长为3 7 C存在M，使得MNAB Dmin3 302MN MNCAB B(C)MNA（第第 10 题图题图 1）（第第 10 题图题图 2）11已知 f x，g x都是定义在R上的奇函数，且 f x为单调函数，11fx R，f g xxa（a为常数），222g f xg f xx，则 A 20g B

6、33f C f xx为周期函数 D21422nkfknn 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12已知抛物线2:4C yx的焦点为F，点A在C上，且5AF，O为坐标原点，则AOF的面积为 13已知函数 sin0f xx在,3 6上单调，4633fff，则的可能取值为 14已知函数 log0,0,1abf xxx abb，若 1f x 恒成立，则ab的最小值 为 高三数学试题 第3页（共 4 页）四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（13 分）如图，三棱柱111ABCABC中，侧面11ABB A是边长为2的菱形，13ABB

7、，2 2AC，M为11AB中点，11CM （1）证明：平面ABC 平面11ABB A；（2）若2BC，求平面ABC与平面1ABC夹角的余弦值 C1CBMB1A1A（第第 15 题图题图）16（15 分）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形如图，ABC的面积为S，三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且222sinSCcb（1）证明：ABC是倍角三角形；（2）若9c，当S取最大值时，求tanB ABC（第第 16 题图题图）17（15 分）已知2,0A，2,0B，P为平面上的一个动点设直线AP，BP的斜率分别为1k，2k，且满足1234kk 记P的

8、轨迹为曲线（1）求的轨迹方程；（2）直线PA，PB分别交动直线xt于点C、D，过点C作PB的垂线交x轴于点H HC HD 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由 高三数学试题 第4页（共 4 页）18（17 分）若*n N，都存在唯一的实数nc，使得nf cn，则称函数 f x存在“源数列”nc已知 lnf xxx，0,1x（1）证明：f x存在源数列；（2）（）若 0f xx恒成立，求的取值范围；（）记 f x的源数列为 nc，证明：nc前n项和53nS 19（17 分）小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5（1）若小明共投篮4次，在投中2次的条件下，求第二次没有投

9、中的概率；（2）若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中1X次，第二组投篮2次，投中2X次，求12E XX；（3）记 P i表示小明投篮2,3,i i 次，恰有2次投中的概率 在投篮不超过2n n 次的情况下，若小明投中2次，则停止投篮；若投篮n次后，投中的次数仍不足2次，则不再继续投篮记Y表示小明投篮的次数 证明：222niE YP i 高三数学试题 第 1 页（共 11 页）厦门市 2024 届高中毕业班第二次质量检查数学能力提升练习参考解答与评分标准满分：150 分考试时间：120 分钟考生注意：1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“

10、准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号 回答非选择题时，将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效3考试结束后，将答题卡交回一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合|14Axx，4|0 xBxx，则ACBRA0,4B0,4C3,04,5D3,04,5答案：C解析：由14x，得414x ，即35x，所以3,5A 由40 xx，得400 xxx，解得04x，所以0,4B，,04,CB R所以3

11、,04,5ACB R故应选C2已知正项等差数列na的公差为d，前n项和为nS，且23341Sa，24441Sa,则dA1B2C3D4答案：B解析：（法一）23341Sa，24441Sa两式相减，可得22443411aaa，即2243110aa，所以434320aaaa，又*0nan N，所以4320aa，即432daa故应选B（法二）23341Sa，24441Sa两式相减，可得2244343434341122aaaaaaadaa，所以11143322addadad，化简得12250dad，因为10a，0d，所以20d，得2d故应选B3已知，为关于x的方程2450 xx的两个虚根，则A52B52

12、C5D5答案：A解析：（法一）由题意知4，5，根据虚根成对，互为共轭的原理，有，所以22，所以5，所以25542高三数学试题 第 2 页（共 11 页）故应选A（法二）由题意知2i，2i，所以2i2i5552i2i42故应选A4已知样本2,1,3,4,5xxR的平均数等于60%分位数，则满足条件的实数x的个数是A0B1C2D3答案：C解析：因为60.63.6，所以样本的60%分位数是样本数据从小到大排序后的第4个数由题意，123451566xxx当3x时，1536x，得3x，满足题意；当34x时，156xx，得3x不符合题意；当4x时，1546x，得9x，符合题意综上，应选C5在平面直角坐标系

13、xO y中，点P在直线3410 xy 上若向量3,4a，则O P 在a上的投影向量为A34,55B34,55C34,2525D34,2525答案：C解析：直线3410 xy 的斜率34k，方向向量为31,1,4bk由0ab 知a为该直线的法向量，又0,0O到直线3410 xy 的距离2211534d结合图象可知，O P 在a上的投影向量为134,252525a 故应选C6设1F，2F分别是双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点，P为双曲线左支上一点，且满足112PFF F，直线2PF与C的一条渐近线垂直，则C的离心率为A53B3C2D5答案：A解析：由对称性，不妨设P在第二象限，

14、取2PF的中点M，设2PF与渐过线byxa交于N点由1122PFF Fc，知12F MPF，又2F NO N，所以1F MO N又O为12F F的中点，所以N为2F M的中点易点2F到渐近线byxa的距离为b，即2F Nb，所以2244PFNFb由212PFPFa，得422bca，即2bac，所以222244cabac，因为0ac，所以4caac，即35ca，解得53e故应选A7已知cos 140sin 110sin 130，则tan高三数学试题 第 3 页（共 11 页）A33B33C3D3答案：D解析：由题意知cos140 cossin140 sinsin110 coscos110 sin

15、sin130 coscos130 sin，化简得sinsin130cos140sin110tancoscos130sin140cos110sin240110cos 30110sin110cos 240110sin 30110cos110 3131cos110sin110cos110sin110sin11022223131cos110sin110cos110sin110cos11022223 cos1103cos110 故应选D8设集合1,0,1A，12345,1,2,3,4,5iBxxxxxxA i，那么集合B中满足1234513xxxxx的元素的个数为A60B100C120D130答案：D解

16、析：意即125,xxx中取值为1或1的个数之和为1或2或3，所以满足条件的元素的个数为12233555222104080130CCC故应选D二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分9为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年16月的G D P数据y（单位：百亿元）建立了一元线性回归模型，根据最小二乘法得到的经验回归方程为0.42yxa，其中解释变量x指的是16月的编号，其中部分数据如表所示：时间1月2月3月4月5月6月编号x123456y/百亿元

17、1y2y3y11.1075y6y（参考数据：621796iiy，62170iiyy），则A经验回归直线经过点3.5,11B10.255aC根据该模型，该地2023年12月的G D P的预测值为14.57百亿元D第4个样本点44,xy的残差为0.103答案：AC解析：666222211126796670iiiiiiyyyyyyy，解得11y，由此可知选项A正确由ybxa，得110.423.59.53a故选项B错误当12x时，0.42129.5314.57y故选项C正确当4x时，0.4249.5311.21y，由11.10711.210.103 故选项D错误高三数学试题 第 4 页（共 11 页）

18、综上，应选AC10如图1，扇形ABC的弧长为12，半径为62，线段AB上有一动点M，弧AB上一点N是弧的三等分点，现将该扇形卷成以A为顶点的圆锥，使得AB和AC重合，则在图2的圆锥中A圆锥的体积为216B当M为AB中点时，线段M N在底面的投影长为37C存在M，使得M NABDmin3302M N（第 10 题图 1）（第 10 题图 2）（第 10 题答题图）答案：BC D解析：设圆锥的底面半径为R，高为h，由题意知212R，解得6R所以226266h，所以圆锥的体积2113667233VRh所以选项A错误当M为线段AB的中点时，设M在底面的投影为H，则H为O B的中点，3O H，易知120

19、NO H，6O NNO H中，由余弦定理，得22212cos120936236632H NO HO NO HO N ，所以37H N，即线段M N在底面的投影长为37故选项B正确作NTO B于T，作1TMAB于1M，连结1M N，易知1M为线段AB的四等分点，NT平面ABO，由三垂线定理易知1ABM N，故当M与1M重合时，M NAB故选项C正确易知2222min113330336242M NM NTNTM故选项D正确综上，应选BC D11已知fx，gx都是定义在R上的奇函数，且fx为单调函数，11fx R，fgxxa（a为常数），222gfxgfxx，则A20gB33fCfxx为周期函数D2

20、1422nkfknn答案：BC解析：由fx为单调函数及fgxxa，知gxxt，即gxxt，其中t为常数，又gx为奇函数，所以0t，gxx所以22g故选项A错误由222gfxgfxx，得222fxfxx，1高三数学试题 第 5 页（共 11 页）1式中令1x，得 134ff，结合 11f，得33f故选项B正确令hxfxx，由 1式可知220fxxfxx ，即20hxhx，2hxhx，所以42hxhxhxhx ，hxfxx以4为周期故选项C正确因为444410000hkhkhkhf，所以440fkk，即44fkk，所以21144 1234222nknnfknnn故选项D错误综上，应选BC三、填空题

21、：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分12已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，点A在C上，且5AF，O为坐标原点，则AO F的面积为答案：5解析：设00,Axy，由题意知00152pAFxx，所以04x，所以200420yx，所以025y，又12pO F，所以011125522AO FSO Fy 13已知函数sin0fxx在,36上单调，4633fff，则的可能取值为答案：53或127或95解析：设fx的周期为T，由fx在,36上单调知6322T，得T，02由63ff 及fx在,36上单调，得630212ff 由463ff，47366，T，得76T或4632124T 或43632124

22、T（）若76T，则726，得127（）若4632124T，则34122，解得53（）若43632124T，则334122，解得95综上，53或127或95高三数学试题 第 6 页（共 11 页）14已知函数log0,0,1abfxxx abb，若1fx恒成立，则ab的最小值为答案：e解析：易知fx在0,是连续可导函数，11lnafxaxxb由 11fxf，必有 110lnfab，得1lnab所以lnbabb，因为0a，所以1b.令,1,lnxgxxx，2ln1lnxgxx，当1,ex时，0gx，gx递减；当e,x时，0gx，gx递增，所以mineegxg所以ab的最小值为e，当且仅当eb，1a

23、时取等号 此时ln1fxxx恒成立四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13 分）如图，三棱柱111ABCA B C中，侧面11ABB A是边长为2的菱形，13ABB，22AC，M为11A B中点，11C M（1）证明：平面ABC平面11ABB A；（2）若2BC，求平面ABC与平面1ABC夹角的余弦值（第 15 题图）（第 15 图答题图 1）（第 15 题答题图 2）解析：（1）连接AM，1AB在菱形11ABB A中，11A AA B，13AA B，所以1AA B为正三角形又因为M为11A B中点，所以3AM且11AMA B因为11ABA B

24、，所以AMAB2 分因为222AMACC M，所以AMAC3 分又因为,AB AC平面ABC，ABACA，所以AM平面ABC4 分又AM平面11ABB A，所以平面ABC平面11ABB A5 分（2）因为222BCBAAC，所以C BAB又平面ABC平面11ABB A，平面ABC平面11ABB AAB，C B平面ABC，所以BC平面11ABB A7 分取1BB中点O，连接AO，作O HBC，交1C C于H，则O A，1O B，O H两两垂直如图，分别以O A，1O B，O H为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz8 分高三数学试题 第 7 页（共 11 页）则3,0,0A，0,1,0B，

25、0,1,2C，10,1,2C，33,022M3,1,0BA，10,2,2BC 9 分因为AM平面ABC，所以33,022AM 为平面ABC的法向量10 分设平面1ABC的法向量为,nx y z，则100nBAnBC ，得30220 xyyz令3y，得13xz，所以1,3,3n12 分所以2327cos,737nAMn AMnAM 所以平面ABC与平面1ABC夹角的余弦值为27713 分16（15 分）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形如图，ABC的面积为S，三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且222sinSCcb（1）证明：ABC是倍角三角

26、形；（2）若9c，当S取最大值时，求tanBABC（第 16 题图）解析：（1）由222sinSCcb，知22sinsinabCCcb，即22cbab，得22cbab1 分又由余弦定理知2222coscababc，2 分所以2222cosbabababC，即2cosbabC，3 分由正弦定理及sinsinABC可得sinsin2 sincossincoscossin2 sincosBBCBCBCBCBCsincoscossinsinCBCBCB，5 分所以BCB或BCB（舍去），所以2CB，所以ABC是倍角三角形6 分评注 事实上，由正弦平方差公式及sinsinBCA，2222222sinsi

27、nsinsinsinsinsinSabCCCCBABcbcbsinsinsinsinsinsinCBCBABBCB（2）设B，则2C，3A，由,0,A B C，得0,37 分高三数学试题 第 8 页（共 11 页）由正弦定理知sinsinbcBC，即sinsin99sinsin 22 cosBbcC8 分所以3119813sin4 sinsin9sin 3222 cos4cosABCSABACA 811cos28134tan12 cos2tan42422223tantan811tan8112tan41tan41tan11 分令tan0,3x，3231xxfxx，则223422222331236

28、311xxxxxxxfxxx，13 分令0fx得20323x ，02330,3x，当00,xx时，0fx，fx单调递增；当0,3xx时，fx单调递减所以当0 xx时，fx取最大值，从而ABCS取得最大值综上，tan233B为所求15 分17（15 分）已知2,0A，2,0B，P为平面上的一个动点设直线AP，BP的斜率分别为1k，2k，且满足1234kk 记P的轨迹为曲线（1）求的轨迹方程；（2）直线PA，PB分别交动直线xt于点C、D，过点C作PB的垂线交x轴于点HH CH D 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由（第 17 题答题图）解析：（1）设点,Px y，则0 x，因

29、为1234kk，所以3224yyxx，2 分整理得22143xy，4 分所以的方程为221043xyx5 分（2）（法一）设000,0Pxyy，则02x，故直线PA，PB的斜率存在且不为0，则直线002:2yxPAyx，即0022yyxx，则点00,22yCttx7 分高三数学试题 第 9 页（共 11 页）又直线002:2yxPByx，即0022yyxx，则点00,22yDttx8 分又直线C H的斜率为002xy，故直线00002:22yxC Hytxtxy，令0y，得202024Htyxtx 10 分又00,Pxy在椭圆上，则2200143xy，整理得20203 44xy，所以36244

30、Htxtt，则6,04tH12 分所以2220002000422363636,4242164tytytytttH CH Dxxx 2223436361216416ttt 14 分综上，存在6t，使得H CH D 有最大值1215 分（法二）设直线AP，BP的斜率分别为1k，2k，且满足1234kk 直线1:(2)PAykx，则点1,2Ct kt7 分同理，直线2:2PBykx，则点2,2Dt kt，8 分又直线121:2C Hyktxtk，令0y，得1213242Hxtk ktt，则6,04tH12 分所以221212363636,2,244416tttH CH Dktktk kt 22234

31、36361216416ttt 14 分综上，存在6t，使得H CH D 有最大值1215 分18（17 分）若*n N，都存在唯一的实数nc，使得nfcn，则称函数fx存在“源数列”nc 已知lnfxxx，0,1x（1）证明：fx存在源数列；（2）（）若0fxx恒成立，求的取值范围；（）记fx的源数列为nc，证明：nc前n项和53nS解析：（1）112022xfxxxx，所以fx在0,1上递减2 分又 11f，当0 x时，()fx 4 分所以*n N，都存在唯一的实数nc，使得nfcn，所以fx存在源数列 5 分（2）（）由题意，ln0 xxx恒成立，即lnxxx恒成立6 分高三数学试题 第

32、10 页（共 11 页）令0,1tx，则22 lnttt恒成立令 22 lntttt，则 22 ln2ttt7 分令 gtt，则 220gtt，所以 gt在0,1上单调递减，8 分所以 10gtg，即 0t，所以 t在0,1上单调递增，9 分所以max()(1)1t10 分所以111 分（）由（）得1fxx，所以1nnfcc，即1nnc13 分所以221122121214ncnnnn15 分当1n时，1215113S；当2n时，2222225251355721213213nSnnn 原不等式得证17 分19（17 分）小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5（1）若小明共投篮4次，在投

33、中2次的条件下，求第二次没有投中的概率；（2）若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中1X次，第二组投篮2次，投中2X次，求12EXX；（3）记 Pi表示小明投篮2,3,i i次，恰有2次投中的概率在投篮不超过2n n次的情况下，若小明投中2次，则停止投篮；若投篮n次后，投中的次数仍不足2次，则不再继续投篮记Y表示小明投篮的次数证明：222niEYPi解析：（1）记事件nA表示共有0,1,2,3,4n n次投中，事件B表示第二次没投中，则2BA表示一共投中2次，且第二次没投中，则从剩余的三次选择两次投中，故2232111322216PBAC，1 分2A表示一共投中2次，故22422113228

34、PAC，2 分则2223116328PBAPB APA4 分（2）（法一）根据题意，1X可得取值为0，1，2，3；2X的可能取值为0，1，2；故12XX的可能取值为2，1，0，1，2，3；5 分则1212321112022232PXXPXPX；12121210112PXXPXPXPXPX 2112332111111522222232CC；6 分高三数学试题 第 11 页（共 11 页）121212120001122PXXPXPXPXPXPXPX11232332222111111111522222222216CCC；121212121102132PXXPXPXPXPXPXPX1213322223

35、2111111111522222222216CCC；7 分12121222031PXXPXPXPXPX2132223111111522222232CC；1212321113302232PXXPXPX8 分所以1215555112101233232161632322EXX 9 分（3）根据题意可知 211122iiii iPiC10 分111111222kkkkPXkC，2,3,1kn2311221222nnPXn，11 分记231122222nnnS，3411222222nnnS，两式相减得2311111112214212222222212nnnnnnnnnS，故112nnnS，12 分故111212nnXnnPn 13 分所以11122122nnknkkknEXkPXknPXnkn111211222121212112222222nknnnnnkn nnnn nnnknkn111211222ninii in n，15 分又因为当2n时，11211122212122222nnnn nn nnnnPnn，16 分所以 11211222112222222nnniniiii in nEXPiPnPi17 分