2024年高考数学大题--概率统计题型分类汇编含答案.pdf

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1、1概率统计概率统计概率统计是是高考数学的热点之一，概率统计大题是新高考卷及多省市高考数学的必考内容。回顾近几年的高考试题，主要考查古典概型、相互独立事件、条件概率、超几何分布、二项分布、正态分布、统计图表与数字特征、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差等内容，多与社会实际紧密结合，以现实生活为背景设置试题，注重知识的综合应用与实际应用。重点考察考生读取数据、分析数据和处理数据的能力。题型一：离散型随机变量及其分布列题型二：超几何分布与二项分布题型三：均值与方差的实际应用题型四：正态分布与标准正态分布题型五：线性回归与非线性回归题型六：独立性检验及应用题型七：条件概率/全概率公式/贝叶斯

2、公式题型八：概率与统计图表的综合应用题型九：概率与其他知识的交汇应用题型十：利用概率解决决策类问题2024年高考数学大题-概率统计题型分类汇编2题型一：离散型随机变量及其分布列题型一：离散型随机变量及其分布列1 1(2023广东肇庆高三广东肇庆中学校考阶段练习)为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：奖项组别个人赛团体赛获奖一等奖二等奖三等奖高一20206050高二162910550(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得

3、一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；(2)从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中团体赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望；求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：(1)根据题中条件确定随机变量的可能取值；(2)求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；(3)根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望(在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算。)1(2024四川成都成都七中模拟预测)甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取七局四胜制已知甲每局比赛获胜的概率为23，输掉的概率为13，每局的比赛结果互不影

4、响(1)求甲最终获胜的概率；(2)记总共的比赛局数为X，求X的分布列与数学期望32(2024云南德宏高三统考期末)设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的4个球，其中甲箱有2个蓝球和2个黑球，乙箱有3个红球和1个白球，丙箱有2个红球和2个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量

5、X表示最后摸出的2个球的分数之和，求X的分布列及数学期望.题型二：超几何分布与二项分布题型二：超几何分布与二项分布2 2(2024广东广州广州市培正中学校考二模)某校高二(1)班的元旦联欢会设计了一项抽奖游戏：准备了10张相同的卡片，其中只在6张卡片上印有“奖”字.(1)采取放回抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求抽到印有“奖”字卡片张数X的分布列、数学期望及方差；(2)采取不放回抽样方式，从中依次抽取3张卡片，求第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率.41、独立重复试验与二项分布(1)定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是

6、二项分布的本质特征判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1-p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数(2)定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率(3)列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列(4)求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值相关公式：已知XB(n，p)，则P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k(k=0,1,2，n)，E(X)=np，D(X)=np(1-p)2、超几何分布的适用范围及本质(1)适用范围：

7、考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个题，考察某一类个题个数的概率分布；(2)本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的。3、超几何分布与二项分布的区别(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；(2)超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的，而二项分布是“有放回”的抽取(独立重复)，在每次试验中某一事件发生的概率是相同点。1(2024全国校联考模拟预测)“男男女女向前冲”是一项热播的闯关类电视节目该节目一共设置了四关，由以往的数据得，男生闯过一至四关的概率依次是56,45,34,23，女生闯过一至四关的概率依

8、次是45,34,23,12男生甲、乙，女生丙、丁四人小组前往参加闯关挑战(个人赛)(1)求甲闯过四关的概率；(2)设随机变量X为该四人小组闯过四关的人数，求E X52(2024浙江绍兴高三统考期末)临近新年，某水果店购入A，B，C三种水果，数量分别是36箱，27箱，18箱.现采用分层抽样的方法抽取9箱，进行质量检查.(1)应从A，B，C三种水果各抽多少箱?(2)若抽出的9箱水果中，有5箱质量上乘，4箱质量一般，现从这9箱水果中随机抽出4箱送有关部门检测.用X表示抽取的4箱中质量一般的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望；设A为事件“抽取的4箱水果中，既有质量上乘的，也有质量一般的水果”，求事件

9、A发生的概率.题型三：均值与方差的实际应用题型三：均值与方差的实际应用1 1(2024广东惠州一中校联考模拟预测)某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业.该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用.已知在单位时间内，甲、乙两种类型无人运输机操作成功的概率分别为34和12，假设每次操作能否成功相互独立.(1)随机选择两种无人运输机中的一种，求选中的无人运输机操作成功的概率；(2)操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型设

10、备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作；方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作.假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值.6利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出科学的决策，其中随机变量X的均值的意义在于描述随机变量的平均程度，而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况，品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关。1、若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量X1，X2的均值。当E(X1)=E(X2)时，不应误认为它

11、们一样好，还需要用D(X1)，D(X2)来比较这两个随机变量的偏离程度。2、若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近。1(2024山西吕梁统考一模)吕梁市举办中式厨师技能大赛，大赛分初赛和决赛，初赛共进行3轮比赛，每轮比赛结果互不影响比赛规则如下：每一轮比赛，参赛选手要在规定的时间和范围内，制作中式面点和中式热菜各2道，若有不少于3道得到评委认可，将获得一张通关卡，3轮比赛中，至少获得2张通关卡的选手将进入决赛为能进入决赛，小李赛前在师傅的指导下多次进行训练，师傅从小李训练中所做的菜品中随机抽取了中式面点和中式热菜各4道，其中有3道中式面点和2道中式热菜得到认可(1)若从

12、小李训练中所抽取的8道菜品中，随机抽取中式面点、中式热菜各2道，由此来估计小李在一轮比赛中的通关情况，试预测小李在一轮比赛中通关的概率；(2)若以小李训练中所抽取的8道菜品中两类菜品各自被师傅认可的频率作为该类菜品被评委认可的概率，经师傅对小李进行强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率不变，每道中式热菜被评委认可的概率增加了16，以获得通关卡次数的期望作为判断依据，试预测小李能否进入决赛？72(2024广东深圳高三红岭中学校考阶段练习)从2023年起，云南省高考数学试卷中增加了多项选择题(第9-12题是四道多选题，每题有四个选项，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分).在某次模

13、拟考试中，每道多项选题的正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为1-p(其中0p1).现甲乙两名学生独立解题.(1)假设每道题甲全部选对的概率为12，部分选对的概率为14，有选错的概率为14；乙全部选对的概率为16，部分选对的概率为12，有选错的概率为13，求这四道多选题中甲比乙多得13分的概率；(2)对于第12题，甲同学只能正确地判断出其中的一个选项是符合题意的，乙同学只能正确地判断出其中的一个选项是不符合题意的，作答时，应选择几个选项才有希望得到更理想的成绩，请你帮助甲或者乙做出决策(只需选择帮助一人做出决策即可).题型四：正态分布与标准正态分布题型四：正态分布与标准正态分

14、布1 1(2024广东湛江高三统考期末)已知某公司生产的风干牛肉干是按包销售的，每包牛肉干的质量 M(单位：g)服从正态分布N 250,2，且P(M320，求K的最小值.8关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(-X+)，P(-2X+2)，P(-3X+3)的值(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1：正态曲线关于直线x=对称，从而在关于x=对称的区间上概率相等；P(Xa)=1-P(Xa)，P(X-a)=P(X+a)1(2024江苏常州高三统考期末)某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布N 6,2，其中恰有114根金属棒长度不小于6.04(1)求；(2)如

15、果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是(5.95，6.05)，那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多少根？说明：对任何一个正态分布XN,2来说，通过Z=X1-转化为标准正态分布ZN(0,1)，从而查标准正态分布表得到P XX1=Z可供查阅的(部分)标准正态分布表 ZZ1.11.21.31.41.51.61.71.81.9 Z0.86430.88490.90320.91920.93320.94520.95540.96410.9713Z2.02.12.22.32.42.52.62.72.8 Z0.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.9974

16、92(2024全国一模)正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累积分布函数为F(x)=P(Xx)已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立(1)已知电源电压X(单位：V)服从正态分布N(40,4)，且X的累积分布函数为F(x)，求F(44)-F(38)；(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间已知随机变量T(单位：天)表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为G t=0,tt20，证明：P(T

17、t1|Tt2)=P(Tt1-t2)；()若第n天元件A发生故障，求第n+1天系统正常运行的概率附：若随机变量Y服从正态分布N(,2)，则P(|Y-|)=0.6827，P(|Y-|2)=0.9545，P(|Y-|3.841时有95%的把握认为两变量有关联独立性检验的一般方法(1)根据题目信息，完善列联表；(2)提出零假设：假设两个变量相互独立，并给出在问题中的解释。(3)根据列联表中的数据及计算公式2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)求出2的值；(4)当2x时，我们就推断H0不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过；当20，称P(B|A)=P(AB)P(A)为

18、在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率2、全概率公式：P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)；3、贝 叶 斯 公 式：一 般 地，当0 P(A)0时，有PAB=P(A)P(B|A)P(B)=P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)171(2024江西南昌南昌二中校联考模拟预测)现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产这三个工厂生产该类产品的合格率依次是0.8，0.9，0.7现从这10个球中任取1个球，设事件B为“取得的球是合格品”，事件A1,A2,A3分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”(1)求P(Ai),i

19、=1,2,3；(2)求P(B)2(2024云南楚雄楚雄彝族自治州民族中学模拟预测)全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村BA”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表.甲球员是否上场球队的胜负情况合计胜负上场4045未上场3合计42(1)完成22列联表，并判断依据小概率值=0.01的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关；(2)由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.

20、2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6.(i)当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率；(ii)当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率.(精确到0.01)附：2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d.0.150.100.050.0250.0100.001x2.0722.7063.8415.0246.63510.82818题型八：概率与统计图表的综合应用题型八：概率与统计图表的综合应用1 1(2024四川校联考模拟预测)在某果园的苗圃进行果苗病虫害调查，随机调查了 200棵受到某病虫害的果苗，并测量其高度h(

21、单位：cm)，得到如下的样本数据的频率分布直方图.(1)估计该苗圃受到这种病虫害的果苗的平均高度(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)估计该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗高度位于区间 30,45的概率；(3)已知该苗圃的果苗受到这种病虫害的概率为3%，果苗高度位于区间 40,50的棵数占该果苗总棵数的20%.从该苗圃中任选一棵高度位于区间 40,50的果苗，求该棵果苗受到这种病虫害的概率(以样本数据中受到病虫害果苗的高度位于各区间的频率作为受到病虫害果苗的高度位于该区间的概率).1、概率与统计图表的综合应用题关键点：(1)从题目条件或统计图表给出的信息，提炼出所需要的信息；(2)进行

22、概率与统计的正确计算；此类问题中的概率大多是古典概型、条件概率，求解时注意运用对立事件的概率。2、频率分布直方图(1)频率、频数、样本容量的计算方法频率组距组距=频率频数样本容量=频率，频数频率=样本容量，样本容量频率=频数频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于1(2)频率分布直方图中数字特征的计算最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的设中位数为x，利用x左(右)侧矩形面积之和等于0.5，即可求出x平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有x=x1p1+x1p1+xnpn，其中xn为

23、每个小长方形底边的中点，pn为每个小长方形的面积191(2024广东深圳高三深圳中学校考开学考试)某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传11月4日至11月10日的步凝.启息.教师甲、乙这七天的步数情况如图1所示.(1)从11月4日至11月10日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率；(2)从11月4日至11月10日中随机选取三天，记乙的步数不少于20000的天数内X，求X的分布列及数学期望；202(2024北京海淀高三101中学校考开学考试)“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一

24、周参加课后活动的时间(单位：小时)，分别位于区间7,9),9,11),11,13),13,15),15,17),17,19，用频率分布直方图表示如下：假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间 13,17的概率；(2)从全校学生中随机选取3人，记表示这3人一周参加课后活动的时间在区间 15,17的人数，求的分布列和数学期望E；(3)设全校学生一周参加课后活动的时间的中位数估计值为a平均数的估计值为b(计算平均数时，同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替)，请直接写出a,b的大小关系21题型九：概率与其他知识的交汇应用题型九：概率与

25、其他知识的交汇应用1 1(2023上河南驻马店高三统考期末)一枚质地均匀的小正四面体，其中两个面标有数字1，两个面标有数字2.现将此正四面体任意抛掷n次，落于水平的桌面，记n次底面的数字之和为Xn.(1)当n=2时，记Y为X2被3整除的余数，求Y的分布列与期望；(2)求Xn能被3整除的概率Pn.概率统计常与排列组合、函数、数列等知识交汇考查。求解此类问题要充分理解题意，根据题中已知条件，联系所学知识对已知条件进行转化。这类问题的命题方向总的来说有两大类：1、所给问题是以集合、函数、立体几何、数列、向量等知识为载体的概率问题，求解时需要利用相关知识把所给问题转化为概率模型，然后利用概率知识求解；

26、2、所给问题是概率问题，求解时有时需要把所求概率转化为某一变量的该函数，然后利用函数、导数知识进行求解；或者把问题转化为与概率变量有关的数列递推关系，再通过构造特殊数列求通项或求和。1(2024山东威海高三统考期末)甲、乙、丙3人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余2人之一，设Pn表示经过n次传递后球传到乙手中的概率.(1)求P1，P2；(2)证明：Pn-13 是等比数列，并求Pn；(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi，i=1,2,n,则Eni=1Xi=ni=1qi记前n次(即从第1次到第n次传球)中球传到乙手中的次数为Y，

27、求E(Y)222(2024全国校联考模拟预测)公元1651年，一个问题引发了数学家德梅赫、帕斯卡、费马和惠更斯等人的讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢k(k1,kN*)局，谁便赢得全部赌注a元每局甲赢的概率为p(0p1)，乙赢的概率为1-p，且每局赌博相互独立在甲赢了m(mk)局，乙赢了n(nPB，各人能否完成任务相互独立.试分析以怎样的顺序派出选手，可使所需派出选手的人员数目的数学期望达到最小.23决策问题的解决策略：决策的工具是有关概率，决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)作为最佳方案，可能需要借助函数的性质去实现。1(202

28、4浙江高三镇海中学校联考开学考试)甲乙丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：每场比赛胜者积2分，负者积0分；比赛前根据相关规则决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空；积分首先累计到4分者获得比赛胜利，比赛结束.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为p1，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为p2，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为p3.(1)若p1=p2=p3=0.5，求比赛结束时，三人总积分X的分布列与期望；(2)若p1+p31，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略.2(2022河北校联考模拟预测)近年来，新能源汽车产业大规模

29、发展，某汽车产品自生产并投入市场以来，受到多位消费者质疑其电池产品质量，汽车厂家提供甲乙两家第三方检测机构对产品进行质量检测，邀请多位车主进行选择，每位车主只能挑选一家.若选择甲机构记1分，若选择乙机构记2分，每位车主选择两个机构的概率相等，且相互独立.(1)若参加的车主有3人，记总得分为X，求X的分布列与数学期望；(2)对所有车主选择的结果进行调查,记总得分恰好为n分的概率为an,求数列 an的通项公式；(3)在(2)的条件下，汽车厂商决定总得分为99分或100分时就停止计分，若总得为99分就选甲机构，总得分为100分就选乙机构，请分析这种方案是否合理.241(2024江苏南通高三统考期末)

30、袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验(1)若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值；(2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值2(2024广东广州广州六中校考一模)某电商专门生产某种电子元件，生产的电子元件除编号外，其余外观完全相同，为了检测元件是否合格，质检员设计了图甲、乙两种电路.(1)在设备调试初期，已知该电商试生产了一批电子元件共5个，只有2个合格，质检员从这批元件中随机抽取2个安装在甲图电路中的A，B处，请用集合的形式写出试验的样本空间，并求小灯泡发亮的概率；(2)通过设备调试和技术升级后，已知该电商生产的电子元件合格

31、率为0.9，且在生产过程中每个电子元件是否合格互不影响，质检员从该电商生产的一批电子元件中随机抽取3个安装在乙图电路中的A，B，C处，求小灯泡发亮的概率.253(2024山东日照统考一模)随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为80%；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为30%假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%(1)求一个问题能被软件正确应答的概率；(2)在某次测试中，输入了n(n6

32、)个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，X=k(k=0,1,n)的概率记为P X=k，则n为何值时，P X=6的值最大？4(2024浙江杭州高三浙江省杭州第二中学校考开学考试)“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.(1)若数学组的7名学员中恰有3人来自A中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自A中学的人数，求的分布列和数学期望；(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识

33、竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为p1，p2.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当p1+p2=43时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.265(2024江苏镇江高三扬中市第二高级中学开学考试)为考察药物M对预防疾病A以及药物N对治疗疾病A的效果，科研团队进行了大量动物对照试验根据100个简单随机样本的数据，得到如下列联表：(单位：只)药物M疾病A未患病患病合计未服用301545服用451055合计7525100(1)依据=0.1的独立性检验，分析药物M

34、对预防疾病A的有效性；(2)用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物N进行治疗已知药物N的治愈率如下：对未服用过药物M的动物治愈率为12，对服用过药物M的动物治愈率为34若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X，求X的分布列和数学期望附：2=n ad-bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d.0.1000.0500.0100.001x2.7063.8416.63510.828276(2024陕西西安统考一模)某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生

35、参加复赛已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布直方图如图：(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望；(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N,2，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替)，且2=362，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？附：若ZN,2，则P(-Z+)0.6827，P

36、(-2Z+2)0.9545，P(-3Z+3)0.9973；362 19287(2024安徽高三合肥一中校联考阶段练习)某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据=0.100的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？性别就餐区域合计南区北区男331043女38745合计711788(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐

37、厅的概率分别为13，23；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为14，14，12()求第2天他去乙餐厅用餐的概率；()求第n nN N*天他去甲餐厅用餐的概率pn附：2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d；0.1000.0500.0250.010 x2.7063.8415.0246.635298(2022全国高三专题练习)某种产品2014年到2018年的年投资金额x(万元)与年利润y(万元)的数据统计如下，由散点图知，y与x之间的关系可以用线性回归模型拟合，已知5年利润的平均值是4.7年份201420

38、15201620172018年投资金额x(万元)12345年利润y(万元)2.42.7t6.47.9(1)求表中实数t的值；(2)求y关于x的线性回归方程y=bx+a参考公式：回归直线方程y=bx+a中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=ni=1xi-xyi-yni=1xi-x2，a=y-bx9(2024海南高三校考阶段练习)红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径xi(单位：厘米)，如下表：i123456789101112xi28.727.23

39、1.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5计算得：12i=1xi=360,12i=1x2i=10992.(1)求这12棵红松树的树干直径的样本均值与样本方差s2.(2)假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.记事件A：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间22,38.用(1)中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求P A；护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布N 30,82.在这个条件下，求P A，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.参考公式：若YN,

40、2，则P Y-0.6827,P Y-20.9545,P Y-30.9973.参考数据：0.6827120.01,0.9545120.57,0.9973120.97.3010(2024山东淄博高三统考期末)第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，根据以往甲、乙两名运动员对阵的比赛数据可知，若甲发球，甲得分的概率为35，乙得分的概率为25；若乙发球，乙得分

41、的概率为45，甲得分的概率为15规定第1回合是甲先发球(1)求第3回合由甲发球的概率；(2)设第i回合是甲发球的概率为pi，证明：pi-13 是等比数列；已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P Xi=1=1-P Xi=0=qi，i=1，2，n，则Eni=1Xi=ni=1qi若第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的总得分的期望1(2022全国统考高考真题)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立(1)求甲

42、学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望312(2023全国统考高考真题)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P Xi=1=1-P Xi=0=qi,i=1,2,n，则Eni=1Xi=ni=1qi记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E Y3(2

43、023全国统考高考真题)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率(1)当漏诊率p c=0.5时，求临界值c和误诊率q c；(2)设函数 f c=p c+q c，当c 95,105时，求 f c的解析式，并求 f c在区间 95,1

44、05的最小值324(2023全国统考高考真题)一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；(2)实验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2实验组的小白鼠体重的增加量从

45、小到大排序为：7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5(i)求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：mm对照组实验组(ii)根据(i)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异附：K2=n(ad-bc)2a+bc+da+cb+d,k00.1000.0500.010P K2k02.7063.8416.635335(2023全国统考高考真题)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：

46、选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g)试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5(1

47、)计算试验组的样本平均数；(2)()求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表E Y，即方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值.利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出科学的决策，其中随机变量X的均值的意义在于描述随机变量的平均程度，而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况，品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关。1、若我们希望实际的平均水平较理想时，则先求随机变量X1，X2的均值。当E(X1)=E(X2)时，不应误认为它们一样好，还需要用D(X1)，D(X2

48、)来比较这两个随机变量的偏离程度。2、若我们希望比较稳定时，应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近。81(2024山西吕梁统考一模)吕梁市举办中式厨师技能大赛，大赛分初赛和决赛，初赛共进行3轮比赛，每轮比赛结果互不影响比赛规则如下：每一轮比赛，参赛选手要在规定的时间和范围内，制作中式面点和中式热菜各2道，若有不少于3道得到评委认可，将获得一张通关卡，3轮比赛中，至少获得2张通关卡的选手将进入决赛为能进入决赛，小李赛前在师傅的指导下多次进行训练，师傅从小李训练中所做的菜品中随机抽取了中式面点和中式热菜各4道，其中有3道中式面点和2道中式热菜得到认可(1)若从小李训练中所抽取的8道菜品中，随机抽

49、取中式面点、中式热菜各2道，由此来估计小李在一轮比赛中的通关情况，试预测小李在一轮比赛中通关的概率；(2)若以小李训练中所抽取的8道菜品中两类菜品各自被师傅认可的频率作为该类菜品被评委认可的概率，经师傅对小李进行强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率不变，每道中式热菜被评委认可的概率增加了16，以获得通关卡次数的期望作为判断依据，试预测小李能否进入决赛？【答案】(1)12；(2)小李能进入决赛【分析】(1)分情况在中式面点和中式热菜中选择元素，再集合组合数公式和古典概率类型公式；(2)首先确定每道中式面点和每道中式热菜被评委认可的概率，再求解每轮通过的概率，最后转化为独立重复事件的期望问题.

50、【解析】(1)设A=“在一轮比赛中，小李获得通关卡”，则事件A发生的所有情况有：得到认可的中式面点入选1道，中式热菜入选2道的概率为P1=C13C11C22C24C24=366=112得到认可的中式面点入选2道，中式热菜入选1道的概率为P2=C23C12C12C24C24=1266=13得到认可的中式面点和中式热菜各入选2道的概率为P1=C23C22C24C24=366=112所以P A=112+13+112=12；(2)由题知，强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率为34，每道中式热菜被评委认可的概率为12+16=23，则强化训练后，在一轮比赛中，小李获得通关卡的概率为P=C123414C