浙江省杭州市2024年高三数学模拟预测卷.docx

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1、浙江省杭州市2024年高三数学模拟预测卷一、单选题1已知集合，则（）ABCD2若复数是纯虚数，则实数（）A1BCD03中国茶文化是中国制茶饮茶的文化.中国是茶的故乡，中国人发现并利用茶，据说始于神农时代，至少有4700多年历史中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含物质文化层面，还包含深厚的精神文明层次.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还有杀青揉捻干燥等制作流程.现在某茶厂新招聘了6位工人，分配到这三个工序，揉捻工序至少要分配两位工人，杀青干燥工序各至少分配一位工人，则不同分配方案数为（）A120B240C300D3604若点是函数图象上任意一点，直线为点处的切线，则直线倾斜角的取值范围是（）AB

2、CD5如图，在四面体中，.点在上，且，为中点，则等于（）ABCD6已知且，则、的大小关系是（）ABCD不能确定7若，则（）ABCD8设直线被圆所截得的弦的中点为，则的最大值为（）ABCD二、多选题9若平面平面，直线，点，过点M的所有直线中（）A一定存在与a垂直的直线B只有两条与a平行的直线C存在无数条与a平行的直线D有且只有一条与a平行的直线10已知数列满足，则数列（）A有可能是常数数列B有可能是等差数列C有可能是等比数列D有可能既不是等差数列，也不是等比数列11设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为，则（）ABCD、三点共线三、填空题12计算： 13已知，则的

3、值为 .14两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类如图中的实心点个数1，5，12，22，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，若按此规律继续下去，则 ，若，则 四、解答题15已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)求的值.16在中，(1)求A的大小；(2)求外接圆的半径与内切圆的半径17已知函数(1)用定义法证明：函数在是单调递增函数；(2)若，求函数的最小值18如图，在四棱锥中，底面是一个平行四边形

4、，底面，点是的中点，(1)求证：平面平面；(2)求二面角的大小19已知抛物线的焦点到准线的距离为.(1)求抛物线的标准方程；(2)过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，分别过两点作准线的垂线，垂足分别为、两点，以线段为直径的圆过点，求圆的方程参考答案：1A【分析】化简集合结合交集的概念即可得解.【详解】由题意，所以.故选：A.2B【分析】利用复数的定义及乘法法则计算即可.【详解】由，根据题意可知.故选：B3D【分析】根据题意，分为揉捻工序分配2人、揉捻工序分配3人和揉捻工序分配4人，三种情况，结合排列、组合数的公式和计数原理，即可求解.【详解】根据题意，新招聘了6位工人，分配到这三个工序，揉捻工

5、序至少要分配两位工人，杀青干燥工序各至少分配一位工人，可分为三类情况：若揉捻工序分配2人，有种分配方案；若揉捻工序分配3人，有种分配方案；若揉捻工序分配4人，有种分配方案；由分类计数原理可得，共有种分配方案.故选：D.4C【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率的范围即可得解.【详解】函数中，即，设点，求导得，由，得，即，因此函数的图象在点处的切线斜率，显然直线的倾斜角为钝角，所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：C5D【分析】根据空间向量基本定理进行计算【详解】因为，为中点，故.故选：D6C【分析】由作差法比较大小.【详解】已知.则，所以，因此，.故选:C.7A【分析】根据二倍

6、角的余弦公式和诱导公式即可.【详解】, 所以 ，故选：A.8C【分析】先求出直线的定点，得出点的轨迹方程，设，根据直线与圆的位置关系进行求解.【详解】解：直线过定点，因为M是弦的中点，所以，故的轨迹方程为：，设，即即是直线与圆的公共点，由直线与圆的位置关系可得，解得，所以的最大值为.故选：C.9AD【分析】过点和直线确定平面为，设，根据面面平行的性质定理得一条平行线，再用反证法说明只有一条，而过点且与直线垂直的直线均与直线垂直.【详解】显然，过点和直线确定平面为，设，又，由于，所以，则过点且与直线垂直的直线均与直线垂直，故A正确；假设平面内过还有一个直线与平行，即，则，但有公共点，矛盾，因此过

7、M有且只有一条直线与a平行，故BC错误，故选：AD10BCD【分析】将已知等式变形为，利用反证法可判断A选项；利用等差数列的定义可判断B选项；利用等差数列的定义可判断C选项；举特例可判断D选项.【详解】由可得，即，若对任意的，有且，此时数列是公比为的等比数列，若对任意的，有且，此时数列是公差为的等差数列，取数列各项为：、，则数列满足条件，此时，数列既不是等差数列，也不是等比数列，BCD对，若数列为常数列，不妨设（为常数）对任意的恒成立，由可得，可得，与矛盾，故数列不可能是常数列，A错.故选：BCD.11BC【分析】根据题意作图，结合椭圆性质、内心定义以及三角形内切圆逐个选项求解即可.【详解】如

8、图所示，设切点为，内切圆半径为，对于A，由椭圆方程得，则，所以，所以，故A错误；由题意得，又因为，解得，B正确；从而，所以，所以，而，所以，C正确；由题知，若、三点共线，则为的中线，又因此时为的角平分线，所以只能是时，上述成立，而在上且在第一象限，所以、三点不可能共线，D错误.故选：BC120【分析】由对数运算、指数幂运算以及特殊三角函数值即可求解.【详解】由题意.故答案为：0.13/【分析】由条件结合两角差的正切公式可求，再结合二倍角正弦公式及同角关系将化为由表示的形式，由此可得结论.【详解】由已知，所以，所以.故答案为：.14 【分析】写出前5个五角形数的表达式，得到的值，归纳得到计算的规

9、律，求得，得出，进而求得时，实数的值.【详解】由题意知，第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，第5个五角形数记作， 第n个五角形数记作，即，则，由，即，解得.故答案为：；.15(1)(2)【分析】（1）设数列的公差为，然后根据题意列方程组求出，从而可求出；（2）由，得，两式相减化简后利用等比数列的求和公式可求得结果.【详解】（1）设数列的公差为，因为，所以，即，又因为成等比数列，所以，即，因为，所以，所以，所以数列的通项公式为.（2）因为，所以，两式相减得.故.16(1)(2)【分析】（1）由余弦定理即可求解；（2）由正弦定理求出外接圆半径，由等面积法

10、求出内切圆半径.【详解】（1）由余弦定理得，因为，所以（2）设外接圆的半径与内切圆的半径分别为，由正弦定理得，则的面积，由，得17(1)证明见解析(2)【分析】（1）用单调性的定义直接证明即可；（2）通过换元法将原问题等级转换为二次函数动轴定区间的最小值问题，对对称轴的位置分类讨论即可求解.【详解】（1）不妨设，所以，因为，所以，即，所以函数在是单调递增函数.（2）若，则，所以 ，若，则单调递减，所以此时，若，则，若，则单调递增，所以此时，综上所述，.【点睛】方法点睛：利用函数单调性的定义证明函数的单调性，首先要在函数定义域的给定区间内，任取两个数，且，然后通过计算的符号，如果，则在给定区间内

11、单调递增；如果，则在给定区间内单调递减.18(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的大小.【详解】（1）证明：平面，平面，平面又平面，因此，平面平面（2）解：因为平面，以点为坐标原点，以、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为，则，则、，设平面的法向量为，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，所以，由图可知，二面角为锐角，故二面角为.19(1)(2)【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得抛物线的标准方程.（2）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，根据圆心和半径写出圆的方程，代入点坐标来求得正确答案.【详解】（1）抛物线的焦点到准线的距离，所以抛物线的标准方程是.（2）由（1）得抛物线的标准方程是，焦点，准线方程，依题意可知直线与轴不重合，设直线的方程为，由消去并化简得，设，则，所以，即，所以圆的方程为，即，将代入得，解得，所以圆的方程为.