2024年新高考新结构题型第19题考点预测之创新定义题型含答案.pdf

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1、120242024年新高考新结构题型第年新高考新结构题型第1919题考点预测之创新定义题型题考点预测之创新定义题型本节题目专门针对新结构题型的第本节题目专门针对新结构题型的第1919题题(1717分分)，难度系数困难，难度系数困难“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.新定义问题的方法和技巧：(1 1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的

2、应用，从而加深对信息的理解；(2 2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；(3 3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；(4 4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.题型一：集合新定义题型一：集合新定义题型二：函数新定义题型二：函数新定义题型三：数列新定义题型三：数列新定义题型四：圆锥曲线新定义题型四：圆锥曲线新定义题型五：立体几何新定义题型五：立体几何新定义题型六：统计新定义题型六：统计新定义题型一：集合新定义题型一：集合新定义1 1已知正整数 n 5

3、，集合 Sn=X X=x1,x2,xn,xi 0,1,i=1,2,n.对于 Sn中的元素 A=a1,a2,an，B=b1,b2,bn，定义AB=a1b1+a2b2+anbn，令Tn=XSnXX=3.(1)直接写出T6的两个元素及T6的元素个数；(2)已知A1，A2，AmT6，满足对任意1i jm，都有AiAj=1，求m的最大值；(3)证明：对任意A1，A2，An+1Tn，总存在1i jn+1，使得AiAj=1.2一、解答题一、解答题1(23-24高三上黑龙江哈尔滨开学考试)已知 f x=x+1，g x=x2+2.定义min a,b=a,abb,ba，设m x=min f x-t,g x-2t.

4、(1)若t=3，画出函数m x的图象并直接写出函数m x的单调区间；(2)定义区间A=p,q的长度L A=q-p.若B=A1A2AnnN*，AiAj=1i jn，则L B=ni=1L Ai.设关于x的不等式m xt的解集为D.是否存在实数t，且t3，使得L D=6?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.2(2024广东模拟预测)已知集合A中含有三个元素x,y,z，同时满足xyz；x+y+z为偶数，那么称集合A具有性质P.已知集合Sn=1,2,3,2n(nN*,n4)，对于集合Sn的非空子集B，若Sn中存在三个互不相同的元素a,b,c，使得a+b,b+c,c+a均属于B，则称集合B是集合Sn

5、的“期待子集”.(1)试判断集合A=1,2,3,5,7,9是否具有性质P，并说明理由；(2)若集合B=3,4,a具有性质P，证明：集合B是集合S4的“期待子集”；(3)证明：集合M具有性质P的充要条件是集合M是集合Sn的“期待子集”.33(23-24高三下江苏南通开学考试)设集合A=-1,a1,a2,an，其中1=a1a2an,n2,B=xx=(p,q),pA,qA若对任意的向量x1 B，存在向量x2 B，使得x1 x2，则称A是“T集”(1)设M=-1,1,2,N=-1,1,2,3，判断M，N是否为“T集”若不是，请说明理由；(2)已知A是“T集”(i)若A中的元素由小到大排列成等差数列，求

6、A；(ii)若n3,a2=c(c为常数)，求有穷数列a1,a2,a3,an的通项公式4(2024全国模拟预测)拓扑学是一个研究图形(或集合)整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑已知平面E2=x，y|x，yR ，定义对A1x1，y1，A2x2，y2，其度量(距离)d A1，A2=x1-x22+y1-y22并称 E2，d为一度量平面设x0 E2，d，R+，称平面区域B x0，=x E2，dd x0，x为以x0为心，为半径的球形邻域(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；(2)证明：E2，d中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；(3)一个集

7、合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集证明：E2，d的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集45(23-24高三上北京朝阳期末)已知an是各项均为正整数的无穷递增数列，对于kN N*，定义集合Bk=iN N*|aik，设bk为集合Bk中的元素个数，若Bk=时，规定bk=0.(1)若an=2n，写出b1,b2,b3及b10的值；(2)若数列bn是等差数列，求数列an的通项公式；(3)设集合S=s|s=n+an,nN N*,T=t|t=n+bn,nN N*，求证：ST=N N*且ST=.6(23-24高一上浙江杭州期中)定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族(coll

8、ection).定义2：集合X上的一个拓扑(topology)乃是X的子集为元素的一个族，它满足以下条件：(1)和X在中；(2)的任意子集的元素的并在中；(3)的任意有限子集的元素的交在中.(1)族P=,X，族Q=x xX，判断族P与族Q是否为集合X的拓扑；(2)设有限集X为全集(i)证明：XA1A2An=XA1 XA2 XAnnN N*；(ii)族为集合X上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族f为集合X上的一个拓扑.57(23-24高一上重庆沙坪坝阶段练习)已知集合A=a1,a2,a3anN*，其中nN且n3,a1a2a3an，若对任意的x,yA xy，都有 x-yxyk，则称集合A

9、具有性质Mk.(1)集合A=1,2,a具有性质M3，求a的最小值；(2)已知A具有性质M15，求证：1a1-1ann-115；(3)已知A具有性质M15，求集合A中元素个数的最大值，并说明理由.8(2023北京西城一模)给定正整数n2，设集合M=|=(t1,t2,tn),tk0,1,k=1,2,n对于集合M中的任意元素=(x1,x2,xn)和=(y1,y2,yn)，记=x1y1+x2y2+xnyn设AM，且集合A=i|i=(ti1,ti2,tin),i=1,2,n，对于A中任意元素i,j，若ij=p,i=j,1,i j,则称A具有性质T(n,p)(1)判断集合A=(1,1,0),(1,0,1)

10、,(0,1,1)是否具有性质T(3,2)？说明理由；(2)判断是否存在具有性质T(4,p)的集合A，并加以证明；(3)若集合A具有性质T(n,p)，证明：t1j+t2j+tnj=p(j=1,2,n)6题型二：函数新定义题型二：函数新定义2 2已知集合 M=xR x0且 x1，fnxxN*是定义在 M 上的一系列函数，满足 f1x=x,fi+1x=fix-1xiN*.(1)求 f3x,f4x的解析式.(2)若g x为定义在M上的函数，且g x+gx-1x=1+f4x.求g x的解析式;若关于x的方程 2x-1-m2x x-1g x+3x2+x+1+8x2+4x+2=0有且仅有一个实根，求实数m的

11、取值范围.一、解答题一、解答题9(22-23高三下浙江温州开学考试)若函数 f(x)，g(x)的图象与直线x=m分别交于A，B两点，与直线x=n分别交于C，D两点(m0，使得 f(x)，g(x)为“(m,n)相关函数”，且 AB=CD，求实数a的取值范围710(2024全国模拟预测)“让式子丢掉次数”：伯努利不等式伯努利不等式(BernoullisInequality)，又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布伯努利提出：对实数x-1,+，在n 1,+时，有不等式 1+xn1+nx成立；在n 0,1时，有不等式 1+xn1+nx成立(1)猜想伯努利不等式

12、等号成立的条件；(2)当n1时，对伯努利不等式进行证明；(3)考虑对多个变量的不等式问题已知a1,a2,annN*是大于-1的实数(全部同号)，证明1+a11+a2 1+an1+a1+a2+an11(22-23高二上上海普陀阶段练习)给出下列两个定义：I.对于函数y=f x，定义域为D，且其在D上是可导的，若其导函数定义域也为D，则称该函数是“同定义函数”.II.对于一个“同定义函数”y=f x，若有以下性质：fx=g f x；f x=h fx，其中y=g x,y=h x为两个新的函数，y=fx是y=f x的导函数.我们将具有其中一个性质的函数y=f x称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的

13、函数y=f x称之为“双向导函数”，将y=g x称之为“自导函数”.(1)判断函数y=tanx和y=lnx是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质，则写出其对应的“自导函数”；(2)已知命题p:y=f x是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题q:f x=kax(kR R,a0,a1).判断命题p是q的什么条件，证明你的结论；(3)已知函数 f x=xa-bex.若 f x的“自导函数”是y=x，试求a的取值范围；若a=b=1，且定义I x=exf x-43kx3+kx，若对任意k 1,2,x0,k，不等式I xc恒成立，求c的取值范围.812(23-24高三下浙江

14、开学考试)置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合A=1,2,n,nN N+的函数称为n次置换.满足对任意iA,f i=i的置换称作恒等置换.所有n次置换组成的集合记作Sn.对于 f iSn，我们可用列表法表示此置换：f i=12nf 1f 2f n，记 f i=f1i,f f i=f2i,f f2i=f3i,f fk-1i=fki,iA,kN N+.(1)若 f iS4,f i=12344213，计算 f3i；(2)证明：对任意 f iS4，存在kN N+，使得 fki为恒等置换；(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张

15、，第2张变为第3张，第28张变为第4张，.，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由.13(2024甘肃兰州一模)定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 x1,y1，x2,y2，那么称d(A,B)=x1-x2+y1-y2为A，B两点间的曼哈顿距离(1)已知点N1，N2分别在直线x-2y=0，2x-y=0上，点M 0,2与点N1，N2的曼哈顿距离分别为d M,N1，d M,N2，求d M,N1和d M,N2的最小值；(2)已知点N是直线x+k2y+2k+1=0 k0上的动点，点M 0,2与点N的曼哈顿距离d M,N的最小值记为 f k，求 f k的最大值；(3)已

16、知点M ek,kek，点N(m,n)(k，m，nR，e是自然对数的底)，当k1时，d M,N的最大值为f m,n，求 f m,n的最小值914(23-24高三下河南郑州阶段练习)若函数 f x的定义域、值域都是有限集合A=a1,a2,an，nN*，则定义 f x为集合A上的有限完整函数.已知g x是定义在有限集合M=1,2,3,4,5,6,7上的有限完整函数.(1)求7i=1ig(i)的最大值；(2)当i=1,2,3,4时，均有g i-1，都有kx-f x+m0；(3)已知对任意x0-1，fx0,f x0-x0fx0都是 f x的“正向数组”，求a的取值范围17(23-24高三上上海静安期末)

17、如果函数y=f(x)满足以下两个条件，我们就称y=f(x)为L型函数对任意的x 0,1，总有 f(x)0；当x10,x20,x1+x21时，总有 f(x1+x2)f(x1)+f(x2)成立(1)记g(x)=x2+12，求证：y=g(x)为L型函数；(2)设bR，记p(x)=ln(x+b)，若y=p(x)是L型函数，求b的取值范围；(3)是否存在L型函数y=r(x)满足：对于任意的m 0,4，都存在x0 0,1，使得等式r(x0)=m成立？请说明理由1118(2023吉林二模)椭圆曲线加密算法运用于区块链椭圆曲线C=(x,y)y2=x3+ax+b,4a3+27b20PC关于x轴的对称点记为PC在

18、点P(x,y)(y0)处的切线是指曲线y=x3+ax+b 在点P处的切线定义“”运算满足：若PC,QC，且直线PQ与C有第三个交点R，则PQ=R；若PC,QC，且PQ为C的切线，切点为P，则PQ=P；若PC，规定PP=0*，且P0*=0*P=P(1)当4a3+27b2=0时，讨论函数h(x)=x3+ax+b零点的个数；(2)已知“”运算满足交换律、结合律，若PC,QC，且PQ为C的切线，切点为P，证明：PP=Q；(3)已知P x1,y1C,Q x2,y2C，且直线PQ与C有第三个交点，求PQ的坐标参考公式：m3-n3=(m-n)m2+mn+n2题型三：数列新定义题型三：数列新定义3 3记实数

19、a、b 中较小者为 min a,b，例如 min 1,2=1，min 1,1=1，对于无穷数列 an，记 hk=min a2k-1,a2k.若对任意kN*均有hk0,an1，t0，证明：lnan2，对于任意的nN N*，都存在mN N*，使得2bn=bm，求a的值；(3)各项均为正数的数列 cn的前n项和为Sn，且 cn为常数列，对满足m+n=2t，mn的任意正整数m,n,t都有cmcn，且不等式Sm+SnSt恒成立，求实数的最大值1525(23-24高三下海南省直辖县级单位开学考试)由nn个数排列成n行n列的数表称为n行n列的矩阵，简称nn矩阵，也称为n阶方阵，记作：A(n,n)=a11a1

20、2a13a1na21a22a23a2na31a32a33a3nan1an2an3ann其中aijiN*,jN*,i,jn表示矩阵A中第i行第 j列的数已知三个n阶方阵分别为A(n,n)=a11a12a13a1na21a22a23a2na31a32a33a3nan1an2an3ann,B(n,n)=b11b12b13b1nb21b22b23b2nb31b32b33b3nbn1bn2bn3bnn，C(n,n)=c11c12c13c1nc21c22c23c2nc31c32c33c3ncn1cn2cn3cnn，其中aij，bij，ciji,jN*,i,jn分别表示A(n,n),B(n,n),C(n,n

21、)中第i行第 j列的数若cij=(1-)aij+bij(R)，则称C(n,n)是A(n,n),B(n,n)生成的线性矩阵(1)已知A(2,2)=2411,B(2,2)=34-112，若C(2,2)是A(2,2),B(2,2)生成的线性矩阵，且c11=3，求C(2,2)；(2)已知nN*,n3，矩阵A(n,n)=a11a12a1n3323na1na2nann,B(n,n)=b11b12b1n12nb1nb2nbnn，矩阵C(n,n)是A(n,n),B(n,n)生成的线性矩阵，且c21=2(i)求c23,c2kkN*,kn；(ii)已知数列 bn满足bn=n，数列 dn满足dn=n2c2n-n，数

22、列 dn的前n项和记为Tn，是否存在正整数m,n，使Tn=bm+12bm成立？若存在，求出所有的正整数对(m,n)；若不存在，请说明理由1626(23-24高三上北京丰台期末)对于数列an，如果存在正整数T，使得对任意n(nN N*)，都有an+T=an，那么数列an就叫做周期数列，T叫做这个数列的周期若周期数列bn，cn满足：存在正整数k，对每一个i(ik,iN N*)，都有bi=ci，我们称数列bn和cn为“同根数列”(1)判断下列数列是否为周期数列如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；an=sinn；bn=1,n=1,3,n=2,bn-1-bn-2,n3.(2)若an和bn是“同

23、根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：k6；(3)若an和bn是“同根数列”，且周期的最小值分别是m+2和m+4(mN N*)，求k的最大值27(2023北京高考真题)已知数列 an,bn的项数均为m(m2)，且an,bn1,2,m,an,bn的前n项和分别为An,Bn，并规定A0=B0=0对于k 0,1,2,m，定义rk=max iBiAk,i0,1,2,m，其中，maxM表示数集M中最大的数.(1)若a1=2,a2=1,a3=3,b1=1,b2=3,b3=3，求r0,r1,r2,r3的值；(2)若a1b1，且2rjrj+1+rj-1,j=1,2,m-1,，求rn；(3)证明：存在 p

24、,q,s,t 0,1,2,m，满足pq,st,使得Ap+Bt=Aq+Bs1728(2022上海闵行一模)将有穷数列 an中部分项按原顺序构成的新数列 bn称为 an的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”cn.若bn各项的和与 cn各项的和相等，则称 bn和 cn为数列an的一对“完美互补子列”.(1)若数列 an为2,3,5,6,8,9，请问 an是否存在“完美互补子列”？并说明理由；(2)已知共100项的等比数列 an为递减数列，且a10，公比为q.若 an存在“完美互补子列”，求证：12q1；(3)数列 an满足an=n,1nm,nN N.设 an共有 f(m)对“完美互补子列”，求证

25、：当m=4k和m=4k+3 kN N时，an都存在“完美互补子列”且 f(4k+3)3f(4k).题型四：圆锥曲线新定义题型四：圆锥曲线新定义4 4已知抛物线:x2=4y，P x0,y0为抛物线上的点，若直线l经过点P且斜率为x02，则称直线l为点P的“特征直线”.设x1、x2为方程x2-ax+b=0(a,bR)的两个实根，记 a,b=|x1|,|x1|x2|x2|,|x1|0且1时，我们把方程x2a2+y2b2=ab0表示的椭圆C称为椭圆x2a2+y2b2=1 ab0的相似椭圆已知椭圆C:x24+y2=1，椭圆C(0且1)是椭圆C的相似椭圆，点P为椭圆C上异于其左、右顶点M,N的任意一点(1

26、)当=2时，若与椭圆C有且只有一个公共点的直线l1，l2恰好相交于点P，直线l1，l2的斜率分别为k1,k2，求k1k2的值；(2)当=e2(e为椭圆C的离心率)时，设直线PM与椭圆C交于点A,B，直线PN与椭圆C交于点D,E，求AB+DE的值1930给出如下的定义和定理：定义：若直线l与抛物线有且仅有一个公共点P，且l与的对称轴不平行，则称直线l与抛物线相切，公共点P称为切点.定理：过抛物线y2=2px上一点 x0,y0处的切线方程为y0y=px0+px.完成下述问题：如图所示，设E，F是抛物线:y2=2px(p0)上两点.过点E，F分别作抛物线的两条切线l1，l2，直线l1，l2交于点C，

27、点A，B分别在线段EC，CF的延长线上，且满足EC=CA,CF=FB，其中0.(1)若点E，F的纵坐标分别为y1，y2，用y1，y2和p表示点C的坐标.(2)证明：直线AB与抛物线相切；(3)设直线AB与抛物线相切于点G，求SEFGSABC.2031阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作 圆锥曲线 一书中阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q，P的距离之比MQMP=0,1，是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=4，定点分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1 ab0的右焦点F与右

28、顶点A，且椭圆C的离心率为e=12(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，过右焦点F斜率为k k0的直线l与椭圆C相交于B，D(点B在x轴上方)，点S，T是椭圆C上异于B，D的两点，SF平分BSD，TF平分BTD求BSDS的取值范围；将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若SFT外接圆的面积为818，求直线l的方程21题型五：立体几何新定义题型五：立体几何新定义一、解答题一、解答题32已知a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，c=(x3,y3,z3)，定义一种运算：(ab)c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1，已知四棱锥P-A

29、BCD中，底面ABCD是一个平行四边形，AB=(2,-1,4)，AD=(4,2,0)，AP=(-1,2,1)(1)试计算(AB AD)AP 的绝对值的值，并求证PA面ABCD；(2)求四棱锥P-ABCD的体积，说明(AB AD)AP 的绝对值的值与四棱锥P-ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算(AB AD)AP 的绝对值的几何意义.33类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA，PB，PC构成的三面角P-ABC，APC=，BPC=，APB=，二面角A-PC-B的大小为，则cos=coscos+sinsincos(1)当、0,2时，证明以上三面角余弦定理；

30、(2)如图2，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，平面AA1C1C平面ABCD，A1AC=60，BAC=45，求A1AB的余弦值；在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由2234蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H-ABC，J-CDE，K-EFA，再分别以AC，CE，EA为轴将ACH，CEJ，EAK分别向上翻转180，使H，J，K三点重合为点S所围成的曲顶多面体(下底面开口)，如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点

31、的曲率规定等于2减去蜂房多面体在该点的各个面角之和(多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示).例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3，所以正四面体在各顶点的曲率为2-33=.(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设BH=x(i)用x表示蜂房(图2右侧多面体)的表面积S(x)；(ii)当蜂房表面积最小时，求其顶点S的曲率的余弦值.23题型六：统计新定义题型六：统计新定义一、解答题一、解答题35(2023-湖南郴州-统考三模)chatGPT是由OpenAI开发的一款人工智能机器人程序，一经推出就火遍全球.chatGPT的开发主要采用RLHF(人类反

32、馈强化学习)技术，训练分为以下三个阶段.第一阶段：训练监督策略模型.对抽取的prompt数据，人工进行高质量的回答，获取数据对，帮助数学模型GPT-3.5更好地理解指令.第二阶段：训练奖励模型.用上一阶段训练好的数学模型，生成k个不同的回答，人工标注排名，通过奖励模型给出不同的数值，奖励数值越高越好.奖励数值可以通过最小化下面的交叉熵损失函数得到：Loss=-ni=1yilnyi，其中yi0,1,yi(0,1)，且ni=1yi=1.第三阶段：实验与强化模型和算法.通过调整模型的参数，使模型得到最大的奖励以符合人工的选择取向.参考数据：ln20.693,ln51.609,ln71.946(1)若

33、已知某单个样本，其真实分布y=y1,y2,y10=0,0,0,0,1,0,0,0,0,0，其预测近似分布y=y1,y2,y10=0,0.2,0,0,0.7,0,0,0.1,0,0，计算该单个样本的交叉熵损失函数Loss值.(2)绝对值误差MAE也是一种比较常见的损失函数，现已知某n阶变量的绝对值误差，MAE=1Nniyi-yi，其中 yi-yi=yi1-yi1+yi2-yi2+yin-yin，N表示变量的阶.若已知某个样本是一个三阶变量的数阵y=y1y2y3=y11,y12,y13y21,y22,y23y31,y32,y33，其真实分布是y=0,0,10,1,01,0,0，现已知其预测分布为y

34、=a,b,cc,a,bb,c,a，求证：该变量的绝对值误差MAE为定值.(3)在测试chatGPT时，如果输入问题没有语法错误chatGPT的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，chatGPT的回答被采纳的概率为50%.现已知输入的问题中出现语法错误的概率为5%，现已知chatGPT的回答被采纳，求该问题的输入语法没有错误的概率.2436(2023-全国-模拟预测)某校20名学生的数学成绩xi(i=1,2,20)和知识竞赛成绩yi(i=1,2,20)如下表：学生编号i12345678910数学成绩xi100999693908885838077知识竞赛成绩yi29016022020065

35、709010060270学生编号i11121314151617181920数学成绩xi75747270686660503935知识竞赛成绩yi4535405025302015105计算可得数学成绩的平均值是x=75，知识竞赛成绩的平均值是y=90，并且20i=1xi-x2=6464，20i=1yi-y2=149450，20i=1xi-xyi-y=21650(1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数(精确到0.01)(2)设NN*，变量x和变量y的一组样本数据为xi,yi|i=1,2,N，其中xi(i=1,2,N)两两不相同，yi(i=1,2,N)两两不相同记xi在 xn|n=1,2

36、,N中的排名是第Ri位，yi在 yn|n=1,2,N中的排名是第Si位，i=1,2,N定义变量x和变量y的“斯皮尔曼相关系数”(记为)为变量x的排名和变量y的排名的样本相关系数(i)记di=Ri-Si，i=1,2,N证明：=1-6N N2-1Ni=1d2i(ii)用(i)的公式求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”(精确到0.01)(3)比较(1)和(2)(ii)的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势注：参考公式与参考数据r=ni=1xi-xyi-yni=1xi-x2ni=1yi-y2；nk=1k2=n(n+1)(2n+1)6；6464149450 31

37、0002537(2024下-浙江-高三校联考开学考试)一般地，n元有序实数对 a1,a2,an称为n维向量.对于两个n维向量a=a1,a2,an,b=b1,b2,bn，定义：两点间距离d=b1-a12+b2-a22+bn-an2，利用n维向量的运算可以解决许多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个标准点的距离dn，与哪个标准点的距离dn最近就归为哪类.某公司对应聘员工的不同方面能力进行测试，得到业务能力分值 a1管理能力分值 a2计算机能力分值a3沟通能力分值 a4(分值aiN N*,i 1,2,3,4代表要求度，1分最低，5分最高)并形成测试报告.不同岗位的具

38、体要求见下表：岗位业务能力分值a1管理能力分值a2计算机能力分值a3沟通能力分值a4合计分值会计(1)215412业务员(2)523515后勤(3)235313管理员(4)454417对应聘者的能力报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种能力分值分别对应四维向量=a1,a2,a3,a4的四个坐标.(1)将这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；(2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方d2n均小于20的应聘者才能被招录.(i)小刚测试报告上的四种能力分值为 0=4,3,2,5，将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业123

39、4的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位；(ii)小明已经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业1234的推荐率 p分别为1443,1343,943,743pn=d2nd21+d22+d23+d24，试求小明的各项能力分值.2638(2024上-北京-高三阶段练习)设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为P X=ak=xk，P Y=ak=yk，xk0，yk0，k=1,2,n,nk=1xk=nk=1yk=1指标D(XY)可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为D(XY)=nk=1xklnxkyk设XB(n,p),0p1(1)若YB(n,q),0q1，求D(XY)；(2

40、)若n=2,P(Y=k-1)=13,k=1,2,3，求D(XY)的最小值；(3)对任意与X有相同可能取值的随机变量Y，证明：D(XY)0，并指出取等号的充要条件120242024年新高考新结构题型第年新高考新结构题型第1919题考点预测之创新定义题型题考点预测之创新定义题型本节题目专门针对新结构题型的第本节题目专门针对新结构题型的第1919题题(1717分分)，难度系数困难，难度系数困难“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学

41、知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.新定义问题的方法和技巧：(1 1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；(2 2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；(3 3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；(4 4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.题型一：集合新定义题型一：集合新定义题型二：函数新定义题型二：函数新定义题型三：数列新定义题型三：数列新定义题型四：圆锥曲线新定义题

42、型四：圆锥曲线新定义题型五：立体几何新定义题型五：立体几何新定义题型六：统计新定义题型六：统计新定义题型一：集合新定义题型一：集合新定义1 1已知正整数 n 5，集合 Sn=X X=x1,x2,xn,xi 0,1,i=1,2,n.对于 Sn中的元素 A=a1,a2,an，B=b1,b2,bn，定义AB=a1b1+a2b2+anbn，令Tn=XSnXX=3.(1)直接写出T6的两个元素及T6的元素个数；(2)已知A1，A2，AmT6，满足对任意1i jm，都有AiAj=1，求m的最大值；(3)证明：对任意A1，A2，An+1Tn，总存在1i2，令k=cj3，不妨设A1，A2，Ak满足ai1=1，

43、其中i=1,2,k又因为AiAi=3，i=1,2,m且1i jm，AiAj=1，故 3-1k6-1，故k52，这与k3矛盾，引理证毕.回到原题，由引理3m=mi=1mj=1aij=6j=1cj26，得m=4A1=1,1,1,0,0,0，A2=1,0,0,1,1,0，A3=0,1,0,0,1,1，A4=0,0,1,1,0,1符合题意，综上，当n=6时，m的最大值为4(3)A1,A2An+1共有2n+1-1个非空子集，记为Di，i=1,2,2n+1-1，则S Di在每个分量得奇偶性下恰有2n种不同得状态，由n5知2n+1-12n由抽屉原理，存在两个不同的 A1,A2An+1的非空子集D、E，设S

44、D=d1,d2,dn，S E=e1,e2,en，有dj与ej奇偶性相同，j=1,2,n令F=X|XDE,XDE，由于DE，故F令S DE=s1,s2,sn，则S F=d1+e1-2s1,dn+en-2sn且dj+ej-2sj都为偶数，j=1,2,n不妨设F=A1,A2An，则ni=1AiAj=ni=1a1idj+ej-2sj为偶数而AiAi=3为奇数，故i2且nijAiAj=nija1idj+ej-2sj-3为奇数故必存在一个i 2,3,n，使得AiAj为奇数，又由于AiAj 0,1,2，从而AiAj=1一、解答题一、解答题1(23-24高三上黑龙江哈尔滨开学考试)已知 f x=x+1，g x

45、=x2+2.定义min a,b=a,abb,ba，设m x=min f x-t,g x-2t.(1)若t=3，画出函数m x的图象并直接写出函数m x的单调区间；3(2)定义区间A=p,q的长度L A=q-p.若B=A1A2AnnN*，AiAj=1i jn，则L B=ni=1L Ai.设关于x的不等式m xt的解集为D.是否存在实数t，且t3，使得L D=6?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)图象见解析，递减区间是(-,3,(5,6，递增区间是(3,5,(6,+)；(2)存在，t=3.【分析】(1)把t=3代入，求出m(x)，再画出函数m(x)的图象，求出单调区间作答.(

46、2)对t按1t2，20，因此当x3时，f(|x-3|)3时，(x-6)2+2-|x-3|+1=x2-13x+40=(x-5)(x-8)，则当3x5或x8时，f(|x-3|)g(|x-6|)，当5xg(|x-6|)，于是m(x)=x-3+1,x(-,58,+)(x-6)2+2,x(5,8)，函数m(x)的图象，如图，观察图象知，函数m(x)的递减区间是(-,3,(5,6，递增区间是(3,5,(6,+).(2)因为函数 f(x)的最小值为1，函数g(x)的最小值为2，函数m(x)的图象是函数 f(x)和函数g(x)的图象左右平移后，再取下方图形而得，因此函数m(x)的最小值为1，若不等式m(x)1

47、，又函数g(x)的最小值为2，则当1t2时，m(x)=f(|x-t|)=|x-t|+1t，即|x-t|t-1，解得1x2t-1，于是D=(1,2t-1)，若L(D)=6，则2t-2=6，解得t=4，矛盾，当2t3时，不等式 f(|x-t|)t的解集为(1,2t-1)，由g x-2tt，即 x-2t2+2t，解得x(2t-t-2,2t+t-2)，于是不等式g x-2tt的解集为(2t-t-2,2t+t-2)，又2t-t-2-(2t-1)=1-t-2 0，当且仅当t=3时取等号，即有(1,2t-1)(2t-t-2,2t+t-2)=，因此L(D)=2t-2+2 t-2，若L(D)=6，则2t-2+2

48、 t-2=6，又2t3，解得t=3，所以存在实数t=3满足条件.2(2024广东模拟预测)已知集合A中含有三个元素x,y,z，同时满足xyz；x+y+z为偶数，那么称集合A具有性质P.已知集合Sn=1,2,3,2n(nN*,n4)，对于集合Sn的非空子集B，若Sn中存在三个互不相同的元素a,b,c，使得a+b,b+c,c+a均属于B，则称集合B是集合Sn的“期待子集”.4(1)试判断集合A=1,2,3,5,7,9是否具有性质P，并说明理由；(2)若集合B=3,4,a具有性质P，证明：集合B是集合S4的“期待子集”；(3)证明：集合M具有性质P的充要条件是集合M是集合Sn的“期待子集”.【答案】

49、(1)不具有，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断；(2)首先根据性质P，确定集合B，再根据“期待子集”的定义，确定集合B是集合S4的“期待子集”；(3)首先证明充分性，存在三个互不相同的a,b,c，使得a+b,b+c,c+a均属于M证明满足性质P的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的a,b,c，再证明a+b,b+c,c+a均属于M，即可证明.【详解】(1)集合A=1,2,3,5,7,9不具有性质P，理由如下：(i)从集合A中任取三个元素x,y,z均为奇数时，x+y+z为奇数，不满足条件(ii)从集合A中

50、任取三个元素x,y,z有一个为2，另外两个为奇数时，不妨设y=2，xz，则有z-x2，即z-xy，不满足条件，综上所述，可得集合A=1,2,3,5,7,9不具有性质P.(2)证明：由3+4+a是偶数，得实数a是奇数，当a34，得1a3，即a=2，不合题意，当34a，得4a7，即a=5，或a=6(舍)，因为3+4+5=12是偶数，所以集合B=3,4,5，令a+b=3,b+c=4,c+a=5，解得a=2,b=1,c=3，显然a,b,cS4=1,2,3,4,5,6,7,8，所以集合B是集合S4的“期待子集”得证.(3)证明：先证充分性：当集合M是集合Sn的“期待子集”时，存在三个互不相同的a,b,c