2024届甘肃省高三3月月考(一模)考试数学试题含答案.pdf

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1、2024 年甘肃省高三月考试卷（年甘肃省高三月考试卷（3 月）月）数学数学注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试

2、结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一一选择题：本大题共选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数11i ia+在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是（）A.1a -B.1a D.1a 的右焦点为,F O为坐标原点，过F作圆222xya+=的切线交y轴于点A，切点为B，若3FBBA=uuu ruuu r，则双曲线的渐近线为（）A.3yx=B.2yx=C.yx=D.33yx=7.已知函数 21e3ln,ln,ln,ln222f xxafb

3、fcf=，则（）A.abc B.bacC.cab D.acb8.已知函数 sinexxf x=（e为自然对数的底），0,)x+，记nx为 f x从小到大的第n个极值点，数列 na的前n项和为nS，且满足nnaf x=，则2024S=（）A.202342 ee2e1 e-B.202442 1 e2e1 e-C.202342 ee2ee1-+D.202442 1 e2ee1-+二多选题：本题共二多选题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部

4、分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.下列说法正确的有（）A.数据29,30,39,25,37,41,42,32的第 75 百分位数是 40B.若25,4Nx，则12025302PPxx+=C.4 名学生选报 3 门校本选修课，每人只能选其中一门，则总选法数为34C种D.8(1)x-展开式中3x项的二项式系数为 5610.梯形ABCD中，AD1,2,2BC ABADDCBCDAC=V沿着AC翻折，使点D到点P处，得到三棱锥PABC-，则下列说法正确的是（）A.存在某个位置的点P，使AC 平面PABB.若AC的中点为E，则异面直线PE与AB所成角的大小和平面PAC与平

5、面ABC所成角的大小相等C.若平面PAC 平面ABC，则三棱锥PABC-外接球的表面积是20D.若BC的中点为F，则必存在某个位置的点P，使FCFP=11.围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一.东汉的许慎在说文解字）中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘赢棋的概率是1p，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率.甲也与丙对弈三盘，每盘赢棋的概率是2p，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率.若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是()P A和()P B，则以下结论正确的是（）A.211012ppC.10,1p$，使得对20

6、,1p，都有 P AP BD.当 P AP B=时，22112243pp pp+三填空题：本大题共三填空题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.已知单位向量,a brr满足34abm-=rr，则m的范围是_.13.已知正四棱台的上下底面边长分别为 2 和 4，侧棱与底面所成的角为3，则该四棱台的体积为_.14.若曲线22:1(0C mxnymn+=，且)mn经过 6,15,2,3,4,0-这三点中的两点，则曲线C的离心率可能为_.（写出一个即可）.四解答题：本大题共四解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 77 分分.解应写出必要的文字说明证明过程或演算

7、步骤解应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.15.（13 分）已知12,F F为椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左右焦点，P为椭圆E上任意一点，1218,PFPFPF+=的最大值为 6.（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点2F的直线l交椭圆于,A B两点，若112F A FB=-uuur uuur，求直线l的方程.16.（15 分）如图，角a aR的始边为x轴非负半轴，终边与单位圆交于点P，过点P作y轴的垂线，垂足为,M M到直线OP的距离为MN.若将MN关于角a的函数关系记为 yf x=.（1）求 yf x=的解析式；（2）将 f x图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不

8、变），再将所得图象向左平移6个单位长度，得到函数 g x的图象，求 g x在0,2的单调递增区间.17.（15 分）如图，空间六面体ABCDEFGH中，AD,BC EH,90FGBCDFGH=o，平面ABCD平面,EFGH CDHG为正方形，平面HDCG 平面,2,3ABCD ADFGEH BCEH=.（1）求证：AEBF；（2）若2EFEH=，求平面ABF与平面ABCD所成角的余弦值.18.（17 分）下表是 2017 年至 2021 年连续 5 年全国研究生在学人数的统计表：年份序号x12345人数y（万人）263273286314334（1）现用模型2(1)yb xa=+作为回归方程对变

9、量x与y的关系进行拟合，发现该模型的拟合度很高.请计算该模型所表示的回归方程（a与b精确到 0.01）；（2）已知 2021 年全国硕士研究生在学人数约为 267.2 万人，某地区在学硕士研究生人数占该地在学研究生的频率值与全国的数据近似.当年该地区要在本地区在学研究生中进行一项网络问卷调查，每位在学研究生均可进行问卷填写.某天某时段内有 4 名在学研究生填写了问卷，X 表示填写问卷的这 4 人中硕士研究生的人数，求 X 的分布列及数学期望.参考公式及数据：对于回归方程1122211,nniiiiiinniiiixxyyx ynxyymxn mxxxnx=-=+=-52221(1)(21),1

10、2,1470.6iin nnnymxny=+=-+=L19.（17 分）已知函数 ln(0)f xx x x=.（1）求函数 f x的极值点及极值；（2）若1201xx，且12f xf x=，求证：121(eex x+恒成立.由112F A FB=-uuur uuur，得1212222xxy y+=-.又11222,2xmyxmy=+=+，可得：1212442mymyy y+=-即223628234mm-+=-+，解得265m=.所以305m=或305m=-.故直线l的方程为530100 xy-=.16.解：（1）可知cos,sin,0,sinPMaaa，又直线OP的方程为sincos0 xy

11、aa-=，故根据点到直线距离公式22sin cos1sin22sincosMNaaaaa=+，即 1sin22f xx=.（2）可知 12sin 423g xx=+，由2 4,32kxkk+Z，得,64244kkxk-+-+Z，所以当0,2x时，函数 g x的单调增区间为5,12 24和 11,32417.解：（1）ADQ,BC AD 平面,BCGF BC 平面BCGF，AD平面BCGF.CDHGQ为正方形，HDCG，同理可得HD平面BCGF.,ADHDD AD=Q平面,ADHE HD 平面ADHE，平面ADHE平面BCGF.Q平面ADHE平面,ABFEAE=平面BCGF 平面ABFEBF=，

12、AEBF.（2）由于CDHG为正方形，平面HDCG 平面ABCD，可得CG 平面ABCD.如图，建立空间直角坐标系Cxyz-，设EHa=，根据条件可知3HGCGa=则3,0,0,3,2,0,0,3,0,3,3,0,2,3DaAaaBaEa aaFaa，可知平面ABCD的一个法向量为0,0,1m=r，设平面ABF的一个法向量为000,nxyz=r，则000030,30.n ABaxayn AEayaz=-+=-+=uuu rruuu rr取1,3,1n=r，15cos,55m n=r r，平面ABF与平面ABCD所成角的余弦值为55.18.解：可令2(1)zx=+，则z与y成线性回归关系，根据公

13、式可得2.29252.74yz=+，即22.29(1)252.74yx=+.（2）可求得该地区硕士研究生在学生数占总在学研究生人数的频率值为45，可知44,5XB，因此随机变量X的分布列如下：X01234P404115625C=314411655625C=2224419655625C=31344125655625C=44442565625C=443.25E X=（人）.19.解：（1）由于 ln1fxx=+，故当10ex时，0fx时，0fx，函数 f x为增函数，所以当1ex=时，函数取极小值1e-，即函数 f x的极小值点为1ex=，且极小值为1e-；无极大值点和极大值.（2）令21xtx=，则1t，因为1122lnlnxxxx=，所以12lnlnln,ln11t ttxxtt=-，要证12121 ln1lnln22e1ttx xxxt+-，只需证1 ln22ttt+-，即证1 ln220ttt+-+，令 1 ln22(1)g ttttt=+-+，则 1ln1,g ttt=+-令 1ln1(1)h tttt=+-，则 221110th tttt-=-=，所以 g t在1,+为增函数，10g tg=，所以 g t在1,+为增函数，10g tg=，故原不等式成立.