专题08：立体几何（五大题型）-2024年新高考新题型试卷结构冲刺讲义含答案.pdf

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1、更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君2024 届新高考二轮复习第八讲届新高考二轮复习第八讲：立体几何立体几何1.（4）设,a b是两个平面，,m l是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若,mlabab，则mlB.若,mlmlab，则abC.若,m llabab=I，则mlD.若,mlmlab，则ab2.（13）已知轴截面为正三角形的圆锥MM的高与球O的直径相等，则圆锥MM的体积与球O的体积的比值是_，圆锥MM的表面积与球O的表面积的比值是_3.（17）如图，平行六面体1111ABCDABC D-中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，O为AC与BD的交点，11112,45

2、AAC CBC CDC CO=（1）证明：1C O 平面ABCD；（2）求二面角1BAAD-的正弦值专题08：立体几何（五大题型）-2024年新高考新题型试卷结构冲刺讲义更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君题型一：空间几何体的表面积和体积题型一：空间几何体的表面积和体积【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春黑龙江齐齐哈尔）佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体成圆锥形，它利用现代设计手法令空间与其展示的艺术品无缝交融，形成一个统一的整体，气势恢宏，美轮美英佛兰德现代艺术中心的底面直径为8m，侧面积为28 229m，则该建筑的高为（）

3、A26mB28mC30mD36m【变式训练】【变式训练】1.（2024 春新疆昌吉）如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45，则该正四更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A32B22C33D343（2024 春江苏苏州）在梯形ABCD中，/AD,2222BCABCBCADAB=，以下底BC所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（）A23B43C53D24（2024 春河北保定）如图，是 1963

4、 年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有 12 行、122 字铭文.铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：余其宅兹中国，自之辟民”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载.“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的深度约为30cm，上口的内径约为20cm，圆柱的深度和底面内径分别约为20cm,16cm，则“何尊”的容积大约为（）A35500cmB36000cmC36500cmD37000cm题型二：外接球和内切球题型二：外接球和内切球【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春新疆）将平面内等边ABCV与等腰直角ABD（其中A

5、B为斜边），沿公共边AB折叠成直二面角，若2AB=，且点,A B C D在同一球O的球面上，则球O的表面积为_.【变式训练】【变式训练】1.（2024 春广东省）已知ABCV是边长为 4 的正三角形，AD是BC边上的中线现将ABD沿AD折起，使二面角BADC-等于23，则四面体ABCD外接球的表面积为 更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君2.（2024 春江西省）若体积为3 3的正三棱锥ABCD-的所有顶点都在同一个球面上，则该球体积的最小值为 3.（2024 春新疆乌鲁木齐）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为 40cm 的正方体截去八个一样的四面体得到的，则（

6、）A该几何体的顶点数为 12B该几何体的棱数为 24C该几何体的表面积为2(4800800 3)cm+D该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项4.（2024 春新高考模拟）中国古建筑闻名于世，源远流长如图甲所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图乙所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，EFAB,24ABEF=,ADEV与BCF都是边长为2的等边三角形，若点A，BC，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A22B11C112D114题型三：点、直线与平面位置关系题型三：点、直线与平面位置关系【典例例题】【典例例题】例 1.（2

7、024 春江西省）设m，n是两条不同的直线，a，b是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若ma，/m n，nb，则abB若/a b，ma，/m n，则/nbC若m，n是两条不同的异面直线，/,/mnab，ma，nb，则/abD若mn，/a b，则m与a所成的角和n与b所成的角互余更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君【变式训练】【变式训练】1.（2024 春广东省）已知两条不重合的直线m和n，两个不重合的平面a和b，下列四个说法：若/ma，/nb，/m n，则/a b 若/a b，/ma，/nb，则/m n若ma，nb，/m n，则/a b 若ab，ma，nb，则mn其中所有

8、正确的序号为（）ABCD2.（2024 春湖北省）设 m、n 是不同的直线，、是不同的平面，以下是真命题的为（）A.若ab，/ma，则mbB.若na，nb，则/baC.若ab，ma，则/mbD.若ma，mn，则/na3（2024 春湖北校联考模拟）下列说法中正确的是（）A没有公共点的两条直线是异面直线B若两条直线 a，b 与平面 所成的角相等，则/a bC若平面，满足ab，bg，则agD已知 a，b 是不同的直线，是不同的平面.若aa，bb，abrr，则ab4（2024江苏南通）已知ab，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题错误的是（）A如果a/b，n a，那么n/bB如果ma，n/a，那

9、么mnC如果m/n，ma，那么naD如果mn，ma，n/b，那么ab题型四：空间向量与立体几何题型四：空间向量与立体几何【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春重庆）如图，在边长为 1 的正方体1111ABCDABC D-中，E是11C D的中点，M是线段1AE上的一点，则下列说法正确的是（）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君A当M点与1A点重合时，直线1AC 平面ACMB当点M移动时，点D到平面ACM的距离为定值C当M点与E点重合时，平面ACM与平面11CC D D夹角的正弦值为53D当M点为线段1AE中点时，平面ACM截正方体1111ABCDABC D-所得截面面积

10、为7 3332 【变式训练】【变式训练】1.（2024 春云南昆明）（多选）在正四棱柱1111ABCDABC D-中，已知1BD与平面11BCC B所成的角为6，底面ABCD是正方形，则（）A12AAAB=B1BD与平面1111DCBA所成的角为4C11BDDAD1AB 平面1BCD2.（2024 春河南信阳）（多选）正方体1111ABCDABC D-中，E为AB的中点，P为正方体表面上一个动点，则（）A.当P在线段1BC上运动时，1AP与1AD所成角的最大值是3B.当P在棱11BC上运动时，存在点P使PEPD=C.当P在面11BBC C上运动时，四面体1PAAD-体积为定值D.若P在上底面1

11、111DCBA上运动，且正方体棱长为1,AP与1AA所成角为4，则点P的轨迹长度是3.（2024 春惠州市东江博雅学校期末考试）（多选）如图，已知四棱锥PABCD-的底面ABCD是直角梯形，/ADBC，4=AD，90ABC=o，PA 平面ABCD，2PAABBC=，下列说法正确的是（）A.PB与CD所成的角是45oB.PB与平面PCD所成的角的正弦值是36的更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君C.平面PCD与平面PBA所成的锐二面角余弦值是63D.M是线段PC上动点，N为AD中点，则点P到平面BMN距离最大值为64.（2024 春汕头市潮阳实验学校期末考试）（多选）在棱长为 2

12、 的正方体1111ABCDABC D-中，P是线段11C D上的动点，则（）A.存在点P，使3BP=B.存在点P，使点P到直线1BD的距离为2C.存在点P，使直线1B P与1BD所成角的余弦值为13D.存在点P，使点A，C到平面1BB P的距离之和为 3题型五：立体几何综合应用题型五：立体几何综合应用【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春广西桂林）“阳马”是我国古代数学名著九章算术中商功章节研究的一种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥SABCD-中，四边形ABCD是边长为 3 的正方形，SAAB，SCBC，3 2SASC=.(1)证明：四棱锥SABCD-是

13、一个“阳马”；(2)已知点E在线段AC上，且AEECl=uuu ruuu r，若二面角ASED-的余弦值为3015-，求直线SE与底面ABCD所成角的正切值.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君【变式训练】【变式训练】1.（2024 春新高考）如图，在三棱柱111ABCABC-中，ABCV是正三角形，四边形ABCD是菱形，AC与BD交于点O，1OB 平面ABCD，14ABOB=.(1)若点E为1AA中点，求异面直线BE与1DC所成角的余弦值；(2)求平面11AC D与平面11BCC B的夹角的余弦值.2.（2024 春江西省）“阳马”是我国古代数学名著九章算术中商功章节研究的一

14、种几何体，即其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥SABCD-中，四边形ABCD是边长为 3 的正方形，SAAB，SCBC，3 2SASC=.(1)证明：四棱锥SABCD-是一个“阳马”；(2)已知点E在线段AC上，且AEECl=uuu ruuu r，若二面角ASED-的余弦值为3015-，求直线SE与底面ABCD所成角的正切值.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君3.（2024 春湖北省）如图，在四棱锥PABCD-中，PA 平面,ABCD ABAD ADPBC，1,2APABADBC=.（1）求二面角BPDC-的正弦值；（2）在棱PC上确定一点E，使异面直线P

15、D与 BE 所成角的大小为60o，并求此时点E到平面PBD的距离.一、单项选择1（2024 春黑龙江哈尔滨）过正四棱锥PABCD-的高PH的中点作平行于底面ABCD的截面1111DCBA，若四棱锥PABCD-与四棱台1111ABCDABC D-的表面积之比为1211，则直线PA与底面ABCD所成角的余弦值为（）A105B155C63D332（2024 春黑龙江）九章算术是我国古代的数学名著.其“商功”中记载：“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方亭，将它的主体部分抽象成1111ABCDABC D-的正四棱台（如图所示，其中上底面与下底面的面积之比为1

16、:16，方亭的高为棱台上底面边长的 3 倍.已知方亭的体积为3567m，则该方亭的上底面边长为（）m更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君 A3B4C6D123（2023 春黑龙江哈尔滨）所有面都只由一种正多边形构成的多面体称为正多面体.已知一个正四面体QPTR和一个正八面体AEFBHC的棱长都是a（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体，则新多面体的体积为（）A3212aB326aC35 212aD322a4（2024 上安徽合肥）中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小

17、的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中1320 cmOO=，122 cmOO=，16 cmAB=，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：3，铜的密度为 8.963g/cm）（）A1kgB2kgC3kgD0.5kg5（2024 春安徽宣城）粽子是我国人们传统的美食，基本上全国都有吃粽子的习惯.随着生活水平的不断提高，粽子的花样，口味也在不断的变化，现在市场上粽子的形状有金字塔形、条形、三棱锥形等，口味大更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君致有甜味，咸味两种，还有蛋黄，豆沙，大肉等.现将一种蛋黄粽看作正四面体，其内部的蛋黄看作一个球体，那么，当蛋黄

18、的体积为323时，该蛋黄粽（正四面体）高的最小值是（）A4B6C8D106（2024 春安徽阜阳）在古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻有一个令他最引以为傲的几何图案.该几何图案是内部嵌入一个内切球的圆柱，且该圆柱底面圆的直径与高相等，则该圆柱的内切球与外接球的体积之比为（）A14B24C12D227.（2024全国校联考模拟）已知,l m是两条不同的直线，a为平面，ma，下列说法中正确的是（）A若lAa=I，且l与a不垂直，则l与m一定不垂直B若l与a不平行，则l与m一定是异面直线C若lAa=I，且Am，则l与m可能平行D若/la，则l与m可能垂直8（2024全国校联考模拟）设 m、n 是不同的直

19、线，、是不同的平面，以下是真命题的为（）A若ab，/ma，则mbB若na，nb，则/baC若ab，ma，则/mbD若ma，mn，则/na二、多项选择9.（2024山西晋城）如图，在正四棱柱1111ABCDABC D-中，2AB=，14AA=，13C EEC=uu ruuu r，平面ABE将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为W上，下部分对应的几何体为W下，则（）AW下的体积为 2BW上的体积为 12CW下的外接球的表面积为9D平面ABE截该正四棱柱所得截面的面积为2 5更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君10（2024 春安徽滁州）已知圆台的轴截面如图所示，其上、

20、下底面半径分别为1r=上，2r=下，母线AB长为 2，点E为AB的中点，则（）A圆台的体积为7 33B圆台的侧面积为12C圆台母线AB与底面所成角为 60D在圆台的侧面上，从点C到点E的最短路径长为 411.（2024 春广州市 1 月份调研测试）如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D-中，已知 M，N，P分别是棱11C D，1AA，BC的中点，Q 为平面PMN上的动点，且直线1QB与直线1DB的夹角为30，则（）A.1DB 平面PMNB.平面PMN截正方体所得的截面面积为3 3C.点 Q 的轨迹长度为D.能放入由平面 PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计

21、）的球的半径的最大值为332-三、填空题12（2024 春全国）在三棱锥-PABC中，APABAC，两两互相垂直，9ABAC,ABAP=+=，当三棱锥-PABC的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球半径为 .更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君13（2024 春江西赣州）某小区计划修建一个圆台形的花台，它的上、下底面半径分别为1m和2m若需要37m3的土才能把花台填满，则花台高为 m14（2024 春安徽六安）在四棱锥PABCD-中，底面ABCD为正方形，PA 平面ABCD，1=PAAB，已知圆柱在该四棱锥的内部且圆柱的底面在该四棱锥的底面上，当圆柱的体积最大时，圆柱的底面半径为

22、 .15（2024 春河北保定）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点,A B C D满足4 33ABBCCDDADB=cm，2 3AC=cm，则该“鞠”的表面积为 2cm.四、简答题16.（2024 春河南）在四棱锥QABCD-中，底面ABCD是正方形，若2AD=，5QDQA=，3QC=，（1）求四棱锥QABCD-的体积；（2）求直线BQ与平面QCD夹角的正弦值更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君17.（2024 春广东省深圳外国语学校、

23、执信中学期末）正方体1111ABCDABC D-中,E F G H分别是11111,AA BB CC C D的中点.（1）证明：/AG平面EFH；（2）求1AC与平面EFH所成角的正弦值.18.（2024 春广州市华南师大附中第一次调研）如图，在四棱锥PABCD-中，PADV为等边三角形，ADCD，/ADBC，且22ADBC=，3CD=，6PB=，E为AD中点 (1)求证：平面PAD 平面ABCD；(2)若线段PC上存在点Q，使得二面角QBEC-的大小为60，求CQCP的值更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君2024 届新高考二轮复习第八讲届新高考二轮复习第八讲：立体几何立体几

24、何1.（4）设,a b是两个平面，,m l是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若,mlabab，则mlB.若,mlmlab，则abC.若,m llabab=I，则mlD.若,mlmlab，则ab【答案】C【解析】【分析】由线面平行性质判断真命题，举反例判定假命题即可.【详解】对于 A，,m l可能平行，相交或异面，故 A 错误，对于 B，,a b可能相交或平行，故 B 错误，对于 D，,a b可能相交或平行，故 D 错误，由线面平行性质得 C 正确，故选：C2.（13）已知轴截面为正三角形的圆锥MM的高与球O的直径相等，则圆锥MM的体积与球O的体积的比值是_，圆锥MM的表面积与球O的表面

25、积的比值是_【答案】.23 .1【解析】【详解】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高3hr=，母线2lr=，由题可知：2hR=，所以球的半径32Rr=所以圆锥的体积为23113333Vrrr=，球的体积333244333322VRrr=，所以3132323332rVVr=；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君圆锥的表面积2213Srlrr=+=，球的表面积222234432SRrr=，所以2122313SrSr=，故答案为：23；1.3.（17）如图，平行六面体1111ABCDABC D-中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，O为AC与

26、BD的交点，11112,45AAC CBC CDC CO=（1）证明：1C O 平面ABCD；（2）求二面角1BAAD-的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）2 23【解析】【小问 1 详解】连接11,BC DC，因为底面ABCD是边长为 2 的正方形，所以BCDC=，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君又因为11C CBC CD=，11CCCC=，所以11C CBC CDVV，所以11BCDC=，点O为线段BD中点，所以1C OBD，在1C CO中，11222,CCCOAC=，145C CO=，所以222111112cos222C COCC OC COC OC COC+-=

27、，则222111C COCC OC OOC=+，又OCBDO=I，OC 平面ABCD，BD平面ABCD，所以1C O 平面ABCD【小问 2 详解】由题知正方形ABCD中ACBD，1C O 平面ABCD，所以建系如图所示，则10,2,0,0,2,0,2,0,0,2,0,0,0,0,2BDACC-，则112,0,2AACC=uuuruuuu r，2,2,0,2,2,0ABAD=-=-uuu ruuur，设面1BAA的法向量为111,mx y z=ur，面1DAA的法向量为222,xny z=r，则1111122001,1,10220 xzAA mmAB mxy+=-=-+=uuurrruuu r

28、r，.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君2212222001,1,10220 xzAA nnAD mxy+=-=-=uuurrruuurr，设二面角1BAAD-大小q，则2112 2cossin1 cos3333m nmnqqq=-=ur rurr，所以二面角1BAAD-的正弦值为2 23.题型一：空间几何体的表面积和体积题型一：空间几何体的表面积和体积【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春黑龙江齐齐哈尔）佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体成圆锥形，它利用现代设计手法令空间与其展示的艺术品无缝交融，形成一个统一的整体，气势恢宏

29、，美轮美英佛兰德现代艺术中心的底面直径为8m，侧面积为28 229m，则该建筑的高为（）为更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君 A26mB28mC30mD36m【答案】C【分析】已知底面半径和侧面积，可求圆锥母线长，利用勾股定理求圆锥的高.【详解】设该建筑的母线长为x，高为h，则由其侧面积为28 229m，可得1 88 2292x=，解得2 229mx=，所以22430mhx=-=故选：C【变式训练】【变式训练】1.（2024 春新疆昌吉）如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底

30、面所成的角为45，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A32B22C33D34【答案】D【详解】塔顶是正四棱锥PABCD-，如图，PO是正四棱锥的高，设底面边长为a，底面积为21Sa=，22AOa=，45PAO=，222PAaa=，PABV是正三角形，面积为2234Sa=，所以2134SS=故选：D更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君3（2024 春江苏苏州）在梯形ABCD中，/AD,2222BCABCBCADAB=，以下底BC所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（）A23B43C53D2【答案】B【分析】所得几何体为圆柱与一个同底的

31、圆锥的组合体，分别求出圆柱与圆锥的体积，从而得解.【详解】旋转后所得几何体为圆柱与一个同底的圆锥的组合体，如图所示：其中圆柱与圆锥的底面半径都等于1AB=，圆柱的高等于1AD=，圆锥的高等于1BCAD-=，底面圆的面积为2 1=，圆锥的体积为1 133 =，圆柱的体积为 1=，所以所得几何体的体积为433+=故选：B.4（2024 春河北保定）如图，是 1963 年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有 12 行、122 字铭文.铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：余其宅兹中国，自之辟民”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载.“何尊”可以近似

32、看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的深度约为30cm，上口的内径约为20cm，圆柱的深度和底面内径分别约为20cm,16cm，则“何尊”的容积大约为（）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君A35500cmB36000cmC36500cmD37000cm【答案】C【详解】由题意可知圆台的高为302010(cm)-=，故组合体的体积大约为22216280 820(88 10 10)10657333+=3(cm)，故选：C题型二：外接球和内切球题型二：外接球和内切球【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春新疆）将平面内等边ABCV与等腰直角ABD（其中AB为斜边），沿公

33、共边AB折叠成直二面角，若2AB=，且点,A B C D在同一球O的球面上，则球O的表面积为_.【答案】163【解析】【分析】利用空间几何体的外接球及球体表面积公式计算即可.【详解】如图所示取AB中点E，连接,DE CE，根据题意易知,90CEAB DEABCED=o，又ABD为等腰直角三角形，ABCV为等边三角形，所以可知1,3EAEBEDCE=，易知O点在直线CE上，设OEh=，球半径为 R，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君所以2222234,33RAEOECEhhR=+=-=，故外接球O的表面积为21643SR=.故答案为：163【变式训练】【变式训练】1.（2024

34、 春广东省）已知ABCV是边长为 4 的正三角形，AD是BC边上的中线现将ABD沿AD折起，使二面角BADC-等于23，则四面体ABCD外接球的表面积为 【答案】28【详解】因为ABCV是正三角形，且AD是BC边上的中线，所以,ADBD ADCD，且BDCDD=，,BD CD 平面BCD，所以AD 平面BCD；记AD的中点为F，BCD的外接圆圆心为E，过E作平面BCD的垂线，则球心G在该垂线上，连接GF，因为二面角BADC-等于23，所以23BDC=，由正弦定理可知24sin6CDDE=，所以2DE=，由垂径定理以及线面垂直的性质易知四边形DEGF是矩形，所以12,32FGDEAFAD=，所以

35、227AGAFFG=+=，即外接球的半径7R=，所以外接球的表面积为2428SR=，故答案为：28.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君2.（2024 春江西省）若体积为3 3的正三棱锥ABCD-的所有顶点都在同一个球面上，则该球体积的最小值为 【答案】272【分析】求得外接球半径的表达式，然后利用基本不等式求得半径的最小值，进而求得体积的最小值.【详解】设正三棱锥ABCD-的底面中心为O，连接AO，则AO 平面BCD，设正三棱锥底面的边长为a，顶点到底面距离（体高）为h，即AOh=，所以111sin3 33323Shaah=，即236a h=正三棱锥ABCD-的所有顶点都在同

36、一个球面上，即为正三棱锥的外接球，设其半径为R等边三角形BCD外接圆半径为1323sin3aa=，根据对称性知球心在正三棱锥ABCD-的高AO上，设球心为O，则22233RhRa=-+所以223322236663 336244442hahhhhhRhhhh+=+=+=，当且仅当326,2 34hhh=时取得等号，此时球的体积最小，最小值为3343 327322=故答案为：272更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君3.（2024 春新疆乌鲁木齐）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为 40cm 的正方体截去八个一样的四面体得到的，则（）A该几何体的顶点数为 12B该几

37、何体的棱数为 24C该几何体的表面积为2(4800800 3)cm+D该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项【答案】ABD【详解】对于 A，该几何体的顶点是正方体各棱的中点，正方体有 12 条棱，所以该几何体的顶点数为 12，故 A 正确；对于 B，由题意知，该几何体有 6 个面为正方形，故该几何体的棱数为2446=，故 B 正确；对于 C，该几何体的棱长为22202020 2+=，该几何体有 6 个面为正方形，8 个面为等边三角形，所以该几何体的表面积为2223620 2820 24800 1600 3 cm4+=+，故 C 错误；对于 D，原正方体内切球的半径为 2

38、0cm，内切球表面积为2214201600cmS=.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君原正方体外接球的半径为22240404020 32+=，外接球表面积为222420 34800cmS=.由题意得该几何体外接球的球心为原正方体的中心，故外接球半径为22202020 2+=，所以该几何体外接球的表面积为22420 23200cmS=.因为122640016004800SSS=+=+，所以该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项，故 D 正确.故选:ABD.4.（2024 春新高考模拟）中国古建筑闻名于世，源远流长如图甲所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋

39、顶形式，该屋顶的结构示意图如图乙所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，EFAB,24ABEF=,ADEV与BCF都是边长为2的等边三角形，若点A，BC，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A22B11C112D114【答案】A【分析】如图，根据球的性质可得1OO 平面ABCD，根据中位线的性质和勾股定理可得1MOPQ且12MO=，分类讨论当O在线段1O M上和O在线段1MO的延长线上时，由球的性质可得球半径的平方为2121R=，再用球的表面积公式计算即可.【详解】如图，连接AC，BD，设1ACBDO=，因为四边形ABCD为矩形，所以1O为矩形ABCD外接圆的圆心连接1OO

40、，则1OO 平面ABCD，分别取EF，AD，BC的中点M，P，Q，根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线1OO交EF于点M连接 PQ，则PQAB，且1O为PQ的中点，因为EFAB，所以PQEF，连接EP，FQ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君在ADEV与BCF，易知22213EPFQ=-=，所以梯形EFQP为等腰梯形，所以1MOPQ，且22142322MO-=-=设1OOm=，球O的半径为R，连接OE，OA，当O在线段1O M上时，由球的性质可知222ROEOA=，易得221215O A=+=，则2222(2)15mm-+=+，此时无解当O在线段1MO的延长线上时，由球的

41、性质可知，22225(2)1mm+=+，解得22m=，所以22112ROE=，所以球O的表面积2422SR=.故选：A题型三：点、直线与平面位置关系题型三：点、直线与平面位置关系【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春江西省）设m，n是两条不同的直线，a，b是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A若ma，/m n，nb，则abB若/a b，ma，/m n，则/nbC若m，n是两条不同的异面直线，/,/mnab，ma，nb，则/abD若mn，/a b，则m与a所成的角和n与b所成的角互余【答案】C【分析】利用空间点线面的位置关系，点线面垂直平行的性质依次判断即可【详解】A/m n，ma，

42、则na，又nb，则/ab，所以ab不正确，A 不正确；B/a b，ma，/m n，则/nb或nb，故 B 不正确；C若m，n是两条不同的异面直线，/,/mnab，mb，n a，则/ab，C 正确D由mn时，,m n与a所成的角没有关系，/a b时，由面面平行的性质知n与,a b所成的角相等，m与,a b所成的角相等，因此m与a所成的角和n与b所成的角不一定互余，D 不正确.故选：C【变式训练】【变式训练】更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君1.（2024 春广东省）已知两条不重合的直线m和n，两个不重合的平面a和b，下列四个说法：若/ma，/nb，/m n，则/a b 若/a

43、b，/ma，/nb，则/m n若ma，nb，/m n，则/a b 若ab，ma，nb，则mn其中所有正确的序号为（）ABCD【答案】B【详解】对于：如果lab=I，/ml，/nl也能满足条件，错误；对于：m与n相交或异面也能满足条件，错误；对于：因为ma，/mn，则na，又因为nb，所以/ab，正确；对于：因为ab，所以平面b内必有直线la，又因为ma，所以/lm，因为nb，lb，所以nl，而/lm，所以nm，正确.故选：B2.（2024 春湖北省）设 m、n 是不同的直线，、是不同的平面，以下是真命题的为（）A.若ab，/ma，则mbB.若na，nb，则/baC.若ab，ma，则/mbD.若

44、ma，mn，则/na【答案】B【解析】【分析】根据空间中点线面的位置关系，借助于正方体，逐项分析即可.【详解】对于 A,如上图正方体中，设平面11ABB A为a，平面1111DCBA为b，CD为m，满足ab，/ma，此时/mb，故 A 错误；对于 B，因为na，nb，、是不同的平面，则必有/ba，故 B 正确；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君对于 C，如上图正方体中，设平面11ABB A为a，平面1111DCBA为b，11AD为m，满足ab，ma，此时mb，故 C 错误；对于 D，如上图正方体中，设平面11ABB A为a，11AD为m，11AB为n，则满足ma，mn，此时n

45、 a，故 D 错误.故选:B.3（2024 春湖北校联考模拟）下列说法中正确的是（）A没有公共点的两条直线是异面直线B若两条直线 a，b 与平面 所成的角相等，则/a bC若平面，满足ab，bg，则agD已知 a，b 是不同的直线，是不同的平面.若aa，bb，abrr，则ab【答案】D【详解】对 A，没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线，故 A 错误；对 B，若两条直线 a，b 与平面 所成的角相等，则 a，b 可以平行、相交或异面，故 B 错误；对 C，若平面，满足ab，bg，则，不一定垂直，故 C 错误；对 D，两个平面垂直等价于这两个平面的垂线垂直，故 D 正确.故选：D.4（202

46、4江苏南通）已知ab，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题错误的是（）A如果a/b，n a，那么n/bB如果ma，n/a，那么mnC如果m/n，ma，那么naD如果mn，ma，n/b，那么ab【答案】D【详解】对于 A:由面面平行的定义可得n与b没有公共点，即/nb，故 A 正确；对于 B:如果ma，/na，那么在a内一定存在直线/bn，又mb，则mn，故 B 正确；对于 C:如果/mn，ma，那么根据线面平行的性质可得 na，故 C 正确;对于 D；如果mn，ma，则/na或n a，又/nb，那么a与b可能相交，也可能平行，故 D 错误.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷

47、君故选：D.题型四：空间向量与立体几何题型四：空间向量与立体几何【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春重庆）如图，在边长为 1 的正方体1111ABCDABC D-中，E是11C D的中点，M是线段1AE上的一点，则下列说法正确的是（）A当M点与1A点重合时，直线1AC 平面ACMB当点M移动时，点D到平面ACM的距离为定值C当M点与E点重合时，平面ACM与平面11CC D D夹角的正弦值为53D当M点为线段1AE中点时，平面ACM截正方体1111ABCDABC D-所得截面面积为7 3332【答案】ACD【详解】对 A，因为11/AACC，所以点11,A A C C四点共面，当M点与

48、1A点重合时，直线1AC 平面ACM，故 A 正确；对 B，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，因为E为11C D中点，则设1 2,1Mt t-，10,2t，1,0,0A，0,1,0C，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君则1,1,0AC=-uuur，2,1AMt t=-uuuu r，1,0,0DA=uuu r，设平面ACM的方向量为,mx y z=r，则00AC mAM m=uuurruuuu rr，即020 xytxtyz-+=-+=，令1y=，则1,xzt=，所以1,1,mt=r，则点D到平面ACM的距离222211112DA mdmtt=+uuu rrr，显然不

49、是定值，故 B 错误；对 C，当M点与E点重合时，由 B 知此时12t=，11,1,2m=r，平面11CC D D的法向量1,0,0n=r，设平面ACM与平面11CC D D夹角为q，22212cos311112m nm nq=+r rr r，则225sin133q=-=，故 C 正确；对 D，连接11AC，并在上底面内将直线11AC沿着11B Duuuur的方向平移，直至该直线经过点M，交11D A于点P，交11C D于点N，因为11/AACC，11AACC=，所以四边形11AAC C为平行四边形，所以11/ACAC，因为11/PNAC，所以/ACPN，因为点MPN，所以平面ACM截正方体1

50、111ABCDABC D-所得的图形为四边形APNC，不妨以1D为坐标原点，在上底面内建立如图所示平面直角坐标系，则110,1,02AE-，因为M为线段1AE中点，则11,42M-，根据直线11/PNAC，则1PNk=，设直线PN的方程为yxb=+，代入点M坐标得1124b-=+，解得34b=-，则34yx=-，则点P位于线段11AD的四分之一等分点处，且靠近点1A，点N位于线段11C D的四分之一等分点处，且靠近点1C，则22117144APCN=+=，2AC=，324PN=，结合/ACPN，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君则四边形APNC为等腰梯形，则其高为22223