函数的极值与最大(小)值课件（1） 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

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1、5.3.2 函数的极值与函数的极值与最大最大(小小)值值函数的极值函数的极值xyO观察庐山连绵起伏的图片，思考庐山的山势有什么特点？观察庐山连绵起伏的图片，思考庐山的山势有什么特点？这是江西庐山群山叠嶂的景象。苏轼在题西林壁中这样写道：这是江西庐山群山叠嶂的景象。苏轼在题西林壁中这样写道：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，描述的就是庐山的高低起伏，描述的就是庐山的高低起伏，错落有致。在群山之中，错落有致。在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不是群山的最高处，各个山峰的顶端，虽然不是群山的最高处，但它却是其附近的最高点但它却是其附近的最高点。在数学上，这种现象如何来刻

2、画呢？在数学上，这种现象如何来刻画呢？单调单调性与性与导导数的关系：数的关系：设设函数函数y=f(x)在在区区间间(a,b)内内的的导导数数为为f(x).如果如果f(x)0，如果如果f(x)0，如果如果f(x)=0，复习复习:如果如果f(x)在在(a,b)内内为为增函数增函数，如果如果f(x)在在(a,b)内内为为减函数减函数，则则f(x)在在(a,b)内内为为单调递单调递增增；则则f(x)在在(a,b)内内为为单调递单调递减减；则则f(x)在在(a,b)内内为为常数函数常数函数；则则f(x)0在在(a,b)内内恒成立恒成立；则则f(x)0在在(a,b)内内恒成立恒成立.思考思考1 在用导数研

3、究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减数的增减.如果函数在如果函数在某些点的导数为某些点的导数为0，那么在这些，那么在这些点处函数有什么性质呢点处函数有什么性质呢?观察图观察图(1),我们发现我们发现,t=a时时,高台跳水运动员距水面的高度最大高台跳水运动员距水面的高度最大.那么那么,函函数数h(t)在此点的导数是多少呢在此点的导数是多少呢?此点附近的图象有什么特点此点附近的图象有什么特点?相应地相应地,导数的导数的符号有什么变化规律符号有什么变化规律?单调递增单调递增单调递减单调递减Otabhh(a)=0t0ta

4、,h(t)0放大放大t=a附近的图象附近的图象,如图如图(2)所示所示.单调递增单调递增单调递减单调递减Otabhh(a)=0t0ta,h(t)0放大放大t=a附近的图象附近的图象,如图如图(2)所示所示.由由图图可以看出可以看出,h(a)=0;在在t=a的左右的左右附近附近,当当t0;当当ta时时，函数，函数h(t)单调递单调递减减，h(t)0.这这就是就是说说，在，在t=a附近，函数附近，函数值值先增后减，先增后减，即当即当t在在a的附近从小到大的附近从小到大经过经过a时时，h(t)先正后先正后负负，且，且h(t)连续变连续变化化，于是有，于是有h(a)=0.思考思考2 对于一般的函数对于

5、一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢，是否也有同样的性质呢?问题问题2 对对于一般的函数于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢，是否也有同样的性质呢?追问追问1 如图，函数如图，函数y=f(x)在在x=a,b,c,d,e等点的函数值等点的函数值与与这些这些点附近点附近的函数的函数值值有什么关系？有什么关系？函数函数f(x)在在x=a的函数值的函数值比比它附它附近的函数值都近的函数值都小小.函数函数f(x)在在x=b的函数值的函数值比比它附它附近的函数值都近的函数值都大大.以以x=a,b两点两点为为例例问题问题2 对于一般的函数对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢，是

6、否也有同样的性质呢?以以x=a,b两点两点为为例例追问追问2：y=f(x)在这些点处的在这些点处的导数值导数值是多少？是多少？f(a)=0f(b)=0追问追问3 在这些点附近，函数在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负导数的正负有什么有什么规律规律？在在x=a附近附近左侧左侧f(x)0在在x=b附近附近左侧左侧f(x)0,右侧右侧f(x)0所以0不是函数 f(x)=x3的极值点.结论：若若 f(x0)=0，但，但 x0不一定是不一定是极值点。极值点。思考思考4 导数值为导数值为0的点一定是函数的极值点的点一定是函数的极值点吗吗?或者或者若若 f(x0)=0，则则 x0是否为极值点是否为极值点

7、?即即f(x)在在点点0的的左右两侧符号相同左右两侧符号相同，又因为又因为函数函数 f(x)=x3是增函数，是增函数，则则f(0)不是极值不是极值追问追问1 1 f(x0)=0是函数在是函数在x=x0处取得极值的什么条件？处取得极值的什么条件？问题问题4 4 若若 f(x0)=0，则，则 x0是否为极值点是否为极值点?x0是函数 f(x)的极值点 f(x0)=0 x0是函数 f(x)的极值点 x0左右两侧导数异号 f(x0)=0 结论：f(x0)=0 是可导函数在x0处取得极值的必要而不充分条件.x0左右侧导数异号左右侧导数异号f(x0)=0 x0为极值点为极值点1.函数的极值函数的极值 若函

8、数若函数y=f(x)在点在点x=a的的函数函数值值f(a)比它在比它在点点x=a附近其他点的函数附近其他点的函数值值都小都小,且在点且在点x=a附近的附近的左左侧侧f(x)0(单单增增),f(a)=0,我我们们把把a叫叫做函数做函数y=f(x)的的极小极小值值点点，f(a)叫做函叫做函数数y=f(x)的的极小极小值值.如如图图(1).若函数若函数y=f(x)在点在点x=b的的函数函数值值f(b)比它在比它在点点x=b附近其他点的函数附近其他点的函数值值都大都大,且在点且在点x=b附近的附近的左左侧侧f(x)0(单单增增),右右侧侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在

9、x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.x0 x0解：解：xf(x)f(x)课本课本P92解：解：x(,3)3(3,3)3(3,)f(x)f(x)课本课本P92解：解：x(,2)2(2,2)2(2,)f(x)f(x)课本课本P92解：解：x(,1)1(1,1)1(1,)f(x)f(x)课本课本P92求可导函数求可导函数f(x)极值的步骤：极值的步骤：(2)求导数求导数f(x)；(3)求方程求方程f(x)=0的的根；根；(4)把定义域划分为把定义域划分为部分区间，并列成表格部分区间，并列成表格：检查检查f(x)在方程根左右的符号在方程根左右的符号：如果如果左正右负左正右负（左增右减左增

10、右减），），那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极大大值；值；如果如果左负右正左负右正（左减右增左减右增），），那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极小小值；值；(1)确定函数的确定函数的定义域定义域；求导求导求临界点求临界点列表列表求极值求极值x(0,e)e(e,+)f(x)0f(x)当当 x 变化时，变化时，f(x)与与 f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：因此，因此，xe 是函数的极大值点，极大值为是函数的极大值点，极大值为 f(e)，没有极小值，没有极小值.令令 f(x)0，解得，解得 xe.解解：函数函数 的定义域为的定义域为(0,+)，且，且 .单调递增

11、单调递增单调递减单调递减变变式式1 函数函数 在在 处处有极值有极值10，则，则a，b的值为的值为()A.或或 B.或或 C.D.以上都不对以上都不对 A，通过验证，都通过验证，都符符合要求，故应选择合要求，故应选择A.变变式式2 已知已知f(x)x33ax2bxa2在在x1和和x=3时有极值，求时有极值，求a,b的值的值利用函数极值求解函数零点问题利用函数极值求解函数零点问题：例例题题 已已知知函函数数f(x)x33ax1(a0).若若函函数数f(x)在在x1处处取取得得极极值值，直直线线ym与与yf(x)的图象有三个不同的交点，求的图象有三个不同的交点，求m的取值范围的取值范围解解：f(x

12、)在在x1处取得极值且处取得极值且f(x)3x23a，f(1)3(1)23a0，解得解得a1.f(x)x33x1，f(x)3x23.由由f(x)0，可得，可得x1；由由f(x)0，可得，可得1x1.由由图象可知，图象可知，当当3m1时，时，直线直线ym与函数与函数yf(x)的图象有三个不同的交点的图象有三个不同的交点.m的取值范围是的取值范围是(3，1).f(x)极大值极大值f(1)1，f(x)极极小小值值 f(1)3.作出作出f(x)的大致图象及直线的大致图象及直线ym如图所示，如图所示，小结：小结：求可导函数求可导函数f(x)极值的步骤：极值的步骤：2.求导数求导数f(x)；3.求方程求方程f(x)=0的根；的根；4.把定义域划分为把定义域划分为部分区间，并列成表格部分区间，并列成表格：检查检查f(x)在方程根左右的符号在方程根左右的符号：如果如果左正右负左正右负（左增右减左增右减），），那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极大大值；值；如果如果左负右正左负右正（左减右增左减右增），），那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极小小值；值；1.确定函数的确定函数的定义域定义域；