2024届山东省青岛市高三一模考试数学试题含答案.pdf

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1、2024 年高三年级第一次适应性检测数学试题年高三年级第一次适应性检测数学试题2024.03本试卷共本试卷共 4 页，页，19 题，全卷满分题，全卷满分 150 分考试用时分考试用时 120 分钟注意事项：分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

2、本试卷上无效回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1等比数列 na中，21a=，58a=，则7a=（）A32B24C20D162在5(2)x+的展开式中，2x项的系数为（）A1B10C40D803

3、已知直线 a，b 和平面a，aa/，ba，则“/aa”是“/a b”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若2 sinbaB=，4bc=，则ABC 的面积为（）A1B3C2D2 352024 年 2 月 4 日，“龙行中华甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图 1）就是这样一件珍宝玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图 2）：8A

4、B cm，2AD cm，5AO cm，若3sin375，3.14p，则璜身（即曲边四边形 ABCD）面积近似为（）A26.8cmB29.8cmC1214.8cmD222.4cm2024届山东省青岛市高三一模考试数学试题6记正项等差数列 na的前 n 项和为nS，20100S=，则1011aa的最大值为（）A9B16C25D507x R，()(3)1()(3)f xf xf x f x+=-+，(1)0f-=，则(2024)f的值为（）A2B1C0D18 已 知(2,0)A-，(2,0)B，设 点 P 是 圆221xy+=上 的 点，若 动 点 Q 满 足：0QP PB=uuu r uuu r，

5、|QAQBQPQAQBl=+uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r，则 Q 的轨迹方程为（）A2213yx-=B2213xy-=C2215xy+=D22162xy+=二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分9袋子中有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件 A“取出的球的数字之积为奇数”，

6、事件 B“取出的球的数字之积为偶数”，事件 C“取出的球的数字之和为偶数”，则A事件 A 与 B 是互斥事件B事件 A 与 B 是对立事件C事件 B 与 C 是互斥事件D事件 B 与 C 相互独立10已知复数 z，下列说法正确的是（）A若0zz-=，则 z 为实数B若220zz+=，则0zz=C若|i|1z-=，则|z的最大值为 2D若|i|1zz-=+，则 z 为纯虚数11已知函数()cossin2xf xx=+，则（）A f x在区间0,6p单调递增B f x的图象关于直线xp=对称C f x的值域为90,8D关于 x 的方程()f xa=在区间0,2 p有实数根，则所有根之和组成的集合为

7、,2,4ppp三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 15 分。分。12已知集合1,0,1A=-，|2,By yx xA=，则ABU的所有元素之和为_13已知 O 为坐标原点，点 F 为椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点，点 A，B 在 C 上，AB 的中点为 F，OAOB，则 C 的离心率为_14已知球 O 的表面积为12p，正四面体 ABCD 的顶点 B，C，D 均在球 O 的表面上，球心 O 为BCD 的外心，棱 AB 与球面交于点 P若A平面1a，B平面2a，C平面3a，D平面4a，1/(1,2,3)iiiaa+=且ia与

8、1(1,2,3)iia+=之间的距离为同一定值，棱 AC，AD 分别与2a交于点 Q，R，则PQR 的周长为_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（13 分）为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动开学后，学校统计了高一年级共 1000 名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为 0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为 3：2：1（1）根据频率分布直方

9、图，估计高一年级 1000 名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于 60 分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取 6 名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的 3 名学生日均阅读时间处于80，100）的人数记为，求随机变量x的分布列与数学期望16（15 分）已知函数21()ln2f xxaxx=-+（1）若1a=，曲线()yf x=在点00(,()xf x处的切线斜率为 1，求该切线的方程；（2）讨论()f x的单调性17（15 分）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AA与1BB的距离为3，12AB

10、ACAB=，12 2ACBC=（1）证明：平面11A ABB 平面 ABC；（2）若点 N 在棱11AC上，求直线 AN 与平面11ABC所成角的正弦值的最大值18（17 分）已知 O 为坐标原点，点 W 为Oe：224xy+=和Me的公共点，0OM OW=uuuu r uuuu r，Me与直线20 x+=相切，记动点 M 的轨迹为 C（1）求 C 的方程；（2）若0nm，直线1:0lxym-=与 C 交于点 A，B，直线2:0lxyn-=与 C 交于点A，B，点A，A在第一象限，记直线AA与BB的交点为 G，直线AB与BA的交点为 H，线段 AB 的中点为 E（i）证明：G，E，H 三点共线

11、;（ii）若217mn+=，过点 H 作1l的平行线，分别交线段AA，AA于点 T，T，求四边形GTET面积的最大值19（17 分）记 集 合 *,nnSaan=N无穷数列中存在有限项不为零，对 任 意 naS，设 变 换 112nnnfaaa xa x-=+LL，xR定义运算：若 ,nnabS，则 nnabS，nnnnfabfafb=（1）若 nnnabm=，用12341234,a a a a b b b b表示4m；（2）证明：nnnnnnabcabc=；（3）若211,1100,10,100nnnan nn+=+，2031,1500,20,500nnnbn-=nnndab=，证明：200

12、12d恒成立，()(f x在0,+单调递增当0a 时，令2()1g xxax=-+，24aD=-（i）当0D 即02a即2a 时，224422aaaaxxfxx-+-=由()0fx得，2402aax-，由()0fx得，224422aaaax-+-时，f x在240,2aa-，24,2aa+-+单调递增；f x在2244,22aaaa-+-单调递减17（15 分）解：（1）取棱1A A中点 D，连接 BD，因为1ABAB=，所以1BDAA因为三棱柱111ABCABC-，所以11/AABB，所以1BDBB，所以3BD=因为2AB=，所以1AD=，12AA=；因为2AC=，12 2AC=，所以222

13、11ACAAAC+=，所以1ACAA，同理ACAB，因为1AAABA=I，且1AA，AB 平面11A ABB，所以AC 平面11A ABB，因为AC 平面 ABC，所以平面11A ABB 平面 ABC（2）取 AB 中点 O，连接1AO，取 BC 中点 P，连接 OP，则/OP AC，由（1）知AC 平面11A ABB，所以OP 平面11A ABB因为1AO平面11A ABB，AB 平面11A ABB，所以1OPAO，OPAB，因为11ABA AAB=，则1AOAB以 O 为坐标原点，OP，OB，1OA所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，则(0,1,0

14、)A-，1(0,0,3)A，1(0,2,3)B，(2,1,0)C-，设点(,0,3)N a，(02)a110,2,0AB=uuuu r，12,1,3AC=-uuur，1(,1,3)ANa=uuuu r，设面111ABC的法向量为(,)nx y z=r，得11100n ABn AC=r uuuu rr uuur，得20230yxyz=-=，取3x=，则0y=，2z=，所以(3,0,2)n=r设直线 AN 与平面11ABC所成角为q，则232sincos,74n ANan ANnANaq+=+r uuuruuurrruuur2222233444477aaaaa+=+若0a=，则21sin7q=，若

15、0a，则34442sin11437477aaq=+=+，当且仅当4aa=，即2a=时，等号成立，所以直线 AN 与平面1AMB所成角的正弦值的最大值42718（17 分）解：（1）设(,)M x y，切点为 N，则2222|MNMWOMOW=+，所以222|2|4xxy+=+=化简得24yx=，所以 C 的方程为：24yx=（2）（i）因为12/ll，所以可设GAGAl=uuu ruuur，GBGBl=uuu ruuur，又因为1()()22GEGAGBGAGBGFll=+=+=uuu ruuu ruuu ruuuruuuruuu r，所以 G，E，F 三点共线，同理，H，E，F 三点共线，所

16、以 G，E，H 三点共线（ii）设11(,)A x y，22(,)B xy，33(,)A xy，44(,)B xy，AB 中点为 E，A B 中点为 F，将xym=+代入24yx=得：2440yym-=，所以124yy+=，124y ym=-，所以1222Eyyy+=，同理2Fy=（,G E H F均在定直线2y=上）因为1/TTl，所以EAT 与EAH 面积相等，EBT与EBH 面积相等；所以四边形GTET面积等于四边形 GAHB 面积设(,2)GG x，(,2)HH x，直线131113:()yyAAyyxxxx-=-，即121122331444yyyyyyyx-=-整理得：直线13134

17、:xy yAAyyy+=+，又因为2Gy=，所以131342Gyyy yx+-=，同理，直线23234:xy yBAyyy+=+，2Hy=，所以23232()4Hyyy yx+-=所以341231232244GHyyyyyyyyGHxx+-=-=12348yyyy-=所以四边形 GAHB 面积2123412()|1|216yyyySGHyy-=-=2212123434()4416yyy yyyy y+-+-=(16 16)16 1616mn+=24(1)(1)mn=+22(1)142(22)162mnmmn+=+=当且仅当2(1)1mn+=+，即22226mmnnmm+=+=，即13mn=时取

18、等号，所以GAT 面积的最大值为 1619（17 分）解：（1）因为3341 42 33 24 1()m xaba ba ba b x=+，所以41 42 33 24 1maba ba ba b=+（2）因为()()()nnnnfabfafb=，所以()()()()()nnnnnnfafbfcfabfc=()nnnfabc又因为()()()()()()nnnnnnfafbfcfafbfc=()()nnnfafbc=()nnnfabc=所以()()nnnnnnfabf cfabf c=所以 nnnnnnabcabc=（3）对于,nnabS，因为111121212()()nnnnnnaa xa x

19、bb xb xdd xd x-+=+LLLLLL，所以1112111121()()()nnkn knnnknknnnd xa b xa xbxaxb xa xb-+-=+LL，所以12111 21nnnknknndaba ba baba b-+-=+LL所以11 nnnnknkkabda b+-=220010020010010020020120120120121110111(1)1(1)2kkkkkkkkkkkkkkkda ba ba ba bk k-+=+=+=+所以10020021121121kkdkk+=+-+10010021211111221 2kkkkkkk+=+-+102110212101 22=-