重庆市七校联盟2023-2024学年高三下学期第一次联考数学试题含答案.pdf

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1、重庆市七校联盟2023-2024学年高三下学期第一次联考数学试题七校联盟 2024 年第一学月联考高三数学答案 第 1 页 共 6 页 七校联盟七校联盟 20242024 年第一学月联考年第一学月联考 高高 三三 数 学数 学 答 案答 案 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 A C A D B B C A 8（解析）注意到，(0)1f=，因为()(1)xfxaea=，且(0)1f=，所以函数()yf x=在点(0,1)处的切线方程为1yx=+.当0a 时，由1xex+可知，()(1)1(1)(1)11xf xaeax

2、aa xaxax=+=+，所以|PQ的最小值为直线1yx=+与直线()yg xxb=+的距离，由点到直线的距离公式知|1|22b=，解得1b=或3b=（舍去），所以1b=.二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.题号题号 9 10 11 答案答案 BCD ABC BCD 11（解析）当0a=时，3()1f xx=+，则2()3fxx=，则(0)0f=，则曲线()yf x=在点(0,1)处的切线方程为1y=，故A选项错误.当3a=时，3()31f xxx=+，则2()3

3、3fxx=，当(,1)x 和(1,)+时，()0fx，()f x单调递增，(1,1)x 时，()0fx.因为()6fxx=，(0)0f=，因此函数3()1f xxax=+的图象关于点(0,1)成中心对称图形.则此正方形必以(0,1)为中心，不妨设正方形的四个顶点分别为A，B，C，D，其中一条对角线AC的方程为1(0)ykxk=+，则311xaxkx+=+，即3()0 xak x+=，解得xak=+，则2|2 1ACkak=+，同理可得211|2 1BDakk=+.由22|ACBD=得231(1)0kakk+=，根据题意，方程231(1)0kakk+=只有一个正解，当1k=时，显然不成立.故1k

4、，则32221112111kkkkakkkkkkk+=+，因为0a，则(0,1)k，设1tkk=，则(,0)t.设2()g ttt=+，根据题意，只需要直线ya=与函数2()g ttt=+的图象只有唯一的公共点即可.结合双勾函数的图象可得2 2a=，解得2 2a=.所以选项D正确.#QQABKYAEogiAQAAAAQhCAwGaCgIQkAACAAoOxBAIsAAASQNABCA=#七校联盟 2024 年第一学月联考高三数学答案 第 2 页 共 6 页 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.题号题号 12 13 14 答案答案 14（解析）：把平面11AAC C沿1A

5、A展开到与平面11ABB A共面的11AAC C的位置，延长1B B到1B，使得11BBB B=，连结1B F，如图 1 所示，则11B FB F=，要使得11C EEFFB+的长度最小，则需1C，E，F，1B四点共线，此时111111C EEFFBC EEFFBC B+=+=，因为114C B=，14BB=，11190B BC=，所以111145BB C B=，所以12BFBB=，1111AEAC=，故1=AEAF，145AFEBFB=，所以190B FE=，2EF=，12 2B F=，110EB=，所以1EFB的外接圆是以1EB的中点O为圆心，11022EB=为半径的圆 如图 2，连接1,

6、OA OF，由于1111AEAC=，所以2211112C EAEAC=+=，又221111112 2C BABAC=所以2221111EBECC B=+，所以11EC B的外接圆是以1EB的中点O为圆心，11022EB=为半径的圆 所以三棱锥11BC EF外接球的球心为O，半径为102，故外接球的表面积为104104=四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（满分 13 分）详解：（1）由倍角公式得：3sin31cos=+BB 1)6sin(=+B#QQABKYAEogiAQAAAAQhCAwGaCgIQkAACAAoOxBAIsAAASQNAB

7、CA=#七校联盟 2024 年第一学月联考高三数学答案 第 3 页 共 6 页 3,26)67,6(6),0(=+BBBB即 -（5 分）（2）若选：由BD平分ABC得：ABCABDBCDSSS=+，111sin3 sin3 sin232626acac=+，即3()acac=+.在中，由余弦定理得2222cos3bacac=+，2212acac+=，联立()22312acacacac=+=，得2()936acac=，解得12ac=，113sin123 3222ABCSacB=-（13 分）若选：得()12BDBABC=+，()()222211244BDBABCBABA BCBC=+=+，得22

8、36acac+=，在中，由余弦定理得2222cos3bacac=+，2212acac+=，联立22223612acacacac+=+=，得12ac=，113sin123 3222ABCSacB=-（13 分）16（满分 15 分）详解：（1）连接1AB交1AB于点 E，连接 OE，1C E，O，E 分别是 AB，1AB的中点，D 为1CC的中点，1111/112/2,OEBBDC OEBBDC=，四边形1OEC D为平行四边形，1/OD C E OD 平面11AC B，1C E 平面11AC B，/OD平面11AC B -6 分（2）连接 OC，160BAA=，为正三角形，1AOAB，1AOB

9、C，且BCABB=I，1AO 平面 ABC，ABC 是正三角形，COAB 以 O 为原点，OA，1OA，OC 所在直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，#QQABKYAEogiAQAAAAQhCAwGaCgIQkAACAAoOxBAIsAAASQNABCA=#七校联盟 2024 年第一学月联考高三数学答案 第 4 页 共 6 页 设2AB=，则()1,0,0A，()10,3,0A，()0,0,3C，()12,3,0B，由11ACAC=，可得()11,3,3C 则()12,3,3AC=，()11,3,0AA=，()13,3,0AB=，设平面11A AC的法向量为(),mx y

10、z=，1100AC mAA m=，即233030 xyzxy+=+=，令3x=，()3,1,1m=，设平面11AC B的法向量为(),na b c=，1100AC nAB n=，即2330330abcab+=+=，令3a=，()3,3,1n=，设平面11A AC与平面11AC B所成的角为，则565coscos,13513m nm nm n=，即平面11A AC与平面11AC B所成角的余弦值为6513 -（15 分）17（满分 15 分）详解：（1）估计这 100 架新能源无人飞机的单次最大续航里程的平均值为：205 0.1255 0.2305 0.45355 0.2405 0.05300

11、x=+=.-（4 分）（2）()2300,50XN，()()0.68270.954525040020.818622PXPX=+=.-（4 分）（3）由题设可知抽取的 6 架新能源无人飞机中，卓越 A 型、卓越 B 型和卓越C型的架数分别为3 架 2 架和 1 架，随机变量Y的可能取值为0,1,2,3.()()031233333366C CC C190,1C20C20P YP Y=，()()123033333366C CC C912,3C20C20P YP Y=，随机变量Y的分布列如下表：Y 0 1 2 3 P 120 920 920 120()199130123202020202E Y=+=.

12、-（15 分）#QQABKYAEogiAQAAAAQhCAwGaCgIQkAACAAoOxBAIsAAASQNABCA=#七校联盟 2024 年第一学月联考高三数学答案 第 5 页 共 6 页 18（满分 17 分）详解：（1）222(1)()2axfxaxxx=，若0a，则当(0,)x+时，()0fx，()f x单调递增，则()f x至多只有一个零点，不符题意.若0a，令()0fx=得，axa=，则当(0,)axa时，()0fx，()f x单调递增，当(,)axa+时，()f x单调递减.因为()f x有两个不同的零点，则必有2()2ln()ln10aaafaaaaa=，解得10ae，又0

13、x 时，()f x ，当x +时，()f x ，故当10ae时，()f x有两个不同的零点，所以实数a的取值范围为1(0,)e .（5 分）（2）由（1）知1x，2x是函数()f x的两个不同零点，不妨设120axxa，则有12()()0f xf x=，即2112ln0 xax=，2222ln0 xax=，作差得2221212(lnln)()xxa xx=，先证121x xa，即证222112212(lnln)xxx xxx，即证21122112lnxxxxxx，则只需证112lnttt，设1()2lng tttt=，则22212(1)()10tg tttt=+=，则()g t单调递增，则()

14、(1)0g tg=，则12lnttt成立，也即121x xa成立.（10分）再 证012xx x，因 为0 x是 方 程ln20 xax+=的 根，则00ln20 xax+=，又 有2112ln0 xax=，2222ln0 xax=，则222121212122ln()()()2x xa xxa xxax x=+=+，则2121212()2ln()2a xxx xax x+=+，因为函数lnyxax=+单调递增，故要证012xx x+，即证212()4a xx+，即证122xxa+.只需证212xxa，因为21(,)xa+，121(,)xaa+，且()f x在1(,)a+上单调递减，则只需证21

15、2()()f xfxa，又因为12()()f xf x=，即证112()()f xfxa.设21()()(),(0,)h xfxf x xaa=，则224(1)()()()0(2)axh xfxfxaaxx=，则2()()fxf xa，从 而212()()f xfxa，故012xx x上得12p=，解得12p=，则E的准线方程为14y=.（2 分）（2）设211(,)A x x，222(,)B x x.由2yx=得2yx=，则E在点A处的切线方程为1112()yyx xx=，又因为211yx=，则E在点A处的切线方程为1120 x xyy=，同理E在点B处的切线方程为2220 x xyy=.又

16、因为两条切线都经过点(,1)M t，则有11210txy=，22210txy=，则直线AB的方程为210txy=.由2210txyyx=得2210 xtx+=，由韦达定理得122xxt+=，121x x=.（5 分）要证AOCBOC=，即证coscosAOCBOC=，即证|OA OCOB OCOA OCOB OC=.因为211(,)OAx x=，222(,)OBx x=，(1,1)OC=，则有22112224241122xxxxxxxx+=+，因为1t，则12xx，且10 x，20 x，则有1222121111xxxx+=+，化简得121x x=，此式显然成立.所以AOCBOC=.（8 分）设

17、 圆P的 方 程 为220 xyDxEy+=，因 为 点A，B在 圆P上，则 有24211110 xxDxEx+=，24222220 xxDxEx+=，因为12xx，则有31110 xxDEx+=，32220 xxDEx+=，两式相减得33121212()0 xxxxE xx+=，又332212121122()()xxxxxx xx=+，代 入 化 简 得22112210 xx xxE+=，也 即212121()0 xxx xE+=，由 得122xxt+=，121x x=，代 入 化 简 得24Et=.由31110 xxDEx+=与32220 xxDEx+=相加得331212122()0 xx

18、xxDE xx+=，又332212121122()()xxxxxx xx+=+，代 入 化 简 得2Dt=，则 圆P的 方 程 为222240 xytxt y+=，即22242()(2)4xtyttt+=+.（11 分）则圆P在点A处的切线方程为224211()()(2)(2)4xtxtytyttt+=+，在点B处的切线方程为224222()()(2)(2)4xtxtytyttt+=+.设点00(,)N xy，因为圆P在点A与点B处的切 线 都 经 过 点00(,)N xy，则 有22420101()()(2)(2)4xt xtytyttt+=+，22420202()()(2)(2)4xtxt

19、ytyttt+=+，则直线AB的方程为224200()()(2)(2)4xtxtytyttt+=+，整理得220000()(2)20 xt xytytxt y+=.因为过 点A与B的 直 线 有 且 仅 有 一 条，又 由 知 直 线AB的 方 程 为210txy=，则 有22000022211xtyttxt yt+=，解得302xtt=，20yt=，即32(2,)Ntt t.（15 分）又 因 为(,1)M t，则 直 线MN的 斜 率2311222MNtkttt=，则 直 线MN的 方 程 为11()2yxtt=，即1122yxt=+，所以直线MN过定点1(0,)2 .（17 分）#QQABKYAEogiAQAAAAQhCAwGaCgIQkAACAAoOxBAIsAAASQNABCA=#