2021年中考数学复习讲义：第五章 轴对称 模型（二十）——婆罗摩笈多模型.doc

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1、第五章.轴对称模型（二十）婆罗摩笈多模型 模型讲解一、垂直 中点 【结论1】如图，ABC和DBE是等腰直角三角形，MN经过点B，若MNCE，则点N是AD的中点，SS，CE2BN. 【证明】如图，（知垂直得中点，一线三垂直） 如图，由知，SS ，SS，SSSSSSSSSSSSSS,即SS，得证.如图，由得，PNQN， CECMEMBPBQBNNPBNQN2BN，得证.二、中点 垂直 【结论2】如图，ABC和DBE是等腰直角三角形，点P是CE的中点，PB的延长线交AD于点Q，则PQAD，SS,AD=2BP 【证明】如图，（知中点得垂直，倍长中线） 如图，由知SSSSSSS,得证.如图，由知ADMB

2、2BP，得证。 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。这个定理有另一个名称，叫做“布拉美古塔定理”（又译卜拉美古塔定理”）。 拓展如图，AOB和COD是等腰直角三角形，MN过点O，若MNAD，则点M是BC的中点，SS，AD2OM.若M是BC的中点，则MNAD，SS，AD2OM. 拓展如图，AOB和COD是等腰三角形，AOBCOD=180，MN过点O.N在AD延长线上.若ANMAOB，则M是BC的中点，SS，AD2OM.若M是BC的中点，则ANMAOB，SS，AD2OM. 拓展如图，AOBCOD且AOBCOD=180，MN过点O. 若M是BC

3、的中点，则AD2OM，SS. 若N是AD的中点，则BC2ON，SS. 拓展如图，在AOB、COD中，且AOBCOD=180， 则SS. 典例秒杀 典例1 如图，AB=AE，ABAE，AD=AC，ADAC，点M为BC的中点，求证DE=2AM. 【解析】如图，延长 AM至点N，使 MN=AM，连接 BN.点 M为 BC 的中点，CM=BM.在AMC和NMB中，AM=MN, AMC=NMB, CM= BM,NMBAMC（SAS），AC=BN,C=NBM.ABAE，ADAC， EAB=DAC=90, EAD+BAC=180,ABN=ABC+C=180-BAC=EAD.在EAD和ABN中， AE=AB,

4、 EAD=ABN, AD= BN,EADABN（SAS）， DE=AN=2AM.典例2 定义：如图1，在ABC和ADE中，ABACADAE，当BACDAE180时，我们称 ABC与DAE互为“顶补等腰三角形”，ABC的边BC上的中线AM叫做ADE的“顶心距”.特例感知在图2、图3中，ABC与DAE互为“顶补等腰三角形”，AM， AN 分别是“顶心距”.如图2，当BAC=90时，AM与DE 之间的数量关系为AM=_DE;如图3，当BAC=120，BC=6时，AN的长为_.猜想论证在图1中，当BAC为任意角时，猜想AM与DE 之间的数量关系，并给予证明。拓展应用如图4，在四边形ABCD中，AD=A

5、B，CD=BC，B=90，A= 60，CD=2，在四边形ABCD的内部是否存在点P，使得PAD与PBC互为“顶补等腰三角形”?若存在，请给予证明，并求出PBC的“顶心距”的长;若不存在，请说明理由。 【解析】当BAC=90时，DAE=180-BAC=90.AB=AC=AD=AE,BC=DE.AM是 BC 边上的中线，AM=BC=DE.故AM与DE 之间的数量关系为AM=DE.当BAC=120时，DAE=180-BAC=60.AB=AC,BC=6,BM=BC=3,AMB=90,AB=BM=3=2. AD=AE=AB=2.又DAE=60,ADE是等边三角形.AN是ADE的边 DE 上的中线，AND

6、E， ANAD =23故 AN的长为 3. 当BAC为任意角时，AM与DE 之间的数量关系为 AM=DE.理由如下设BAC=，则DAE=180-BAC=180.AB=AC=AD=AE，AM，AN分别为ABC，ADE的中线，AMBC，BMCMBC,BAMBAC，ANDE.DNENDE，DANDAE90，D90DAN90(90）.AMABcosBAM=AB cos,DE2DN2ADcosD=2AD.cos,即AMDE , 故当BAC为任意角时，AM与DE 之间的数量关系为AMDE.存在.如图，连接AC，取AC的中点 P，连接PD，PB，作PAD 的中线PE，PBC的中线PF，则点P即为所求. 证明

7、AD=AB，CD=BC，AC=AC，ACDACB(SSS) .DACBACBAD30，ADCABC90，PDPAPCPB，APD=120,BPC=60，即 APDBPC=180 故在四边形 ABCD的内部存在点P，使得PAD与PBC互为“顶补等腰三角形”，PBC 的“顶心距”的长PECD1.典例3 已知AOB 和COD 均为等腰直角三角形，AOBCOD90.连接 AD，BC，点H为BC的中点，连接OH.（1）证明OHAD 且OHAD.（2）将COD绕点O旋转到图2、图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系? 选择一个图形并证明你的结论 【解析】（1）AOB 与COD 均为等腰直角三角形，A

8、OBCOD90, OCOD,OAOB.在AOD 与BOC中， OA=OB, AODBOC, OD=OC,AODBOC(SAS),OADOBC,BCAD.点 H为线段 BC 的中点，OHHBBCAD,OBHHOBOAD.又OADADO=90， ADOBOH=90,OHAD. (2)OHAD ,OHAD.如图1，延长 OH到点E，使得 HE=OH，连接 BE. 点 H是 BC 的中点，BHCH，在BEH 和COH中，EH=OH, BHE=CHO, BH=CH,BEHCOH(SAS), BE=CO,EBC=BCO,OBE=EBCOBCBCOOBC180BOC. AOBCOD90, AOD=180BO

9、COBE.又OB=OA，BEOCOD， BEOODA(SAS),OE=AD,OHOEAD.由BEOODA 知EOBDAO,DAOAOHEOBAOH90， OHAD.如图2，延长OH到点E，使得HEOH，连接 BE，延长EO交AD于点G.点H是BC的中点， BHCH,在BEH和COH中，HEOH, BHECHO,BHCH,BEHCOH(SAS), BECO,EBCBCO,OBEEBCOBCBCOOBC180BOC.AOBCOD=90, AOD180BOCOBE.又OBOA，BEOCOD， BEOODA(SAS),OEAD,OHOEAD.由BEOODA知EOBDAO,DAOAOGEOBAOG90,

10、 AGO=90，OHAD.小试牛刀1.（）如图，AD是ABC的中线，AEAB，AE AB，AFAC，AFAC，连接 EF.试猜想线段 AD与EF的关系，并证明. 2. (）我们定义如图1，在ABC中，把AB绕点A顺时针旋转(0180)得到 AB，把AC绕点A逆时针旋转得到 AC,连接BC.当=180时，我们称ABC是ABC的“旋补三角形”，ABC的边BC上的中线AD 叫做ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”. 特例感知在图2、图3中，ABC是ABC的“旋补三角形”，AD是ABC 的“旋补中线”.如图2，当ABC为等边三角形时，AD与 BC的数量关系为AD_BC;如图3，当BAC=90，B

11、C=8时，AD的长为_.猜想论证在图1中，当ABC为任意三角形时，猜想AD与 BC 的数量关系，并给予证明.如图4，在四边形 ABCD中，C=90，D=150，BC12，CD2,DA=6.在四边形内部是否存在点P，使PDC是PAB 的“旋补三角形”?若存在，给予证明，并求出PAB的“旋补中线”的长;若不存在，请说明理由.直击中考1.【感知】如图1，在四边形ABCD中，CD90,点E在边CD上，AEB90，求证 【探究】如图2，在四边形ABCD中，CADC=90，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，FEGAEB=90，且，连接 BG交CD于点H.求证BH=GH.【拓展】如图3，点E在四边形A

12、BCD 内，AEBDEC= 180，且，过E作 EF 交 AD 于点F，若EFAAEB，延长 FE交 BC于点G.求证BGCG. 2.以 RtABC的两边 AB，AC为边，向外作正方形 ABDE 和正方形ACFG，连接 EG，过点A作AMBC于点M，延长MA交EG于点N.（1） 如图1，若BAC90，AB=AC，求证EN=GN.（2） 如图 2，BAC=90;如图 3，BAC90，（1）中结论是否成立?若成立，选择一个图形进行证明;若不成立，写出你的结论，并说明理由. 婆罗摩笈多是一个非常重要的模型，主要强调的是两个等腰直角三角形的手拉手 ，知中点证垂直 ，知垂直证中点，涉及相对应的辅助线 ，

13、知中证垂可倍长 ，知垂证中一线三垂直，这是一个相对复杂的几何模型，需要左右两边同时去构造全等或相似.第五章.轴对称模型（二十）婆罗摩笈多模型答案：小试牛刀1.解析：猜想EF=2AD，EFAD.证明如图，延长 AD到点 M，使得 ADDM，连接MC，延长 DA交EF于点N. AD是ABC的中线， BDCD.在ABD和MCD中，ADDM, ADBMDC, BDCD,ABDMCD(SAS), ABMC,BADM.ABAE,AEMC.AEAB，AFAC，EABFAC90.FACBACEABEAF360,BACEAF180.CADMMCA180,CADBADMCA=180,即BACMCA=180，EAF

14、MCA.在AEF 和CMA中， AF=AC, EAFMCA, AECM,AEFCMA（SAS）， EFAM，CAMF，EF2AD.CAF90,CAMFAN90.又CAMF，FFAN90,ANF=90,EFAD. 2.解析（1）ABC是等边三角形，AB=BC=AC=AB=AC,BAC= 60.AD是ABC的“旋补中线”， DBDC, ADBC.BAC60,BACBAC180, BAC120,BC30,ADABBC.BAC90,BACBAC=180, BACBAC90.ABAB,ACAC, BACBAC(SAS), BCBC,BDDC,ADBCBC4.（2）猜想ADBC.理由如图，延长 AD 到点

15、 M，使得 ADDM，连接 BM，CM. BDDC,ADDM, 四边形 ACMB是平行四边形， ACBMAC.BACBAC180,BACABM180, BACABM.在BAC 和ABM 中，ABAB, BACABM, ACBM,BACABM(SAS), BCAM.ADAMBC（3）存在.理由如图，延长AD，BC交于点M，作BEAD于点E，作线段BC的垂直平分线交BE于点P，交BC于点F，连接 PA，PD，PC，作PCD的中线PN，连接 DF交PC于点O. ADC150, MDC30.在RtDCM中，CD2，DCM90,MDC30,CM2,DM4,M60在RtBEM中，BEM90BMBCCM14

16、,M60, MBE30,EMBM=7,DEEMDM3.又AD6，AEDE3.又BEAD， PAPD.PF垂直平分BC， PBPC.在RtCDF中，CD2，CF6,CDF60,ADF90=AEB,OFEB, CBECFD.又CBEPCF， CFDPCF.CFDCDF90, PCFCPF90， CPFCDF60.易证FCPCFD， CDPF.CDPF,四边形 CDPF是平行四边形.DCF90, CDP90.ADPADCCDP60, ADP是等边三角形，APD=60.BPFCPF60, BPC120,APDBPC180,PDC是PAB的“旋补三角形”在RtPDN中，PDN90，PDAD6,DN,PN

17、直击中考1.解析 【感知】CDAEB90,BECAEDAEDEAD90, BECEAD. RtAEDRtEBC,【探究】如图，过点G作GMCD于点M, 由（1）同理可知, 又，BCGM. 又CGMH 90，CHB MHG,BCHGMH(AAS), BHGH.【拓展】如图，在 EG上取点M，使BMEAFE，过点C作CNBM，交EG的延长线于点N，则NBMG. EAFAFEAEFAEFAEBBEM180,EFAAEB, EAFBEM， AEFEBM,.BMG BME180，EFA DFE180,BMEAFE,BMGEFD.又NBMG， NEFD.AEBEDC180,EFAEFD180,而EFAAE

18、B， CEDEFD.EFDEDFFEDFEDDECCEN180EDFCEN, DEFECN, 又，BMCN.又NBMG，BGMCGN， BGMCGN(AAS), BGCG.2.解析（1）BAC90，ABAC， ACB45.AMBC, MAC45, EANMAC45.同理NAG45， EANNAG.四边形ABDE 和四边形 ACFG 均为正方形，AE=AB=AC=AG,ENGN.（3） 当BAC90时，（1）中结论成立.理由如图，过点 E作EPAN，交AN的延长线于点P，过点G作GQAN，垂足为Q四边形ABDE是正方形， ABAE,BAE90,EAPBAM=1809090.AMBC，ABMBAM

19、90， ABMEAP.在ABM 和EAP 中，ABMEAP, AMBP90, ABAE,ABMEAP(AAS), EPAM.同理可得 GQAM， EPGQ.在EPN和GQN中， PNQG, ENPGNQ,EPGQ,EPNGQN（AAS）， ENNG.当BAC90时，（1）中结论成立.理由如图，过点E作EPAN，交AN的延长线于点P，过点G作GQAN于点Q四边形ABDE是正方形， ABAE,BAE90,EAPBAM=1809090. AMBC,ABMBAM90, ABMEAP.在ABM和EAP中，ABMEAP, AMBP90， AB=AE,ABMEAP(AAS),EPAM.同理可得 GQAM，EPGQ.在EPN 和GQN中， PNQG, ENPGNQ, EPGQ,EPNGQN(AAS),ENNG.