专题10：直线与圆的方程（四大题型）-2024年新高考新题型试卷结构冲刺讲义含答案.pdf

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1、更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君2024 届新高考二轮复习第十讲届新高考二轮复习第十讲：直线与圆的方程直线与圆的方程6.已知Q为直线:210l xy+=上的动点，点P满足1,3QP=-uuu r，记P的轨迹为E，则（）A.E是一个半径为5的圆B.E是一条与l相交的直线C.E上的点到l的距离均为5D.E是两条平行直线题型一：直线的方程【典例例题】题型一：直线的方程【典例例题】例 1.（2024 春新高考）已知直线20kxy-+=和以3,2M-，2,5N为端点的线段相交，则实数 k 的取值范围为（）A4,3-B3,2+专题10：直线与圆的方程（四大题型）-2024年新高考新题型

2、试卷结构冲刺讲义更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君C4 3,3 2-D43,32-+U【变式训练】【变式训练】1.（2024 春广东省华附、深中、省实、广雅四校联考）直线230 xy+=关于直线yx=-对称的直线方程是（）A.230 xy+-=B.230 xy+-=C.230 xy-=D.2330 xy+=2.（2024 春广东校联考一模）设点P在曲线exy=上，点Q在直线1eyx=上，则PQ的最小值为（）A21e1+B22e1+C2ee1+D23e1+3.（2024 春陕西西安）唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学

3、问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为4,1A-若将军从山脚下的点3,2B-处出发，河岸线所在直线方程为30 xy-+=，则“将军饮马”的最短总路程为（）A2B5C10D2 34.（2024四川成都）在平面直角坐标系xOy中，点(2,0)M，直线(2)1lyk x=-+：，点M关于直线l的对称点为N，则OM ONuuuu r uuur的最大值是（）A2B3C5D6题型二：圆的方程题型二：圆的方程【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春广东省潮州市）（多选）设过点(2,0)M的直线

4、与圆22:(4)16Cxy-+=相交于 A，B 两点，若点(0,4)P，则|PAPB+uuu ruuu r的值可能为（）A.8B.8 2C.12D.12 2【变式训练】【变式训练】1.（2024 春山东济南）已知P是圆22:9O xy+=上的动点，点Q满足3,4PQ=-uuu r，点1,1A，则AQ的最更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君大值为（）A8B9C293+D303+2.（2024 春广东省）动点P与两个定点0,0O，0,3A满足2PAPO=，则点P到直线l：430mxym-+-=的距离的最大值为_.3.（2024 春重庆）在同一直角坐标平面内，已知点0,0,2,0,0

5、,2OAB，点 P 满足0PA PB=uuu r uuu r，则OP OBuuu r uuu r的最小值为（）A22 2-B2 22-C2 22+D2 22-4.（2024 春北京海淀）已知AB是圆O：221xy+=的直径，C、D是圆O上两点，且60COD=o，则OCODAB+uuuruuuruuu r的最小值为（）A0B3-C3-D2 3-题型三：直线与圆的位置关系题型三：直线与圆的位置关系【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春广东汕头）（多选）如图，OA是连接河岸AB与OC的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB

6、垂直；保护区的边界为一个圆，该圆与BC相切，且圆心M在线段OA上；古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A C分别位于点O正北方向60m正东方向170m处，4tan3BCO=.根据图中所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是（）A新桥BC的长为150mB圆心M可以在点A处更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君C圆心M到点O的距离至多为35mD当OM长为20m时，圆形保护区的面积最大【变式训练】【变式训练】1.（2024 春广东省深圳市）过圆221xy+=上一点 A 作圆22(4)4xy-+=的切线，切点为 B，则|AB的最小值为（）A.2B.5C.6D.

7、72.（2024 春河北衡水）P是直线3450 xy-+=上的一动点，过P作圆22:4240C xyxy+-+=的两条切线，切点分别为,A B，则四边形PACB面积的最小值为（）A.2B.2 2C.4 2D.8 23.（2024 春江西南昌）直线:2l ykx=-与圆22:670C xyx+-=交于 A，B 两点，则AB的取值范围为（）A.7,4B.2 7,8C.3,4D.2 3,83.（2024 春广州市华南师大附中第一次调研）在直角坐标系xOy内，圆22:(2)(2)1Cxy-+-=，若直线:0l xym+=绕原点O顺时针旋转90o后与圆C存在公共点，则实数m的取值范围是（）A2,2-B4

8、2,42-+C22,22-+D22,22-+4.（2024 春湖北十堰）（多选）已知点0,5A，5,0B-，动点P在圆C：22348xy+-=上，则（）A直线AB截圆C所得的弦长为6BPABV的面积的最大值为 15C满足到直线AB的距离为2的P点位置共有 3 个DPA PBuuu r uuu r的取值范围为24 5,24 5-+题型四：圆与圆的方程题型四：圆与圆的方程【典例例题】【典例例题】例 1.（2024 春广东省华附、深中、省实、广雅四校联考）（多选）已知圆221:1Cxy+=，圆更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君2222:(3)(4)(0),CxyrrP Q-+=分别

9、是圆1C与圆2C上的点，则（）A.若圆1C与圆2C无公共点，则04r分别是圆1C与圆2C上的动点，则（）A若圆1C与圆2C无公共点，则04r时，441OM ONkk=-+uuuu r uuur，此时1122kkkk+=，所以24OM ONuuuu r uuur.当0k 时，441OM ONkk=-+uuuu r uuur，此时11122kkkkkk+=-+-=-，所以4462OM ON-=-uuuu r uuur，故46OM ON，所以点A在圆外，所以AQ的最大值为221 3143293-+=+.的更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君故选：C2.（2024 春广东省）动点P与两

10、个定点0,0O，0,3A满足2PAPO=，则点P到直线l：430mxym-+-=的距离的最大值为_.【答案】342+3.（2024 春重庆）在同一直角坐标平面内，已知点0,0,2,0,0,2OAB，点 P 满足0PA PB=uuu r uuu r，则OP OBuuu r uuu r的最小值为（）A22 2-B2 22-C2 22+D2 22-【答案】A【详解】设,P x y，2,2PAxyPBxy=-=-uuu ruuu r，所以220PA PBxxyy=-=uuu r uuu r，即22112xy-+-=，所以2121y-+，222 2OP OBy=-uuu r uuu r，所以OP OBu

11、uu r uuu r的最小值为22 2-.故选：A4.（2024 春北京海淀）已知AB是圆O：221xy+=的直径，C、D是圆O上两点，且60COD=o，则OCODAB+uuuruuuruuu r的最小值为（）A0B3-C3-D2 3-【答案】D【详解】由题意知，不妨设弦CD的中点为E，因为60COD=，则CODV为等边三角形，所以可得32OE=，则2OCODOE+=uuuruuuruuu r，设OEuuu r与ABuuu r的夹角为0qq，所以22cos2 3cosOCOD ABOE ABOE ABqq+=uuuruuur uuu ruuu r uuu ruuu r uuu r，因为cos1

12、,1q-，所以OCOD AB+uuuruuur uuu r的最小值为2 3-，故 D 正确.故选：D.题型三：直线与圆的位置关系题型三：直线与圆的位置关系【典例例题】【典例例题】更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君例 1.（2024 春广东汕头）（多选）如图，OA是连接河岸AB与OC的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为一个圆，该圆与BC相切，且圆心M在线段OA上；古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A C分别位于点O正北方向60m正东方向170m处，4tan3

13、BCO=.根据图中所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是（）A新桥BC的长为150mB圆心M可以在点A处C圆心M到点O的距离至多为35mD当OM长为20m时，圆形保护区的面积最大【答案】AC【详解】如图，以,OC OA为,x y轴建立直角坐标系，则(170,0)C，(0,60)A，依题意，直线BC的斜率43BCk=-，直线BC方程为：4(170)3=-yx，直线AB的斜率134ABBCkk=-=，则直线AB方程为3604yx=+，由4(170)33604yxyx=-=+，解得 80120 xy=，即(80,120)B，22(80 170)120150BC=-+=，A 正确；更多全科试卷及资

14、料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君设OMt=，即(0,)Mt(060)t，直线BC的一般方程为436800+-=xy，圆M的半径为36805tr-=，显然80(60)80rtrt-，由060t，得31365rt=-，则31368053136(60)805tttt-，解得1035t，即OM长的范围是1035OM，B 错误，C 正确；当10t=，即OM长为10m时，圆M的半径r最大，圆形保护区的面积最大，D 错误.故选：AC【变式训练】【变式训练】1.（2024 春广东省深圳市）过圆221xy+=上一点 A 作圆22(4)4xy-+=的切线，切点为 B，则|AB的最小值为（）A.2B.5C.6D

15、.7【答案】B【解析】【详解】设圆221xy+=与圆22(4)4xy-+=的圆心分别为 O，C，则2|4ABAC=-，当|AC最小时，|AB最小，由于点 A 在圆 O 上，则|AC的最小值为|1413OC-=-=，所以|AB的最小值为5.故选：B.2.（2024 春河北衡水）P是直线3450 xy-+=上的一动点，过P作圆22:4240C xyxy+-+=的两条切线，切点分别为,A B，则四边形PACB面积的最小值为（）A.2B.2 2C.4 2D.8 2【答案】B【解析】更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君【详解】圆22:(2)(1)1-+=Cxy的圆心(2,1)C-，半径1

16、r=，点C到直线3450 xy-+=的距离223 2415334d-+=+-，显然|3PCd=，由于,PA PB切圆C于点,A B，则222|1PAPCACPC=-=-，四边形PACB的面积22122|112 22PACSSPAACPCd=-=V，当且仅当直线PC垂直于直线3450 xy-+=时取等号，所以四边形PACB面积的最小值为2 2.故选：B3.（2024 春江西南昌）直线:2l ykx=-与圆22:670C xyx+-=交于 A，B 两点，则AB的取值范围为（）A.7,4B.2 7,8C.3,4D.2 3,8【答案】D【解析】【详解】由题易知直线:2l ykx=-恒过0,2M-，圆2

17、2:670C xyx+-=化为标准方程得22:316Cxy-+=，即圆心为3,0C，半径4r=，圆心到0,2M-距离223002134CM=-+=分别是圆1C与圆2C上的点，则（）A.若圆1C与圆2C无公共点，则04rB.当5r=时，两圆公共弦所在直线方程为6810 xy-=C.当2r=时，则PQ斜率的最大值为724-D.当3r=时，过P点作圆2C两条切线，切点分别为,A B，则APB不可能等于2【答案】BC【解析】解：当两圆内含时，r可以无穷大所以A不正确；当5r=时两圆相交，两圆的方程作差可以公共弦的直线方程B为正确选项；当2r=时如图一，PQ和CD为两条内公切线，有半径比可知43CA=，

18、可更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君得11212tan32417tan,tan,41tan7tan24PQC ACC ACPACkCC ACPAC=-=-选项正确对于 D 选项，点 P 在1P位置时121243 2,4PCAPC=点P在2P位置时222263 2,4PCBPC=+，可知两圆外离，对于选项 AB：设120,PC Cq=，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君因为12/C PC Q，可知梯形12C PQC的高为12sin5sinC Cqq=，所以四边形12CC QP的面积为115155sin12sin222qq+=，可知四边形12CC QP的面积可能

19、为 7，不可能为 8，故 A 正确，B 错误；对于选项 CD：设直线PQ与 x 轴的交点为M，根据对称性可知：如图，因为12,PCPM QCQM，可知12/PCQC，则112212MCPCMCQC=，可知1125MCC C=，所以22112 6PQPMMCPC=-=；如图，因为12,PCPM QCQM，可知12/PCQC，则112212MCPCMCQC=，可知1121533MCC C=，所以221134PQPMMCPC=-=；故 CD 正确；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君故选：ACD.2（2024 春黑龙江哈尔滨）已知圆2123:Cxy+=，圆222:(1)(2)3Cxy

20、-+-=，直线:2l yx=+若直线l与圆1C交于,A B两点，与圆2C交于,D E两点，,M N分别为,AB DE的中点，则|MN=【答案】322【详解】设圆12,C C的半径为12,r r，由题可得：12120,0,1,2,3CCrr=，故2212125C C=+=，满足12121202 3rrC Crr=-，所以,E x y的轨迹为椭圆，所以28,2ac=，所以216412b=-=，所以动圆圆心E的轨迹方程为2211612xy+=一、单项选择1.（2024 春山东聊城）最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了

21、解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答：若点M是曲线232ln2yxx=-上任意一点，则M到直线20 xy-=的距离的最小值为（）A5 22B5 24C3 24D3 22【答案】B【详解】由函数232ln2yxx=-，可得23,0yxxx=-，令231xx-=，可得(1)(32)0 xx-+=，因为0 x，可得1x=，则32y=，即平行于直线:20l xy-=且与曲线232ln2yxx=-相切的切点坐标为31,2P，由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为3125 2242d-=.故选：

22、B2（2024 春山西运城）直线1:30lmxym-+=与直线2:30lxmy+-=相交于点00,P xy，则005yx-的取值范围是（）A3 3,5 5-B3 3,4 4-C4 4,3 3-D44,33-+U【答案】B更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君【详解】直线1l的方程可化为30m xy+-=，由300 xy+=可得30 xy=-=，对于直线2l，由300 xy-=可得30 xy=，所以，直线1l过定点3,0A-，直线2l过定点3,0B，又因为110mm+-=，则12ll，即PAPB，则003,APxy=+uuu r，003,BPxy=-uuu r，所以，220090A

23、P BPxy=-+=uuu r uuu r，所以，22009xy+=，当03x=-，00y=，点3,0-不在直线2l上，所以，点P的轨迹是曲线2293xyx+=-，设005ykx=-可得0050kxyk-=，由题意可知，直线50kxyk-=与曲线2293xyx+=-有公共点，且圆229xy+=的圆心为原点，半径为3，所以，2531kk+，解得3344k-，当03x=-，00y=时，0005yx=-；当03x=，00y=时，0005yx=-.因此，005yx-的取值范围是3 3,4 4-.故选：B.3（2024春云南昆明）已知线段AB是圆22:3C xy+=的一条动弦，且2 2AB=，若点P为直

24、线280 xy+-=上的任意一点，则PAPB+uuu ruuu r的最小值为（）A4 21-B4 21+C16 515+D16 525-【答案】D更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君【详解】解析：取AB中点为M，连接PM，OM，因为AB是圆22:3C xy+=的一条动弦，且2 2AB=，所以1OM=，又2PAPBPM+=uuu ruuu ruuuu r，PMOMOP+，即1PMOP-，因此PAPB+uuu ruuu r取最小值，即是PMuuuu r取最小值，所以只需OP取最小，又点P为直线280 xy+-=上的任意一点，所以原点O到直线280 xy+-=的距离即是OP的最小值，

25、即min2288 5512OP-=+，即minminmin16 522(1)25PAPBPMOP+=-=-uuu ruuu ruuuu ruuu r.故选：D.4（2024 春江西）已知复数i,zaba b=+R.且2i1z-=，则1baa+的取值范围为（）A3333,44-+B3333,44-+-+C13 13,44-+D1313,44-+-+【答案】C【详解】由复数z满足2i1z-=，即为2i1z-+=，根据复数的几何意义，可得复数z在复平面内对应的点,Z a b的轨迹是以()2,1-为圆心，1 为半径的圆C，即圆22:(2)(1)1Cab-+=，如图所示，1111babaa+-=+，更多

26、全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君又由11ba-+的几何意义为过圆C上的点与定点1,1A-的直线l的斜率k，直线l的方程为10kabk-+=，由题意可知，圆心C到直线l的距离1d，即23211kk+，解得333344k-+，即33133414ba-+，又由1111babaa+-=+，可得1313414baa-+.故选：C.5（2024 春河南周口）鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质，如图是一个鞋匠刀形.若2ACBC=，CDAB，点D在以AB为直径的半圆弧上，以AC的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系（D在第一象限），则直线BD

27、的斜率为（）A2-B22-C1-D2-【答案】A【详解】设4AC=，则2,0A-、2,0C、4,0B，则AB中点为1,0，且6AB=，则以AB为直径的半圆弧的方程为22190 xyy-+=，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君令2x=，有2292 18y=-=，又0y，故2 2y=，即2,2 2D，则2 20224BDk-=-.故选：A.二、多项选择6.（2024 春深圳市宝安区）直线:2310lmxym+-+=与圆22:244C xyxy+-+=，则（）A.圆C的半径为 2 B.直线l过定点1,1C.直线l与圆C一定有公共点 D.圆C的圆心到直线l的距离的最大值是 3【答案】

28、BCD 由题意可得圆C的圆心坐标为1,2-，半径为 3，直线l过定点1,1，则A错误，B正确.因为点1,1在圆C上，所以直线l与圆C一定有公共点，则C正确.圆C的圆心到直线l的距离的最大值是22(12)(1 1)3+-=，则D正确.7.（2024 春湖南长沙）在平面直角坐标系xOy中，点()1,0A，动点000)(,(0M xyx，记M到y轴的距离为d.将满足1AMd=+的M的轨迹记为，且直线l：0kxyk-+=与交于相异的两点11(,)P x y，22(,)Q xy，则下列结论正确的为（）A曲线的方程为22yx=B直线l过定点1,0-C12yy+的取值范围是(,4)(4,)-+DAP AQu

29、uu r uuur的取值范围是,4-【答案】BCD【详解】依题意，点M到直线=1x-的距离等于到点1,0A的距离，因此点M的轨迹是抛物线，其方程为24yx=，A 错误；直线l：(1)y0k x+-=恒过定点(1,0)-，B 正确；由204kxykyx-+=消去 y 得：2 222(24)0k xkx k-+=，则224(24)40,0kkkD=-，解得11,0kk-，21212242,1kxxx xk-+=+=，12124(2)(,4)(4,)yyk xxk+=+=-+U，C 正确；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君222121212221242)4(1)(1)(1)(2y

30、ykxxkx xxkkkx=+=-+=，1212122221212(424841)(1)()16AP AQxxy yx xxxy ykkk-=-+=-+-+=分别是圆1C与圆2C上的动点，则（）A若圆1C与圆2C无公共点，则04r+或121C Cr+或51r-，解得04r，可知 A 错误；对于 B，当=5r时，公共弦2222(3)(4)125xyxy+-+=-，整理可得6810 xy-=，即 B 对；对于 C，当2r=时可知两圆外离，12123,3PQC CC C-+，即2,8,PQ故 C 对；对于 D，若2APB=，可知四边形2AC BP为正方形，如下图所示：更多全科试卷及资料在网盘群，请关

31、注公众号：高中试卷君则可得23 2PC=，而212121,1PCC CC C-+，即24,6PC，而3 24,6，所以存在P满足2APB=，即 D 错误.故选：BC9（2024 春福建龙岩）已知点2,1B与圆22:(2)(2)4,CxyA-+-=是圆C上的动点，则（）AOAuuu r的最大值为2 22+B过点B的直线被圆C截得的最短弦长为3C842842OC OA-+uuur uuu r D,xCOxOB-Ruuu ruuu r的最小值为2 55【答案】ACD【详解】对 A，圆22:(2)(2)4Cxy-+-=的圆心坐标2,2C，半径2r=，将原点0,0代入圆的方程有22(02)(02)84-

32、+-=，则原点在圆外，则2 2OC=，则max2 22OAOCr=+=+uuu r，故 A 正确；对 B，将2,1B代入圆方程得22(22)(1 2)14-+-=，则点B在圆内，设圆心到过点B的直线距离为d，则22max221 21dBC=-+-=,而被截的弦长为22222 4rdd-=-，则弦长最短为22 4 12 3-=，故 B 错误；对 C，作出OAuuu r在OAuuu r上投影向量OHuuur，则2 2OC OAOC OHOH=uuur uuu ruuur uuuruuur，因为OCrOHOCr-+uuur，即2 222 22OH-+uuur，则842842OC OA-+uuur u

33、uu r，故 C 正确；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君对 D，对,xxOB Ruuu r与OBuuu r共线，则COxOB-uuu ruuu r的最小值为点C到直线OB的距离，易知直线OB的方程为20 xy-=，则点C到直线AB的距离222 222 5521CN-=+，故 D 正确.故选：ACD.10（2024 春湖南邵阳）已知平面直角坐标系中，2,0,2,0MN-，动点,P x y满足2PMPN=，点P的轨迹为曲线C，点P到直线:60l xy+=的距离的最小值为d，下列结论正确的有（）A曲线C的方程为22(6)32xy-+=B2 2d=C曲线C的方程为22(6)32xy

34、+=D2d=【答案】AB【详解】对于 A、C 项，由已知可得，222PMxy=+，222PMxy=-+.则由2PMPN=可得，2222222xyxy+=-+，平方整理可得，221240 xxy-+=，化为标准方程可得，22(6)32xy-+=，圆心为6,0，半径4 2r=.故 A 正确，C 错误；对于 B、D 项，圆心6,0到直线:60l xy+=的距离为126 22=，所以，圆上点到直线:60l xy+=的最小距离6 22 2dr=-=.故 B 正确，D 错误.故选：AB.三、填空题三、填空题11（2024 春广东佛山）在如图所示的长方形台球桌面示意图中，4,2OMMP=，桌面的六个网分别位

35、于长方形的四个顶点及长边中点上现有三个台球分别在3 17 5,2 42 4ABC、三点所在的位置上，且、ABC三点共线用球A贴着桌面移动去击球C（不能碰到球B），使得球C沿球A运动的方向径直落入更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君,O R M三个网中之一若球和网近似地看成点，且台球在桌面上为直线运动，球A碰到桌边缘后反弹符合入射角等于反射角则球A击中球C前，球A移动的最短路径的路程为 【答案】3 52【详解】因为用球A贴着桌面移动去击球C（不能碰到球B），连接RC并延长交PM于点T，直线22:572242yxRC-=-，即132yx=-+，令4x=得，231y=-+=，故4,1

36、T，则T为PM的中点，故RC的反射直线为TW，则1:2WTyxb=+，将4,1T代入1:2WTyxb=+中，得1b=-，故1:12WTyx=-，令0y=得2x=，故2,0W，W为OM的中点，直线WT经过反射得到直线112yxb=-+，将2,0W代入112yxb=-+中，得11b=，故112yx=-+，其中3 1,2 4A满足112yx=-+上，故A球的轨迹为AWWTTC-，其中2231520244AW=-+-=，22421 05WT=-+-=，2275541244TC=-+-=，故轨迹长度为3 52AWWTTC+=，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君 连接MC并延长，交PQ于

37、点V，直线MC的方程为04570442yx-=-，即542yx=-，令2y=得165x=，故16,25V，根据反射得到反射直线25:2VL yxb=+，将16,25V代入得，2516225b+=，解得26b=-，故直线5:62VL yx=-，令0y=得5602x-=，解得125x=，故12,05L，根据反射得到直线35:2YL yxb=-+，将12,05L代入得，3512025b-+=，解得36b=，故直线5:62YL yx=-+，令2y=得5622x-+=，解得85x=，故8,25Y，根据反射得到直线45:2YS yxb=+，将8,25Y代入得，458225b+=，解得42b=-，故直线5:

38、22YS yx=-，令0y=得45x=，故4,05S，由于3 1,2 4A，故令5:22YS yx=-中的32x=得5372224y=-=，故点 A 不在直线YS上，故要想点 A 在直线YS上，也要经过多次反射，故路径会大于3 52，不合要求，舍去；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君 连接OC并延长，交PM于点H，则直线OH的方程为514yx=，令4x=得107=y，故104,7H，根据反射得到直线反射直线55:14HZ yxb=-+，将104,7H代入上式得，55104147b-+=，解得5207b=，故直线520:147HZ yx=-+，令2y=得5202147x-+=，

39、解得125x=，故12,25Z，根据反射得到反射直线65:14XZ yxb=+，将12,25Z代入得，65122145b+=，解得687b=，故58:147XZ yx=+，令0 x=得87y=，故80,7X，根据反射得到反射直线75:14XJyxb=-+，将80,7X代入得787b=，故58:147XJyx=-+，由于3 1,2 4A，故令58:147XJyx=-+中的32x=得53817142728y=-+=，故3 1,2 4A不在反射直线58:147XJyx=-+上，故要想点 A 在直线XJ上，也要经过多次反射，故路径会大于3 52，不合要求，舍去；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号

40、：高中试卷君 综上，球A移动的最短路径的路程为3 52.故答案为：3 5212（2024 春河北廊坊）已知圆 C 满足以下两个条件：圆 C 的半径为3；直线:30l xy-+=被圆 C所截得的弦长为 2写出一个符合以上条件的圆 C 的标准方程为 【答案】22(1)3xy+=（答案不唯一）【详解】设圆 C 的圆心坐标为(,)a b，因为直线:30l xy-+=被圆 C 所截得的弦长为 2，圆的半径为3，所以222|3|1(3)2ab-+=，整理得32ab-+=或32ab-+=-，所以1ab-=-或5ab-=-可取1,0ab=-=，此时圆22:(1)3Cxy+=故答案为：22(1)3xy+=（答案不唯一）