2024届广东燕博园高三下学期3月联考（CAT联考）数学试题含答案.pdf

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1、学科网（北京）股份有限公司保密保密启用前启用前燕博园燕博园 2024 届高三年级综合能力测试（届高三年级综合能力测试（CAT）数学（新课标数学（新课标 I 卷）卷）2024.03 本试卷共本试卷共 4 页，满分页，满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名考生号考生号考场号和座位号填写在答考场号和座位号填写在答题卡上题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用作答选择题时

2、，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液，不按以置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效上要求作答的

3、答案无效.4.考生必须保持答题卡整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考生必须保持答题卡整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一一选择题选择题：本题共：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的.1.若复数()5i 1 iz=+，则复数z在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合()2lg 3,6Ax yxBy yxx=+，则AB=（）A.(,3 B.(),3 C.0,3 D.)0,33.已知()22xf xx=+，若(

4、)3f a 的解集为1x x”是“0abc+=”的（）2024届广东燕博园高三下学期3月联考（CAT联考）数学试题含答案 学科网（北京）股份有限公司 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00GGLL D=，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，0L表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，0G表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 0.5，衰减速度为 18，且

5、当训练迭代轮数为 18 时，学习率衰减为 0.4，则学习率衰减到 0.2 以下（不含 0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）参考数据：lg20.3010=A.72 B.74 C.76 D.78 7.已知e为单位向量，向量a满足2,1a eae=，则a的最大值为（）A.1 B.2 C.5 D.4 8.已知直线()1:130lkxykk+=R与直线()2:30lxkykk+=R相交于点M，若恰有 3 个不同的点M到直线:0l xyb+=的距离为 1，则b=（）A.1 B.2 C.3 D.2 二二多选题多选题：本题共：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选

6、项中，有多项符合题目要在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.嘌呤是一种杂环有机化合物，它在能量的供应代谢的调节等方面都有十分重要的作用，它的化学结构式主要由一个正五边形与一个正六边形构成（设它们的边长均为 1），其平面图形如图所示，则（）A.3AB=B.O到AC的距离是cos36 C.O是ABC的内切圆的圆心 D.tantantanABCBCACAB的图象向左平移6个单位后得到函数()yg x=的 学科网（北京）股份有限公司 图象（如图所示），则（）A.12=B.()f x在

7、11 7,126上为增函数 C.当5944 时，函数()gx在0,2上恰有两个不同的极值点 D.524x=是函数()()yf xg x=+的图象的一条对称轴 11.已知定义域均为R的函数()f x与()g x，其导函数分别为()fx与()gx，且()()()()312,11gxf xgxfx+=，函数()f x的图象关于点()3,0M对称，则（）A.函数()f x的图象关于直线1x=对称 B.8 是函数()f x的一个周期 C.()52g=D.()()202020244gg+=三三填空题填空题：本题共：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.已知,a b c是

8、正整数，且(10,20,20,30,30,40abc，当,a b c方差最小时，写出满足条件的一组,a b c的值_.13.ABC中，角,A B C对边分别为,a b c，且2 cos sinsin0,cCBbCD+=为边AB上一点，CD平分,2ACB CD=，则11ab+=_.学科网（北京）股份有限公司 14.已知表面积为8的球O的内接正四棱台111111,2,1ABCDABC D ABAB=，动点P在1ACD内部及其边界上运动，则直线BP与平面1ACD所成角的正弦值的最大值为_.四四解答题解答题：本题共：本题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程

9、或演算步骤证明过程或演算步骤.15.（15 分）已知数列 na的前n项和为,nSn为正整数，且()()342nnSna=.（1）求证数列1na 是等比数列，并求数列 na的通项公式；（2）若点21,3nnbP a+在函数4logyx=的图象上，且数列 nc满足1161(1)nnnnncb b+=，求数列 nc的前n项和nT.16.（15 分）在斜四棱柱1111ABCDABC D中，112,2AAABBCCDADBC=AD，平面11A ADD 平面12,3ABCDADD=.（1）求1AB的长；（2）求二面角1ACCD的正切值.17.（15 分）海参中含有丰富的蛋白质氨基酸维生素矿物质等营养元素，

10、随着生活水平的提高，海参逐渐被人们喜爱.某品牌的海参按大小等级划分为5 4 3 21五个层级，分别对应如下五组质量指标值：)300,350,350,400,400,450,450,500,500,550.从该品牌海参中随机抽取 10000 颗作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.学科网（北京）股份有限公司 （1）质量指标值越高，海参越大质量越好，若质量指标值低于 400 的为二级，质量指标值不低于 400 的为一级.现利用分层随机抽样的方法按比例从不低于 400 和低于 400 的样本中随机抽取 10 颗，再从抽取的 10 颗海参中随机抽取 4 颗，记其中一级的颗数为X，求X的分布列及数

11、学期望.（2）甲乙两人计划在某网络购物平台上参加该品牌海参的订单“秒杀”抢购活动，每人只能抢购一个订单，每个订单均由()*2,n nnN箱海参构成.假设甲乙两人抢购成功的概率均为21(5)n+，记甲乙两人抢购成功的订单总数量为Y，抢到海参总箱数为Z.求Y的分布列及数学期望；当Z的数学期望取最大值时，求正整数n的值.18.（16 分）设函数()ln(xaf xxx=常数0)a.（1）当2a=时，求曲线()yf x=在点()()1,1f处的切线方程；（2）求函数()f x的单调区间；（3）证明：()ln111xxxx为平面内的一个动点，满足：22cos32AMBMAMBt=.（1）求动点M的轨迹C

12、的方程；（2）设动直线:l ykxm=+与曲线C有且只有一个公共点P，且与直线4xt=相交于点Q，该平面上是否存在定点H，使得以PQ为直径的圆恒过点H？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由.学科网（北京）股份有限公司 燕博园燕博园 2024 届届 3 月月 CAT 联考数学模拟试题解析版联考数学模拟试题解析版 一一选择题选择题：本题共：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的合题目要求的.1.答案：C【命题意图】：本题考查复数的共轭复数的概念，复数的乘法运算，立足基础考百

13、学生的数学运算能力 解析：()5i 1 i1 i,1 izz=+=+=，在复平面上对应的点为()1,1.该点在第三象限故选 C.2.答案：D【命题意图】本题主要考查初等函数的定义域值域的求法，集合的交运算，立足基础性，考查基本的逻辑推理素养和数学运算能力.【答案】D【解析】由于集合2 303,(3)903Axxx xBy yxxx=+=，则 03ABxx=.故选 D.3.答案：B【命题意图】：本题考查了初等函数的性质，及不等式的计算，立足基础，考查学生逻辑推理素养和数学运算能力【解析】函数()f x为偶函数且在()0,+上为增函数，()13f=，所以选 B 4.答案：C【命题意图】：本小题考查

14、双曲线的定义及性质，考查数形结合思想，逻辑推理能力与运算求解的综合能力，体现解析几何的基本思想与基本方法.【解析】：1114390,cos,sin55F AFAFFAFF=，1862,2,5555ccAFAFca e=5.答案：A【命题意图】：本小题考查了充分必要条件，二次不等式与二次函数的关系，考查了逻辑推理能力与运算求 学科网（北京）股份有限公司 解的综合能力，【解析】充分性：由题意可知1x=为方程20axbxc+=的解，所以有0abc+=成立 必要性：0abc+=只能说明1x=为方程20axbxc+=的一个解，不能保证是唯一解，若是唯一解则有240bac=，从而得到：,2ac ba=，所

15、以必要性不成立，所以选 A 6.答案：B【命题意图】：本小题考查了指对数的运算，考查了阅读能力和运算能力【解析】由题意可知18180.40.5 D=解得45D=，则 184422lg2 10.50.2lglg1873.8518553lg2 1GGG，所以选 B 7.答案 C【命题意图】：本小题考查了向量的模的运算及二次函数最值，数形结合，坐标法等知识，考查学生逻辑推理能力与运算求解的综合能力，【解析】解法一：222222|1,41,41(2)5aeaa=+=+=+所以a的最大值为5.解法二：因为2a e=，所以向量a的终点在直线1l上，向量e的终点在直线2l上，因为1ae=，所以13，所以25

16、a，所以a的最大值为5.解法三：如上图，以O为原点以2l为x轴建立平面直角坐标系，则()()()1,0,0,2,eeat=，则()22222,(2)1,1(2)aettt=+=，所以21t，因为2225at=+，所以a的最大值为5.8.答案：B【命题意图】本题主要考查两条直线的位置关系直线和圆的位置关系等知识，考查数形结合思想，逻辑推理能力与运算求解的综合能力，体现解析几何的基本思想与基本方法.学科网（北京）股份有限公司【答案】B【解析】由于直线()1:130lkxykk+=R可化为：()13yk x=，即直线1l恒过定点()3,1A，同理直线()2:30lxkykk+=R恒过定点()3,1B

17、，又由于()110kk+=，则直线1l与2l垂直，故两直线的交点(),M x y在以AB为直径的圆上，即点(),M x y的轨迹方程为224xy+=（挖去点()3,1C）.由于圆心()0,0O到直线:0l xyb+=的距离2bd=，要使圆上恰有三个点到直线l的距离为 1，首先优弧存在两个点，只需保证劣弧上恰有 1 个点，则11dr=，即1,22bdb=.故选B.二二多选题：本题共多选题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错

18、的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.答案：AD【命题意图】本小题考查了在生物背景下的解三角形的应用.考查了学生的阅读和运算能力 解析：在OAB中，过O作ODAB交AB于3,120,60,2DAOBAODAD=，23ABAD=.故选项 A 正确.由于108AOC=，过O作OEAC交AC于,E O到AC的距离sin36sin36OEOA=.故选项B错误.由于O到AB的距离12OD=，不等于O到AC的距离sin36OE=，则O不是ABC的内切圆圆心.故选项 C 错误.由于54,60,66ABCBCACAB=，正切函数在()0,90随着角的增大而增大，所以tantantanABCBC

19、ACAB.故选项 D 正确.故选 AD.10.【答案】BCD【命题意图】本小题考查了三角函数的图象与性质，考查了数形结合，逻辑思维能力和运算能力.【解析】由于函数()yg x=的图像是由函数()()sinf xAx=+的图像平移得到，学科网（北京）股份有限公司 则()()()3,2,3sin 2,3sin 263ATf xxg xfxx=+=+=+，又函数()g x的图像关于点3,08M对称，则33133sin3sin084312g=+=+=，由于2，故12=，故选项 A 错误；由于函数()()3sin 2,3sin 2124f xxg xx=+，令2 22 2122kxk+，得函数()f x

20、的单调递增区间为57,2424kkk+Z，故选项 B 正确；由于()()3sin 2,0,0,242444h xgxxxx=+，则35242+，得正数的取值范围为5944，故选项 C 正确；由于函数()()3sin 23sin 23sin 23sin212412123yf xg xxxxx=+=+=+33 393 33sin 2sin 2cos 2sin 2cos 212212212212212xxxxx=+=+3 3sin23 3sin 212612xx=+=+，学科网（北京）股份有限公司 当524x=时，函数3 3sin 212yx=+有最大值，则524x=是函数()()yf xg x=+

21、的图像的一条对称轴，故选项 D 正确.故选 BCD.11.【命题意图】本题以抽象函数为背景，考查函数的奇偶性对称性周期性等基础知识，考查考生分析问题的能力和运用函数导数相关知识解决问题的能力.【答案】ABD【解析】由于()()11gxfx+=，则()()11,g xf xk x+=+用2x代替，得()3gx()1fxk=+，又()()312gxf x=+，则()()112fxkf x+=+，取0 x=，则2k=，()()11fxf x=+，则函数()f x的图像关于直线1x=对称，故选项 A 正确；由于函数()f x的图像关于点()3,0M对称，则()()60fxf x+=，又()()2fxf

22、 x=+，得()()620f xf x+=，即()()()()()()40,4,84f xf xf xf xf xf x+=+=+=+()()f xf x=，则 8 是函数()f x的一个周期，故选项 B 正确；由于()30f=，()()()10,5122fgf=，故选项 C 错误；由于()()()2020202420242ggf+=()()()20282044044fff+=+=，故选项 D 正确.故选 ABD.三三填空题填空题：本题共：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.答案：20,25,31abc=；或20,26,31abc=【命题意图】本小题考查了

23、方差的估算能力 解析：欲使,a b c方差最小，则a取10,20中的最大值20,c取(30,40中的最小值31,b取最接近 20 与 31 的算术平均数 25.5 的整数，故b取 25 或 26.13.【答案】1112ab+=【命题意图】本小题考查了正弦定理及面积的计算，考查了基本运算能力【解析】先求角C的大小：方法一（角化边）：由2 cos sinsin0cCBbC+=及正弦定理得，2cos0bcCbc+=，则1cos2C=.学科网（北京）股份有限公司 又0C，故23C=.方法二（边化角）：由2 cos sinsin0cCBbC+=及正弦定理得，2sin cos sinsin sin0CCB

24、BC+=，得1cos2C=.又0C时，()0fx，函数()f x在()0,+单调递减，()0,+是()f x的单调递减区间.当1a=时，()()01fxx，函数()f x在()0,+单调递减，()0,+是()f x的单调递减区间.当01a时，令()0fx=，解得2212(11),(11)xaxa=+，且当()10,xx时，()0fx；当()2,xx+时，()0fx.所以()f x的单调递减区间是()10,x和()2,x+，()f x的单调递增区间是()12,x x.当0a；当()3,xx+时，()0fx，即1ln0 xxx，故ln11xxx；当()1,x+时，()0f x，即1ln0 xxx，

25、故ln11xxx.综上可知，()ln111xxxx.学科网（北京）股份有限公司 若点,M A B不构成三角形，也满足4(420)MAMBttt+=.所以动点P的轨迹为椭圆，轨迹方程为2222143xytt+=.（2）由2222,1.43ykxmxytt=+=消去y并整理，得()22224384120kxkmxmt+=.因为直线ykxm=+与椭圆C有且只有一个公共点P.所以()()2222(8)4 434120kmkmt=+=，即2 222430k tmt+=，且0m.此时222 222222444443,43PPkmkmktktk tmtXykmmkmmmmt+=+=+.所以2243,kttPmm，由,4,ykxmxt=+=得()4,4Qtktm+.假设存在定点()00,H xy，使得以PQ为直径的圆恒过点H，则0HP HQ=.又()23000043,4,4kttHPxyHQtxktmymm=+.所以()()22000043440kttHP HQxtxyktmymm=+=.整理得()2222200000434430kttxtmkt yxytxtmm+=.对任意实数()0,m mk恒成立.所以00222000,0,430,xtyxytxt=+=，解得00,0.xty=故存在定点(),0H t，使得以PQ为直径的圆恒过点H.