球的表面积和体积学历案 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.docx

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1、高一必修二学历案主备人： 学历案编号：178.3.2 第二课时球的表面积和体积 自主学习【学】【学习目标】1了解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式及体积公式(重点)2.能运用公式求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积及体积，理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系(难点)3.会求组合体的表面积及体积(重点、易错点)4.能解决与球有关的组合体的计算问题(难点)【自学评价】阅读课本P116P119，阅读完课本后尝试回答下列问题：几何体表面积体积圆柱S表 (r为底面半径，l为母线长)V (r为底面半径，h为高)圆锥S表 (r为底面半径，l为母线长)V (r为底面半径，h为高)圆台

2、S表 (r为下底面半径，r为上底面半径，l为母线长)V (r，r分别为上、下底面半径，h为高)球S表 (R为球的半径)V (R为球的半径)研习探究【研】学习任务一球的表面积和体积例1.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（取3.14）例2如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.课堂练习：1. 当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？2. (1) 已知球的表面积为64，求它的体积；(2) 已知球的体积为，求它的表

3、面积学习任务二球的截面问题1.用与球心距离为1的平面去截球所得的截面面积为，则球的表面积为( )A. B. C. D. 2.已知过球面上三点A，B，C的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的表面积 。学习任务三三角形的面积与球有关的切、接问题例3.将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A. B. C. D.课本119页练习：3. 将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积.4. 一个长、宽、高分别是80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000的水，现放入一个直径为50cm的木球，如果木球的三分之二在

4、水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？5.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为 .6.甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( )A. 1:2:3 B.C. D. 例4. 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为_变式：已知一个长方体的三个面的面积分别是，则这个长方体的体积为_.例5.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2 Ba2 Ca2 D5a2例6. 若棱长为a的正四面体的各个顶

5、点都在半径为R的球面上,求球的表面积达标练习【练】1.用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为() A. B. C.20 D.2.两个半径为1的实心铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径是_.3.已知圆台的上、下底面都是球O的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O的表面积为_.4.正四棱柱的底面边长为1，高为2，其8个顶点都在一个球的球面上，则该球的表面积是多少？5. 如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_.6.（选做）一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分

6、别为49 cm2和400 cm2，求球的表面积.8.3.2 第二课时球的表面积和体积参考答案 自主学习【学】【学习目标】1了解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式及体积公式(重点)2.能运用公式求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积及体积，理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系(难点)3.会求组合体的表面积及体积(重点、易错点)4.能解决与球有关的组合体的计算问题(难点)【自学评价】阅读课本P116P119，阅读完课本后尝试回答下列问题：几何体表面积体积圆柱S表2r(rl)(r为底面半径，l为母线长)Vr2h(r为底面半径，h为高)圆锥S表r(rl)(r为底面半径，l为母线

7、长)Vr2h(r为底面半径，h为高)圆台S表(r2r2rlrl)(r为下底面半径，r为上底面半径，l为母线长)Vh(r2rrr2)(r，r分别为上、下底面半径，h为高)球S表4R2(R为球的半径)VR3(R为球的半径)研习探究【研】学习任务一球的表面积和体积例1.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（取3.14）解：一个浮标的表面积是，所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料.例2如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.解：

8、设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.球的体积，圆柱的体积，.课堂练习：1. 当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？解：设球的半径为R时，其体积和表面积的数值相等.则，.2. (1) 已知球的表面积为64，求它的体积；(2) 已知球的体积为，求它的表面积解:(1)设球的半径为r，则由已知得4r264，r4.所以球的体积：Vr3.(2)设球的半径为R，由已知得R3，所以R5，所以球的表面积为S4R2452100.学习任务二球的截面问题1.用与球心距离为1的平面去截球所得的截面面积为，则球的表面积为(C)A. B. C. D. 2.已知过球面上三点A，B，C的截面和球心

9、的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的表面积 。学习任务三三角形的面积与球有关的切、接问题例3.将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(A)A. B. C. D.解：可知该求内切于正方体，所以2R=2，即R=1,课本119页练习：3. 将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积.解：由题意知，球内切于正方体，.所以球的体积，即可制作的最大零件的体积为.4. 一个长、宽、高分别是80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000的水，现放入一个直径为50cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水

10、槽中溢出？解：球的体积，水中球的体积，长方体的体积，.故水不会从水槽中溢出.5.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为.6.甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( A )A. 1:2:3 B.C. D. 例4. 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为_解：可知，球的直径等于正方体的体对角线长，即 球的表面积为变式：已知一个长方体的三个面的面积分别是，则这个长方体的体积为_.解：设长方体从一顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则ab，ac，

11、bc，三式相乘得(abc)26，故长方体的体积Vabc.例5.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2 Ba2 Ca2 D5a2解析：B如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2.ADa，AOADa，OO2，AOa2a2a2，故该球的表面积S球4a2a2.例6. 若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上,求球的表面积解：（法一）作出截面图，如图所示(法二)（补形法）把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则 ax，由题意2Rxa，达标练习【练】1.用与球心距离

12、为2的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为() A. B. C.20 D.解:用一平面去截球所得截面的面积为，所以截面圆的半径为1.已知球心到该截面的距离为2，所以球的半径为r，所以球的体积为：()3.故选B.答案B2.两个半径为1的实心铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径是_.解析设大球的半径为R，则有R3213，R32，R.答案3.已知圆台的上、下底面都是球O的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O的表面积为_.解:设球的半径为R，球心O到上底面的距离为x，则球心O到下底面的距离为|6x|，结合勾股定理，建立等式22x242|6x|2，解得x4，所以R2x2222

13、0，因而表面积S4R280.答案804.正四棱柱的底面边长为1，高为2，其8个顶点都在一个球的球面上，则该球的表面积是多少？解:易得球的半径R，所以球的表面积是S4R26.5. 如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_.解:设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，所以.答案6.（选做）一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49 cm2和400 cm2，求球的表面积.解:当截面在球心的同侧时，如图(1)所示为球的轴截面，由球的截面性质知AO1BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，则OO

14、1AO1，OO2BO2.设球的半径为R cm，O2B249，O2B7(cm).同理，得O1A20(cm).设OO1x cm，则OO2(x9)cm.在RtO1OA中，R2x2202，在RtOO2B中，R272(x9)2，联立可得x15，R25.S球4R22 500(cm2)，故球的表面积为2 500 cm2.当截面在球心的两侧时，如图(2)所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1AO2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1O1A，OO2O2B.设球的半径为R cm，O2B249，O2B7(cm).O1A2400，O1A20(cm).设O1Ox cm，则OO2(9x)cm.在RtOO1A中，R2x2400.在RtOO2B中，R2(9x)249.x2400(9x)249，解得x15，不合题意，舍去.综上所述，球的表面积为2 500 cm2.10学科网（北京）股份有限公司