2024届浙江Z20名校联盟（名校新高考研究联盟）高三第二次联考数学试题含答案.pdf

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1、 第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 Z20 名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024 届高三第二次联考届高三第二次联考 数学试题卷数学试题卷 注意事项：注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上答卷前，务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在

2、答题卡上，写在本试回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效卷上无效.3.请保持答题卡的整洁请保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第第 I 卷卷 一一 单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1.若集合2,0,2,22MNxx=，若存在()00,x 使()012f x=成立，则的取值范围是_.16.已知函数()2212exf xx=+，()2lng xmx=，若关于x的不等式

3、()()f xxg x有解，则m的最小值是_.四四 解答题：本题共解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.记等差数列 na的前n项和为nS，等比数列 nb的前n项和为nT，且()()22111,41,41nnnnabSaTb=+=+.（1）求数列 ,nnab的通项公式；（2）求数列nnab的前n项和.18.如图，已知三棱锥,PABC PB平面,PAC PAPC PAPBPC=，点O是点P在平面ABC内的射影，点Q在棱PA上，且满足3AQPQ=.

4、（1）求证：BCOQ；（2）求OQ与平面BCQ所成角的正弦值.19.在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，2 7 cos sincos20bABaBa+=.（1）求tanA值；（2）若2a=，点M是AB的中点，且1CM=，求ABC的面积.20.已知双曲线2222:1xyCab=的左右焦点分别为12,F F，点()1,2P 在C的渐近线上，且满足12PFPF.（1）求C的方程；的 第5页/共5页 学科网（北京）股份有限公司（2）点Q为C的左顶点，过P的直线l交C于,A B两点，直线AQ与y轴交于点M，直线BQ与y轴交于点N，证明：线段MN的中点为定点.21.某商场推出购物抽奖促销

5、活动，活动规则如下：顾客在商场内消费每满 100元，可获得 1张抽奖券；顾客进行一次抽奖需消耗 1张抽奖券，抽奖规则为：从放有 5个白球，1 个红球的盒子中，随机摸取 1个球（每个球被摸到的可能性相同），若摸到白球，则没有中奖，若摸到红球，则可获得 1份礼品，并得到一次额外抽奖机会（额外抽奖机会不消耗抽奖券，抽奖规则不变）；每位顾客获得的礼品数不超过 3份，若获得的礼品数满 3份，则不可继续抽奖；（1）顾客甲通过在商场内消费获得了 2张抽奖券，求他通过抽奖至少获得 1份礼品概率；（2）顾客乙累计消耗 3 张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满 3份，则他在消耗第 2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率

6、是多少？（3）设顾客在消耗X张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满 3份，要获得X张抽奖券，至少要在商场中消费满Y元，求()(),E XD Y的值.（重复进行某个伯努利试验，且每次试验的成功概率均为p.随机变量表示当恰好出现r次失败时已经成功的试验次数.则服从参数为r和p的负二项分布.记作(),NB r p.它的均值()1prEp=，方差()2.(1)prDp=）22.已知函数()esincos1,0,2xf xxaxxx=+，（1）当1a=时，求函数()f x的值域；（2）若函数()0f x 恒成立，求a的取值范围.的 第1页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 Z20 名校联盟（浙江省名校新高考

7、研究联盟）名校联盟（浙江省名校新高考研究联盟）2024 届高三第二次联考届高三第二次联考 数学试题卷数学试题卷 注意事项：注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上答卷前，务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效卷上无效.

8、3.请保持答题卡的整洁请保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第第 I 卷卷 一一 单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1.若集合2,0,2,22MNxx=，则MN=（）A.2,0,2 B.2,0 C.0,2 D.0【答案】C【解析】【分析】求出对应集合，再利用交集的定义求解即可.【详解】令22x，解得22x，则22Nxx=，故MN=0,2，故选：C 2.已知12i+是关于x的实系数

9、一元二次方程220 xxm+=的一个根，则m=（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】利用复数相等可求参数的值.【详解】因为12i+是关于x的实系数一元二次方程220 xxm+=的一个根，所以()()2012i12i2m+=，整理得到:50m=即5m=，故选：D.第2页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 3.已知向量()()1,1,2,0ab=，向量a在向量b上的投影向量c=（）A.()2,0 B.()2,0 C.()1,0 D.()1,0【答案】C【解析】【分析】利用平面向量投影向量的定义求解.【详解】解：因为向量()()1,1,2,0ab=，所以向量a在向量b上的投

10、影向量()21,0a bcbb=，故选：C 4.已知直线0 xmy=交圆22:(3)(1)4Cxy+=于,A B两点，设甲：0m=，乙：60ACB=，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】A【解析】【分析】结合直线和圆的位置关系，判断甲：0m=和乙：60ACB=之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】圆22:(3)(1)4Cxy+=的圆心为(3,1)，半径为2r=，当0m=时，直线0 x=，则(3,1)到直线0 x=的距离为3，此时|2 432AB=，而|2CACB=，即ACB为正三

11、角形，故60ACB=；当60ACB=时，ACB为正三角形，则 C到AB的距离为sin603dr=，即圆心 C 到直线0 xmy=距离为23|31dmm=+=，解得0m=或3m=，即当60ACB=时，不一定推出0m=，第3页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 故甲是乙的充分条件但不是必要条件，故选：A 5.已知数列 na满足()()()2*1123214832,1nnnanannnna=+=N，则na=（）A.22n B.22nn C.21n D.2(21)n【答案】B【解析】【分析】根据递推关系可证明21nan为等差数列，即可求解.【详解】()()()()212321483=2123nnn

12、anannnn=+，所以112123nnaann=，111a=，所以21nan为等差数列，且公差为 1，首项为 1，故1+121nannn=，即()2212nannnn=，故选：B 6.函数()()2ln 21f xxxx=+的单调递增区间是（）A.()0,1 B.1,12 C.12 12,22+D.1 12,22+【答案】D【解析】【分析】求出函数的定义域与导函数，再令 0fx，解得即可.【详解】函数()()2ln 21f xxxx=+的定义域为1,2+，且()()()()2221221221221212121xxxfxxxxx+=+=，令 0fx，解得11222x+，若存在()00,x 使

13、()012f x=成立，则的取值范围是_.【答案】4(,)3+【解析】【分析】根据题意确定()0,x时，(,)666x，结合正弦函数的图象和性质找到当6x，当()0,x时，(,)666x，根据正弦函数sinyx=的性质可知当6x 时，离6最近且使得1sin2x=的 x值为76,故存在()00,x，使()012f x=成立，需满足74，第12页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 即的取值范围为4(,)3+，故答案为：4(,)3+16.已知函数()2212exf xx=+，()2lng xmx=，若关于x的不等式()()f xxg x有解，则m的最小值是_.【答案】12#0.5【解析】【分析】

14、参变分离可得()2ln2e2lnxxmxx 有解，令2lntxx=，()etg tt=，利用导数求出()ming t，即可求出参数的取值范围，从而得解.【详解】由()()f xxg x得()22122lnexxxmx+，显然0 x，所以()2ln2122lne2lnexxxmxxxxx+=有解，令2lntxx=，则tR，令()etg tt=，则()e1tg t=，所以当0t 时()0g t时()0g t，所以()g t在(),0上单调递减，在()0,+上单调递增，所以()()min01g tg=，即()2lne2ln1xxxx，所以21m，则12m，即m最小值是12.故答案为：12【点睛】关键

15、点点睛：本题的关键是参变分离得到()2ln2e2lnxxmxx 有解，再构造函数，利用导数求出()2lnmine2lnxxxx.四四 解答题：本题共解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.记等差数列 na的前n项和为nS，等比数列 nb的前n项和为nT，且()()22111,41,41nnnnabSaTb=+=+.的 第13页/共22页 学科网（北京）股份有限公司（1）求数列 ,nnab的通项公式；（2）求数列nnab的前n项和.【答案】17.

16、21nan=，1(1)nnb=18.()11nn【解析】【分析】（1）根据()()()22*11444112,NnnnnnaSSaann=+得到na和1na的关系式，同理得到nb和1nb的关系式，根据na是等比数列和 nb是等比数列求出na和nb的通项；（2）令()1(1)21nnnncabn=，对n分偶数和奇数讨论即可.【小问 1 详解】()()()22*11444112,NnnnnnaSSaann=+得：()()1120nnnnaaaa+=，10nnaa+=或12nnaa=，同理：10nnbb+=或12nnbb=，na是等差数列，12221nnnaadan=，nb是等比数列1101(1)n

17、nnnbbqb+=；【小问 2 详解】令()1(1)21nnnncabn=，其前n项和为nH，当n为偶数时，()()()()1234561nnnHcccccccc=+()()()()()1 3579 112321nnn=+=当n为奇数时，()111(1)21nnnnHHcnnn+=+=.综上所述，1(1)nnHn=.18.如图，已知三棱锥,PABC PB平面,PAC PAPC PAPBPC=，点O是点P在平面ABC内的射影，点Q在棱PA上，且满足3AQPQ=.第14页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：BCOQ；（2）求OQ与平面BCQ所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；

18、（2）2 6633【解析】【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系Pxyz，先判断ABC是正三角形，再求点O的坐标，进而利用向量的垂直关系即可证明BCOQ；（2）先求平面BCQ的法向量，再利用向量法即可求解.【小问 1 详解】连结PO，PB 平面,PAC PA PC 平面,PACPBPA PBPC，又PAPCPA PB PC两两垂直，以P为原点，PA为x轴，PC为y轴，PB为z轴建立空间直角坐标系Pxyz，如下图所示：不妨设4PA=，可得()()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,0,0,4,1,0,0PACBQ，()()4,0,4,4,4,0ABACC=.4 2ABBCCA=，

19、所以ABC是正三角形，第15页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 点O为正三角形ABC的中心，所以()()2118 4 48,4,4,3233 3 3AOABAC=+=，()8 4 44 4 44,0,0,3 3 33 3 3POPAAO=+=+=,所以4 4 4,3 3 3O.1 4 4,3 3 3QO=，又()0,4,4BC=，0QO BCBCOQ=.【小问 2 详解】()()0,4,4,1,4,0BCQC=，1 4 4,3 3 3QO=，222144333333QO=+=，设平面BCQ的一个法向量为(),nx y z=，由00n BCn QC=，得：44040yzxy=+=，则()2

20、221444,1,1,4,1,1,4113 2,4114333xyznnn QO=+=+=，设OQ与平面BCQ所成角为，则442 66sincos,3333663 23QO nQO nQO n=.故直线OQ与平面BCQ所成角的正弦值为2 6633.19.在ABC中，角,A B C所对边分别为,a b c，2 7 cos sincos20bABaBa+=.（1）求tanA的值；（2）若2a=，点M是AB的中点，且1CM=，求ABC的面积.【答案】（1）7；（2）74.【解析】【分析】（1）根据正弦定理和二倍角的余弦公式得tan7A=；的 第16页/共22页 学科网（北京）股份有限公司（2）根据同

21、角三角函数关系求出214cos,sin44AA=，再利用余弦定理求出,b c值，最后利用三角形面积公式即可.【小问 1 详解】2 7 cos sincos20bABaBa+=()22 7 cos sin1 cos22 sinbABaBaB=由正弦定理得：222 7cos sin2sin sinABAB=，()0,B，则sin0B，7cossinAA=，cos A不等于 0，tan7A=.【小问 2 详解】sintan7cosAAA=，()0,A，所以0,2A，联立22sincos1AA+=，214cos,sin44AA=，在ABC中，由余弦定理得：222222cos22bcabcAbcbc+=

22、在AMC中，由余弦定理得：222212222cos222ccbbAcbcb+=由=式得：22bc=故222232222cos,2,124222cbcAcbbcc+=，11147sin22244ABCSbcA=.20.已知双曲线2222:1xyCab=的左右焦点分别为12,F F，点()1,2P 在C的渐近线上，且满足12PFPF.第17页/共22页 学科网（北京）股份有限公司（1）求C的方程；（2）点Q为C的左顶点，过P的直线l交C于,A B两点，直线AQ与y轴交于点M，直线BQ与y轴交于点N，证明：线段MN的中点为定点.【答案】（1）2214yx=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根

23、据给定条件，借助向量垂直的坐标表示及双曲线渐近线方程求出,a b c即可得解.（2）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理及向量共线的坐标表示求出MN的中点纵坐标即可得解.【小问 1 详解】设()()12,0,0FcFc，()()121,2,1,2PFcPFc=+=+，由12PFPF，得212140PFPFc=+=，解得25c=，即225ab+=，而曲线2222:1xyCab=的渐近线方程为22220 xyab=，由点()1,2P 在C的渐近线上，得2222(1)20ab=，即224ba=，因此221,4ab=，所以C的方程为2214yx=.【小问 2 详解】由（1）知(1,0)Q，

24、设直线l为1122342(1),(,)(0,0)()(,)yk xA x yB xyMyNy=+，由()222144yk xxy=+=消去 y得：()()2222424480kxkk xkk+=，则221212222448,44kkkkxxx xkk+=，113(1,),(1,)QAxyQMy=+=，由,A Q M三点共线，得1311yyx=+，同理2421yyx=+，因此12341211yyyyxx+=+()()12211212121y xy xyyx xxx+=+第18页/共22页 学科网（北京）股份有限公司()()()()122112121222221kxkxkxkxkxkkxkx xx

25、x+=+()()()12121212222241kx xkxxkx xxx+=+()()()()()()()222222248222424448244kkkkkkkkkkkkk+=+1644=，所以MN的中点T为定点()0,2.21.某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：顾客在商场内消费每满 100元，可获得 1张抽奖券；顾客进行一次抽奖需消耗 1张抽奖券，抽奖规则为：从放有 5个白球，1 个红球的盒子中，随机摸取 1个球（每个球被摸到的可能性相同），若摸到白球，则没有中奖，若摸到红球，则可获得 1份礼品，并得到一次额外抽奖机会（额外抽奖机会不消耗抽奖券，抽奖规则不变）；每位顾客获得的礼品

26、数不超过 3份，若获得的礼品数满 3份，则不可继续抽奖；（1）顾客甲通过在商场内消费获得了 2张抽奖券，求他通过抽奖至少获得 1份礼品的概率；（2）顾客乙累计消耗 3 张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满 3份，则他在消耗第 2张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率是多少？（3）设顾客在消耗X张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满 3份，要获得X张抽奖券，至少要在商场中消费满Y元，求()(),E XD Y的值.（重复进行某个伯努利试验，且每次试验的成功概率均为p.随机变量表示当恰好出现r次失败时已经成功的试验次数.则服从参数为r和p的负二项分布.记作(),NB r p.它的均值()1prEp=，方差()2.(

27、1)prDp=）【答案】（1）1136；第19页/共22页 学科网（北京）股份有限公司（2）12；（3）()16E X=，()900000D Y=.【解析】【分析】（1）确定一次摸奖摸到白球的概率，根据对立事件的概率计算，即 可得答案；（2）分别求出顾客乙累计消耗 3 张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满 3份，以及顾客乙在消耗第 2 张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品的概率，根据条件概率的计算公式，即可求得答案；（3）由题意确定53,16rpX=，结合负二项分布的均值和方差公式，即可求得答案.【小问 1 详解】由题意可知一次摸奖摸到红球的概率为16，摸到白球的概率为56，故甲至少获得 1 份礼品的概率

28、551116636P=；【小问 2 详解】设A=“顾客乙累计消耗 3 张抽奖券抽奖后，获得的礼品数满 3 份”，B=“顾客乙在消耗第 2 张抽奖券抽奖的过程中，获得礼品”()2323244515125C666666P A=，()()()()232321435515175CC366666P ABP AP AB=，()()()4525167526P ABP B AP A=；【小问 3 详解】由题意可知53,16rpX=则()()()52111116116prE XE XEp=+=+=+=，()()()()21001001001000010000900000(1)prD YDXDDp=+=.第20页

29、/共22页 学科网（北京）股份有限公司 22.已知函数()esincos1,0,2xf xxaxxx=+，（1）当1a=时，求函数()f x的值域；（2）若函数()0f x 恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）20,e （2）2a 【解析】【分析】（1）求导()ecossincosesin00,2xxfxxxxxxxx=+=+，易得()f x在0,2x上单调递增求解；（2）方法一：()()esin1cosxfxaxxax=+分0a，01a，12a，由()min0f x求解；方法二：当0 x=时，()00f=成立，当2x=时，2e02f=成立，当0,2x时，转化为esin1cosxxaxx+恒

30、成立，由()minag x求解.【小问 1 详解】因为()esincos1xf xxxx=+，所以()ecossincosesin00,2xxfxxxxxxxx=+=+，()f x在0,2x上单调递增又()200,e2ff=，()f x的值域是20,e.【小问 2 详解】方法一：当0a 时，()esincos1sincos00,2xf xxaxxxaxxx=+在上恒成立，当01a，()f x在0,2x上单调递增，()()00f xf=成立.当2a 时，令()()ecossincosxg xfxxaxxax=+，则()()()e1 sinsincos0 xgxaxaxxx=+，所以()g x0,

31、2x上单调递增，即()fx在0,2x上单调递增，()2020,e022fafa=+，00,2x使得当()00,xx时()0fx，故()f x在()00,xx上单调递减，则()()000,f xf=不成立，当12a，所以()g x在0,2x上单调递增，即()fx在0,2上单调递增，()()020fxfa=，即()f x在0,2上递增，则()()00f xf=成立.综上所述，若函数()0f x 恒成立，则2a.方法二 当0 x=时，()00f=成立，当2x=时，2e02f=成立，当0,2x时，esin1cosxxaxx+恒成立，令()esin1cosxxg xxx+=，则min()ag x，在 第

32、22页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 又()esin1sine1coscosxxxxxxg xxxxx+=，令()()()()()221 coscossincossinsin,coscosxxxxxxxxxxh xh xxxxx+=，222sinsin coscosxxxxxxx+=，当0,2x时，sinxx，()()222222sin1 cossinsinsinsin cos0coscosxxxxxxxxxh xxxxx+=，()h x在0,2上单调递增.00sin1 coslimlim2coscossinxxxxxxxxxx+=，故()2h x，()esin12cosxxg xxx+=，又00esin1ecoslimlim2coscossinxxxxxxxxxxx+=，min()2g x，故2a.【点睛】方法点睛：对于()0,f xxD恒成立问题，法一：由()min0,f xxD求解；法二：转化为()g xa()(),g xaxD由()()()minmin,g xa g xaxD求解.