专题06：平面向量（四大题型）-2024年新高考新题型试卷结构冲刺讲义含答案.pdf

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1、更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君2024 届新高考二轮复习第六讲届新高考二轮复习第六讲：平面向量平面向量6.已知Q为直线:210l xy+=上的动点，点P满足1,3QP=-uuu r，记P的轨迹为E，则（）A.E是一个半径为5的圆B.E是一条与l相交的直线C.E上的点到l的距离均为5D.E是两条平行直线题型一：平面向量的线性运算【典例例题】题型一：平面向量的线性运算【典例例题】例 1.（2024 春广东汕头市）在平行四边形ABCD中，点E是CD上靠近C的四等分点，BE与AC交于点F，则DF=uuur（）A.3255ABAD-uuu ruuurB.4155ABAD-uuu r

2、uuur专题06：平面向量（四大题型）-2024年新高考新题型试卷结构冲刺讲义更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君C.3144ABAD-uuu ruuurD.2355ABAD-uuu ruuur【变式训练】【变式训练】1.（2024 春江西南昌）在ABCV中，点 D 是线段 AB 上靠近 B 的四等分点，点 E 是线段 CD 上靠近 D 的三等分点，则AE=uuu r（）A2133CACB-+uuu ruuu rB1526CACB-uuu ruuu rC1233CACB-+uuu ruuu rD5162CACB-+uuu ruuu r2.（2024 春辽宁辽阳）在ABCV中，2

3、AC=，D 为 AB 的中点，172CDBC=，P 为 CD 上一点，且13APmACAB=+uuu ruuuruuu r，则AP=uuu r（）A314B133C132D2 1333.（2024 春江苏南京）如图 1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图 2，是一个纸风车示意图，则（）AOCOE=uuuruuu rB0OA OBuu

4、u r uuu rC2OAODOE+=uuu ruuuruuu rD0OAOCOD+=ruuu ruuuruuur故选：C题型二：平面向量的数量积运算题型二：平面向量的数量积运算【典例例题】【典例例题】例1.（2024春湖南长沙）已知单位向量ar，br满足3abab+=-rrrr，则ar在br方向上的投影向量为（）A.12brB.12b-rC.brD.b-r【变式训练】【变式训练】更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君1.（2024 春河北衡水）若,a brr都为非零向量，且2aab+rrr，32abab+=-rrrr，则向量,a brr的夹角为（）A.4B.34C.3D.232

5、.（2024 春广东省）已知非零向量ABuuu r与ACuuur满足0ABACBCABAC+=uuu ruuuruuu ruuu ruuur，且12ABACABAC=uuu ruuuruuu ruuur，则向量CAuuu r在向量CBuuu r上的投影向量为（）A32CBuuu rB12CBuuu rC32CB-uuu rD12CB-uuu r3.（2024 春新疆）已知向量1a=r，2b=r，|5c=r，且0abc+=rrrr，则cos,ca cb-=rr rr（）A.3434B.3417C.3 3434D.5 34344.（2024 春河南郑州）已知向量ar在br方向上的投影向量的模为2，

6、向量br在ar方向上的投影向量的模为 1，且23abab+-rrrr，则向量ar与向量br的夹角为（）A.6 B.4 C.3 D.34题型三：平面向量的坐标表示及运算题型三：平面向量的坐标表示及运算【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春北京朝阳）在ABCV中，4 2ABAC=，当Rl时，ABBCl+uuu ruuu r的最小值为4.若AMMB=uuuu ruuur，22sincosAPABACqq=+uuu ruuu ruuur，其中,63q，则MPuuur的最大值为（）A2B4C2 5D4 2【变式训练】【变式训练】1.（2024 春湖北省）在四边形ABCD中，四个顶点 A，B，C，

7、D 的坐标分别是2,0-，1,3-，3,4，2,3，E，F 分别为,AB CD的中点，则EF AB=uuu r uuu r（）A.10B.12C.14D.162.（2024 春江西省）在平面直角坐标系xOy中，已知向量OAuuu r与OBuuu r关于 x 轴对称，向量0,1a=r，则满足不等式20OAa AB+uuu ruuu rr的点,A x y的集合用阴影表示为（）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君ABCD3.（2024 春安徽合肥）已知向量2,4a=-r，1,bt=r，若ar与br共线，则向量ab+rr在向量0,1j=r上的投影向量为（）A.jrB.j-rC.2 jr

8、D.2 j-r4.（2024 春广东省东莞市）已知向量1,2a=r，2,1b=-r，则使 0ababll+-rrrr成立的一个充分不必要条件是_题型四：平面向量在几何中的应用题型四：平面向量在几何中的应用【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春黑龙江）在ABCV中，若1,2ABACCACB+=+=uuu ruuuruuruuu r，则ABCV的面积的最大值为（）A16B15C14D13【变式训练】【变式训练】1.（2024 春 广东惠州市）如图，在三棱锥-PABC中，已知PA 平面ABC，120ABC=，6PAABBC=，则向量PCuuu r在向量BCuuu r上的投影向量为_（用向量B

9、Cuuu r来表示）.2.（2024 春江西省）在ABCV中，已知 D 为边 BC 上一点，CDDBl=，4BAD=若tanACB的最大值为 2，则常数l的值为（）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君A1034-B1034+C1014+D1014-3.（2024江西）如图，正六边形的边长为2 2，半径为 1 的圆 O 的圆心为正六边形的中心，若点 M 在正六边形的边上运动，动点 A，B 在圆 O 上运动且关于圆心 O 对称，则MA MBuuur uuur的取值范围为（）A4,5B5,7C4,6D5,84（2024 春云南保山）如图，已知正方形ABCD的边长为 4，若动点P在以A

10、B为直径的半圆上（正方形ABCD内部，含边界），则PC PDuuu r uuu r的取值范围为（）A0,16B0,16C0,4D0,4一、单项选择1.（2024 春广东省）已知向量1,1a=r，,2bm=r，且aab-rrr，则b=r（）A.2 B.3 C.4 D.2 22.（2024 春新疆）已知向量2,1ax=r，8,bx=r，则“ar/br”是 2x=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3（2024江西南昌）在ABCV中，22,4,3ABACBACD=是边BC上一点，且2AB AD=-uuu r uuur，则（）A1233ADABAC=+uuu

11、ruuu ruuurB2133ADABAC=+uuuruuu ruuur更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君C1344ADABAC=+uuuruuu ruuurD3144ADABAC=+uuuruuu ruuur4.（2024 春湖南衡阳）已知圆C的半径为 1，过圆C外一点P作一条切线与圆C相切于点A，|2PA=，Q为圆C上一个动点，则PA PQuuu r uuu r的取值范围为（）A2,4B2,6C0,4D4,6 5（2024 春广东广州）如图所示，O 点在ABCV内部，,D E分别是,AC BC边的中点，且有230OAOBOC+=uuu ruuu ruuu rr，则AEC的

12、面积与AOCV的面积的比为（）A32B23C43D34二、多选6.（2024 春广西桂林）已知12e eur uu r，是夹角为3的单位向量，122aee=-ru ru r，12bee=+ruruu r，下列结论正确的是（）A.|3a=rB.12a b=-r rC.2,3a b=r rD.ar在br上的投影向量为12b-r7.（2024 春贵州）在ABCV中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则下列说法正确的是（）A若0ABACBCABAC+=uuu ruuuruuu ruuu ruuur，且12ABACABAC=uuu ruuuruuu ruuur，则ABCV为直角三角形B若2

13、3a=，4b=，Aq=，要使满足条件的三角形有且只有两个，则0,3qC若ABCV平面内有一点O满足：0OAOBOC+=uuu ruuu ruuurr，且OAOBOC=uuu ruuu ruuur，则ABCV为等边三角形D若tantantan0ABC+，则ABCV为钝角三角形8（2024 春湖北武汉）已知向量cos,sinaqq=r，3,4b=-r，则（）A若/a brr，则4tan3q=-B若abrr，则3sin5q=Cab-rr的最大值为 6D若0aab-=rrr，则2 6ab-=rr更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君三、填空题9.（2024 春广东华侨中学）已知1a=r，

14、1,0b=r，且2 abab+=-rrrr，则ar在br上的投影向量为_.10.（2024 春广东深圳市）已知单位向量,a brr满足23ab+=rr，则ab-=rr_.11.（2024 春吉林）已知向量7,6a=-r，5,3b=-r，则+=rrab_12.（2024 春安徽）等边三角形ABC的边长是2，,D E分别是AB与BC的中点，则AE DE=uuu r uuur_.13（2024 春河北衡水）在ABCV中，O是边BC的中点，APtAO=uuu ruuur，过点P的直线l交直线,AB AC分别于,M N两点，且,AMmAB ANnAC=uuuu ruuu r uuuruuur，则11mn

15、+=.14（2024 春陕西西安）在ABCV中，D在BC上，且2BDDC=uuu ruuur，E在AD上，且4ADAE=uuuruuu r.若BExAByAC=+uuu ruuu ruuur，则xy+=.15（2024春天津和平）如图，在ABCV中，3BOOC=uuu ruuur，过点O的直线分别交直线,AB AC于不同的两点,M N，记,ABa ACb=uuu ruuurrr，用,a brr表示AO=uuur ；设,ABmAM ACnAN=uuu ruuuu r uuuruuur，若0,0mn，则21mn+的最小值为 16（2024 春天津）在梯形ABCD中，/,2,1,120,ABCD A

16、BBCCDBCDPQ=、分别为线段BC和线段CD上的动点，且1,2BPBC DQDCll=uuu ruuu r uuuruuur，则DP AQuuu r uuur的取值范围为 17（2024 春广西）在矩形ABCD中，4AB=，3AD=，13AMAD=uuuu ruuur，12APAB=uuu ruuu r，过 M 点作MNAB交BC于 N 点，若 E，F 分别是MN和CD上动点，且6EF=，则PE PFuuu r uuu r的最小值为 .18（2024 春北京大兴）如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为 1 的圆O，外框是以为O中心，边长为 2 的正六边形ABCDEF，则O到线段AC的距离为

17、 ；若P是圆O上的动点，则AC APuuur uuu r的取值范围是 .更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君 更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君2024 届新高考二轮复习第六讲届新高考二轮复习第六讲：平面向量平面向量6.已知Q为直线:210l xy+=上的动点，点P满足1,3QP=-uuu r，记P的轨迹为E，则（）A.E是一个半径为5的圆B.E是一条与l相交的直线C.E上的点到l的距离均为5D.E是两条平行直线【答案】C【解析】【详解】设,P x y，由1,3QP=-uuu r，则1,3Q xy-+，由Q在直线:210l xy+=上，故12310 xy-+=

18、，化简得260 xy+=，即P的轨迹为E为直线且与直线l平行，E上的点到l的距离226 1512d-=+，故 A、B、D 错误，C 正确.故选：C.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君题型一：平面向量的线性运算题型一：平面向量的线性运算【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春广东汕头市）在平行四边形ABCD中，点E是CD上靠近C的四等分点，BE 与AC交于点F，则DF=uuur（）A.3255ABAD-uuu ruuurB.4155ABAD-uuu ruuurC.3144ABAD-uuu ruuurD.2355ABAD-uuu ruuur【答案】B【解析】【详解】平行四边

19、形ABCD中,ABCD，则ABFVCEFV，因为点E是CD上靠近C的四等分点，所以4AFABCFCE=，所以45AFAC=，故441()555DFAFADABADADABAD=-=+-=-uuuruuu ruuuruuu ruuuruuuruuu ruuur故选：B【变式训练】【变式训练】1.（2024 春江西南昌）在ABCV中，点 D 是线段 AB 上靠近 B 的四等分点，点 E 是线段 CD 上靠近 D 的三等分点，则AE=uuu r（）A2133CACB-+uuu ruuu rB1526CACB-uuu ruuu rC1233CACB-+uuu ruuu rD5162CACB-+uuu

20、ruuu r【答案】D【详解】如图，由题意得23CECD=uuu ruuu r，34ADAB=uuuruuu r，故22123333AEACCEACCDACADACACAD=+=+=+-=+uuu ruuuruuu ruuuruuu ruuuruuuruuuruuuruuur111151323262ACABCACBCACACB=+=-+-=-+uuuruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君2.（2024 春辽宁辽阳）在ABCV中，2AC=，D 为 AB 的中点，172CDBC=，P 为 CD 上一点，且13APmACA

21、B=+uuu ruuuruuu r，则AP=uuu r（）A314B133C132D2 133【答案】D【详解】因为 D 为 AB 的中点，则12CDCACB=+uuu ruuu ruuu r，可得222124CDCACBCA CB=+uuu ruuu ruuu ruuu r uuu r，即1742824CA CB=+uuu r uuu r，解得2CA CB=-uuu r uuu r，又因为 P 为 CD 上一点，设CPCDl=uuu ruuu r，则111223APACCPACCDACABACACABmACABllll=+=+=+-=-+=+uuu ruuuruuu ruuuruuu ruu

22、uruuu ruuuruuuruuu ruuuruuu r，可得1123mll-=，解得1323ml=，即23=uuruuu rCPCD，则2 11213 2233APACCPCACACBCACB=+=-+=-+uuu ruuuruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r，可得222414529999=+-=uu u ruu ruuruu r uurAPCACBCA CB，即2 133AP=uuu r.故选：D.3.（2024 春江苏南京）如图 1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别

23、向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图 2，是一个纸风车示意图，则（）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君AOCOE=uuuruuu rB0OA OBuuu r uuu rC2OAODOE+=uuu ruuuruuu rD0OAOCOD+=ruuu ruuuruuur【答案】C【详解】不妨设|1OBOCOE=uuu ruuuruuu r，则|2OAOD=uuu ruuur，对于 A 项，显然OCuuur与OEuuu r方向不一致，所以OCOEuu

24、uruuu r，故 A 项错误；对于 B 项，由图知AOB是钝角，则|cos0OA OBOAOBAOB=uuu r uuu ruuu ruuu r，故 B 项错误；对于 C 项，由题意知点E是线段AD的中点，则易得：1()2OEOAOD=+uuu ruuu ruuur,即得：2OAODOE+=uuu ruuuruuu r，故 C 项正确；对 于 D 项，由()2OAOCODOAOODOCOCE+=+=+uuu ruuuruuuruuu ruuuruuuruuu ruuur，而OEuuu r与OCuuur显 然 不 共 线，故0OAOCOD+ruuu ruuuruuur即D项错误故选：C题型二：

25、平面向量的数量积运算题型二：平面向量的数量积运算【典例例题】【典例例题】例1.（2024春湖南长沙）已知单位向量ar，br满足3abab+=-rrrr，则ar在br方向上的投影向量为（）A.12brB.12b-rC.brD.b-r【答案】A【解析】【详解】因为3abab+=-rrrr，所以223abab+=-rrrr，即2222232aa bbaa bb+=-+rr rrrr rr，即223 22a ba b+=-r rr r，解得12a b=r r.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君所以ar在br方向上的投影向量为12a b bbbb=r rrrrr.故选:A.【变式训练】

26、【变式训练】1.（2024 春河北衡水）若,a brr都为非零向量，且2aab+rrr，32abab+=-rrrr，则向量,a brr的夹角为（）A.4B.34C.3D.23【答案】D【解析】【详解】因为2aab+rrr，32abab+=-rrrr，所以222032aababab+=+=-rrrrrrr，即2222038100aa baba b+=-+=rrrrrrr，化简得222aba b=-rrr r，所以2aba b=-rrr r所以1cos,22.a ba ba ba ba b=-r rr rr rr rrr因为0,a brr，所以2,3a b=rr故选：D2.（2024 春广东省）已

27、知非零向量ABuuu r与ACuuur满足0ABACBCABAC+=uuu ruuuruuu ruuu ruuur，且12ABACABAC=uuu ruuuruuu ruuur，则向量CAuuu r在向量CBuuu r上的投影向量为（）A32CBuuu rB12CBuuu rC32CB-uuu rD12CB-uuu r【答案】B【详解】因为|ABABuuu ruuu r和ACACuuu ruuu r分别表示向量ABuuu r和向量ACuuur方向上的单位向量，由0ABACBCABAC+=uuu ruuuruuu ruuu ruuur，可得A的角平分线与BC垂直，所以ABCV为等腰三角形，且AB

28、AC=，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君又12ABACABAC=uuu ruuuruuu ruuur，得1cos2ABACAB ACABAC=uuu ruuuruuu r uuuruuu ruuur,，所以1cos,2AB AC=uuu r uuur，又,0,AB AC uuu r uuur，所以3AAB AC=uuu r uuur,所以ABCV为等边三角形，所以向量CAuuu r在向量CBuuu r上的投影向量为221|122|CBCB CA CBCBCBCBCBCB=uuu ruuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r，故选：B.

29、3.（2024 春新疆）已知向量1a=r，2b=r，|5c=r，且0abc+=rrrr，则cos,ca cb-=rr rr（）A.3434B.3417C.3 3434D.5 3434【答案】D【解析】【详解】由0abc+=rrrr可得abc+=-rrr，所以22142=5=0abca ba brrrr rr r+=-+，同理由acb+=-rrr和abcrrr-=+可得=4=1b ca cr rr r,，-所以 2=54 1 010cacbcb ca ca brrrrrr rr rr r-+=+=，2222=25 122 2=254817cacaa ccbcbb crrrrr rrrrrr r,

30、-+-=+=-+-=+=故 105 34cos,=342 217cacbca cbca cbrrrrrr rrrr rr-=-，故选：D4.（2024 春河南郑州）已知向量ar在br方向上的投影向量的模为2，向量br在ar方向上的投影向量的模为 1，且23abab+-rrrr，则向量ar与向量br的夹角为（）A.6 B.4 C.3 D.34【答案】B题型三：平面向量的坐标表示及运算题型三：平面向量的坐标表示及运算【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春北京朝阳）在ABCV中，4 2ABAC=，当Rl时，ABBCl+uuu ruuu r的最小值为4.若更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众

31、号：高中试卷君AMMB=uuuu ruuur，22sincosAPABACqq=+uuu ruuu ruuur，其中,63q，则MPuuur的最大值为（）A2B4C2 5D4 2【答案】C【详解】如下图所示：在直线BC上取一点D，使得BDBCl=uuu r，所以ABBCABBDADl+=+=uuu ruuu ruuu ruuu ruuur，当ADBC时，ABBCl+uuu ruuu r取得最小值为4，即4AD=uuur；又4 2ABAC=，所以可得ABCV是以A为顶点的等腰直角三角形，建立以A为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示：又AMMB=uuuu ruuur可得M为AB的中点，由22si

32、ncosAPABACqq=+uuu ruuu ruuur以及22sincos1qq+=可得P在BC上，可得0,0,0,4 2,4 2,0,0,2 2ABCM，所以0,4 2,4 2,0ABAC=uuu ruuur，可得224 2cos,4 2sinPqq，则224 2cos,4 2sin2 2MPqq=-uuur，令2costq=，由,63q可得21 3cos,4 4tq=，所以4 2,2 24 2MPtt=-uuur，2224 22 24 264328MPtttt=+-=-+uuuur，由二次函数264328ytt=-+在1 3,4 4t上单调递增可得，2max33643282 544MP=

33、-+=uuuur.故选：C更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君【变式训练】【变式训练】1.（2024 春湖北省）在四边形ABCD中，四个顶点 A，B，C，D 的坐标分别是2,0-，1,3-，3,4，2,3，E，F 分别为,AB CD的中点，则EF AB=uuu r uuu r（）A.10B.12C.14D.16【答案】A【解析】【详解】由题意，3 35 7,2 22 2EF-则4,2EF=uuu r，1,3AB=uuu r，4 12 310EF AB=+=uuu r uuu r.故选：A2.（2024 春江西省）在平面直角坐标系xOy中，已知向量OAuuu r与OBuuu r关

34、于 x 轴对称，向量0,1a=r，则满足不等式20OAa AB+uuu ruuu rr的点,A x y的集合用阴影表示为（）ABCD【答案】B【详解】由题，有,OAx y=uuu r，,OBxy=-uuu r，所以(,)B xy-，0,2ABy=-uuu r，所以22220OAa ABxyy+=+-uuu ruuu rr，即2211xy+-，所以点,A x y的集合是以0,1为圆心，1 为半径的圆的内部.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君故选：B3.（2024 春安徽合肥）已知向量2,4a=-r，1,bt=r，若ar与br共线，则向量ab+rr在向量0,1j=r上的投影向量为

35、（）A.jrB.j-rC.2 jrD.2 j-r【答案】C【解析】【详解】由向量2,4a=-r，1,bt=r，若ar与br共线，则240t-=，所以2t=-，(1,2)ab+=-rr，所以向量ab+rr在向量0,1j=r上的投影向量为：()(1,2)(0,1)21abjjjjjj+-=rrrrrrrr，故选：C4.（2024 春广东省东莞市）已知向量1,2a=r，2,1b=-r，则使 0ababll+-rrrr成立的一个充分不必要条件是_【答案】0l=（答案不唯一）【解析】【详解】因为1,2a=r，2,1b=-r，所以2,21ablll+=-+rr，2,21ablll-=+-rr，所以 222

36、441550abablllll+-=-+-=-rrrr，解得11l-，所以使 0ababll+-rrrr成立的一个充分不必要条件是0l=.故答案为：0l=（答案不唯一）题型四：平面向量在几何中的应用题型四：平面向量在几何中的应用【典例例题】【典例例题】更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君例 1.（2024 春黑龙江）在ABCV中，若1,2ABACCACB+=+=uuu ruuuruuruuu r，则ABCV的面积的最大值为（）A16B15C14D13【答案】D【详解】设,E F分别为,BC AB的中点，连接EF，则EFAC，则BEFBCAV，故14BEFABCSS=VV,则34

37、ABCACEFSS=V四边形，故43ABCACEFSS=V四边形又1,2ABACCACB+=+=uuu ruuuruuu ruuu r，则21,22ABACAECACBCF+=+=uuu ruuuruuu ruuu ruuu ruuu r，故1|,|12AECF=uuu ruuu r，当AECF时，四边形ACEF面积最大，最大值为1111224=，故ABCV的面积的最大值为411343=，故选：D【变式训练】【变式训练】1.（2024 春 广东惠州市）如图，在三棱锥-PABC中，已知PA 平面ABC，120ABC=，6PAABBC=，则向量PCuuu r在向量BCuuu r上的投影向量为_（用

38、向量BCuuu r来表示）.【答案】32BCuuu r【解析】在三棱锥-PABC中，已知PA 平面ABC，ABBCPCPA=+uuu ruuu ruuu ruuu r,更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君BC面ABC，,0PABC PA BC=uuu r uuu r，在ABCV中，120ABC=，6PAABBC=，236BC BCBC=uuu r uuu ruuu r,cos 1806 6cos 18012018AB BCABBCABC=-=-=uuu r uuu ruuu ruuu r，向量PCuuu r在向量BCuuu r上的投影向量为：222BCPC BCBCBCBCBC

39、BPAABBCPAABBCBCBCBCCBC+=uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r0 18363362BCBC+=uuu ruuu r，故答案为：32BCuuu r.2.（2024 春江西省）在ABCV中，已知 D 为边 BC 上一点，CDDBl=，4BAD=若tanACB的最大值为 2，则常数l的值为（）A1034-B1034+C1014+D1014-【答案】D【详解】令2CDDBll=且01l，即2BD=，则ABD外接圆半径为22sinB

40、DrBAD=，若(1,0),(1,0)BD-，ABD的外接圆方程为22()()2xmyn-+-=，所以2222120112mnmnmn+=-+=，令圆心(,)m n为(0,1)，即点A在圆22(1)2xy+-=被BD分割的优弧上运动，如下图，要使tanACB的最大，只需AC与圆相切，由上易知(12,0)Cl+，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君则2|(12)1 22(1)ACll l=+-=+，而|2(1)BCl=+，由圆的性质有DACB=，ABCV中|sinsin()4ACBCBB=+，3(2)244ACBBB=-+=-，显然38B，由3tantan(2)24ACBB=-=

41、，则1tan22tan23tan21BBB+=-，所以222tan33tan2tan301tanBBBB=+-=-，可得101tan3B-=（负值舍），故1013sin,cos202 10202 10BB-=-，而1sinsin()4BBll+=+，所以22(1)2(1)sinsincossin12sincosBBBBBBllll+=+，整理得111 2 1072 10ll+=-+，则11 2 1010144(101)l-=-.故选：D3.（2024江西）如图，正六边形的边长为2 2，半径为 1 的圆 O 的圆心为正六边形的中心，若点 M 在正六边形的边上运动，动点 A，B 在圆 O 上运动且

42、关于圆心 O 对称，则MA MBuuur uuur的取值范围为（）A4,5B5,7C4,6D5,8【答案】B【详解】由题意可得，MA MBMOOAMOOBMOOAMOOA=+=+-uuur uuuruuuu ruuu ruuuu ruuu ruuuu ruuu ruuuu ruuu r2221MOOAMO=-=-uuuu ruuu ruuuu r，当OM与正六边形的边垂直时，min6MO=uuuu r，当点M运动到正六边形的顶点时，max2 2MO=uuuu r，所以6,2 2MOuuuu r，则26,8MO uuuu r，即25,71MMA MBO-=uuuu ruuur uuur.更多全科

43、试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君故选：B4（2024 春云南保山）如图，已知正方形ABCD的边长为 4，若动点P在以AB为直径的半圆上（正方形ABCD内部，含边界），则PC PDuuu r uuu r的取值范围为（）A0,16B0,16C0,4D0,4【答案】B【详解】取CD的中点E，连接PE，如图所示，所以PE的取值范围是2ADAE，即2,2 5，又由()()PC PDPEEDPEEC=+uuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r22244CDPEPE=-=-uuu ruuu r，所以0,16PC PDuuu r uuu r.故选：B.一、单项选择1.（202

44、4 春广东省）已知向量1,1a=r，,2bm=r，且aab-rrr，则b=r（）A.2 B.3 C.4 D.2 2【答案】A2.（2024 春新疆）已知向量2,1ax=r，8,bx=r，则“ar/br”是 2x=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】若ar/br，等价于228x=，等价于2x=，所以“ar/br”是 2x=”的充要条件.故选：C.3（2024江西南昌）在ABCV中，22,4,3ABACBACD=是边BC上一点，且2AB AD=-uuu r uuur，则（）A1

45、233ADABAC=+uuuruuu ruuurB2133ADABAC=+uuuruuu ruuurC1344ADABAC=+uuuruuu ruuurD3144ADABAC=+uuuruuu ruuur【答案】C【详解】因为D是边BC上一点，故可设101ADABAClll=+-uuuruuu ruuur，则21AB ADABAC ABll=+-uuu r uuuruuu ruuur uuu r，因为22,4,3ABACBAC=，则1cos2 442AC ABAC ABBAC=-=-uuur uuu ruuur uuu r，24AB=uuu r，又2AB AD=-uuu r uuur，于是44

46、 12ll-=-，解得14l=，因此1344ADABAC=+uuuruuu ruuur.故选：C4.（2024 春湖南衡阳）已知圆C的半径为 1，过圆C外一点P作一条切线与圆C相切于点A，|2PA=，Q为圆C上一个动点，则PA PQuuu r uuu r的取值范围为（）A2,4B2,6C0,4D4,6【答案】B【详解】方法一：不妨设圆心(0,0)C，(0,1)A-，(2,1)P-，(cos,sin)Qqq，所以(2,0)(cos2,sin1)2cos4PA PQqqq=+=+uuu r uuu r，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君因为1cos1q-，所以26PA PQuuu

47、 r uuu r.方法二：如图，过圆心C作MNPA，且与圆C交于点 M，N，连接PM，PN，过 M，N 分别作MGPA，NHPA，垂足分别为 G，H，过Q作QTPA，垂足为T，则PQuuu r在PAuuu r方向上的投影向量为PTuuu r，则PA PQPA PTPAPT=uuu r uuu ruuu r uuu ruuu ruuu r，2PA=uuu r，又13PTuuu r，所以26PA PQuuu r uuu r.故选：B.5（2024 春广东广州）如图所示，O 点在ABCV内部，,D E分别是,AC BC边的中点，且有230OAOBOC+=uuu ruuu ruuu rr，则AEC的面

48、积与AOCV的面积的比为（）A32B23C43D34【答案】A【详解】由230OAOBOC+=uuu ruuu ruuurr可得2OAOCOBOC=-+uuu ruuuruuu ruuur，又因为,D E分别是,AC BC边的中点，所以2OAOCOD+=uuruuu ruuu r，2OBOCOE+=uuu ruuuruuu r，所以24ODOE=-uuuruuu r，即2ODOE=-uuuruuu r，所以,O D E三点共线，且32DEOD=，所以E到AC的距离与O到AC的距离之比也为32，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君又AEC的面积与AOCV的面积都以AC为底，所以A

49、EC的面积与AOCV的面积的比为32故选：A二、多选6.（2024 春广西桂林）已知12e eur uu r，是夹角为3的单位向量，122aee=-ru ru r，12bee=+ruruu r，下列结论正确的是（）A.|3a=rB.12a b=-r rC.2,3a b=r rD.ar在br上的投影向量为12b-r【答案】ACD【解析】【详解】对于选项 A，21,eeur uu r是夹角为3p的单位向量，则221212144 144 1 132aeee e=+-=+-=uruu rur uu rr，故3a=r，故选项 A 正确；对于选项 B，221212112213221 1 12 122a b

50、eeeeee ee=-+=-=-=-uruu ruruu rurur uu ruu rrr，故选项 B 错误；对于选项 C，22121212 1 12 1 132aeee e=+=+=uruu rur uu rr，所以312cos,233aba ba b-=-rrrrrr，又0,a brr，所以2,3a b=rr，故选项 C 正确；对于选项 D，ar在br上的投影向量为12b-r，故选项 D 正确.故选：ACD7.（2024 春贵州）在ABCV中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则下列说法正确的是（）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君A若0ABACBCABAC+