山西省大同市煤矿第二中学校2023届高三第四次模拟考试数学试卷（教师版）.docx

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1、 大同市煤矿第二中学校高三第四次模拟考试数学试卷时间：120分钟 满分：150分一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简集合，利用集合的交集运算即可求解【详解】因为，所以，即，故选：C2. 已知复数，则=（ ）A. B. 2C. D. 3【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，再利用复数模的公式求解即可.详解】，则.故选：A.3. 已知向量，若，则（ ）A. B. C. 2D. 2【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示求，再由向量的模

2、的坐标表示求.【详解】由，得，则，所以，所以选项D正确，故选：D.4. 函数的图象大致为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】可采用排除法，根据奇偶性和特殊点的函数值的正负进行排除.【详解】因为，所以的图象关于原点对称，故排除；当时，当时，所以，排除B故选A.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和特殊点的函数值的正负识别图像，属于基础题.5. 已知角是的一个内角，则“”是“”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充要条件的定义判断即可.【详解】因为 是三角形内角， ，由可得或，即 或 ，即由p不能推出q；由可

3、得，可以推出 ，因此“ ”，是“ ”的必要不充分条件；故选：B.6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的.设，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由偶函数性质变形，然后由对数换底公式、对数函数性质比较，大小，再由指数函数性质结合中间1比较与前面对数的大小后，再由函数单调性得结论【详解】函数是定义在上的偶函数，且在上是单调递增的，所以，所以，故选：B7. 数列满足，则数列的前项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由数列的递推关系知奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列，由此可分组求和.【详解】解：因为且为奇数时，所以所有奇数项

4、构成为首项，为公差的等差数列，又因为且为偶数时，即所有偶数项构成为首项，为公比的等比数列，所以.故选：D.8. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，则（ ）A. 2B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】由为偶函数，结合为奇函数，可得以为周期的函数，从而根据已知的解析式可求出.【详解】因为是定义在上的奇函数，故可得，又为偶函数，所以有：，所以，有，即所以，故以为周期，故因为当时，所以.故选：B二、多选题（本小题共4个小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分）9. 若函数在区间上单调，则的取值可以是（ ）A. B.

5、 C. D. 【答案】AC【解析】【分析】方法一：首先求得，由在上单调可构造不等式组，结合可确定所有可能的取值，由此可得的范围，进而确定选项；方法二：利用诱导公式可化简得到，得到，根据，可确定，结合正弦函数的单调性可构造不等式组求得的范围，进而确定选项.【详解】方法一：当时，在区间上单调，或，或；由得：；又，；，又，又，；由得：；又，又，即；综上所述：.方法二：，当时，；在上单调，；由，知：或，解得：或，.故选：AC.10. （多选）函数(，)在一个周期内的图像如图所示，则（ ）A. 该函数的解析式为B. 该函数图像的对称中心为，C. 该函数的增区间是，D. 把函数的图像上所有点的横坐标伸长为

6、原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图像【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A:根据图像和已知条件求出和最小正周期，然后利用正弦型函数的最小正周期公式求出，通过代点求出即可；对于选项BC:结合正弦函数的性质，利用整体代入法求解即可；对于选项D：利用伸缩变换即可求解.【详解】由题图可知，周期，所以，则，因为当时，即，所以，即，又，故，从而，故A正确；令，得，故B错误；令，得，故C正确；函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到，故D正确故选:ACD11. 已知是定义在上的函数的导数，且，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】构造函数，

7、由的导数判断单调性后比较【详解】设，则.因为，所以，则在上单调递增.因为，所以，即，所以，则A正确；因为，的大小不能确定，所以，的大小不能确定，则B错误；因为，所以，则，所以，则C正确；因为，的大小不能确定，所以，不能确定，则D错误.故选：AC12. 如图，点位于以为直径的半圆上（含端点，），是边长为2的等边三角形，则的取值可能是（ ）A. B. 0C. 1D. 4【答案】BC【解析】【分析】建立坐标系，利用数量积的坐标表示求，化简求其范围，由此可得结论.【详解】如图所示，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则，.令，其中，则，所以.因为，所以，所以，所以故选：BC.三、填空

8、题（本小题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 曲线在处的切线方程是_.【答案】【解析】【分析】根据导数几何意义求斜率，然后利用点斜式写直线方程即可.【详解】，当时，所以切点为，切线斜率为1，所以切线方程为，即.故答案为：.14. 数列满足，数列的前项和为，且，则_.【答案】29【解析】【分析】根据题意写出，然后用并项求和法即可求解【详解】因为，数列的前项和为，所以，故答案为：2915. 已知，则的值为_【答案】【解析】【分析】利用凑角、二倍角公式计算可得答案.【详解】因为，所以故答案为：.16. 已知在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则取最小值时，向量的模为_.【答案】【解析】【分析

9、】由题可得，利用基本不等式可得式子取最小值时的m和n的值，然后利用向量的模长公式可得【详解】，m4n，又为上一点，所以，当且仅当即且时，取等号，向量的模为.故答案为：四、解答题（共60分）17. 已知等比数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）证明：.【答案】（1）； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据与的关系可得，结合条件即得；（2）根据等比数列的求和公式即得.【小问1详解】，当时，故等比数列公比q3，令n1，得，；【小问2详解】由题可知，.18. 记的内角，的对边分别为，已知（1）证明：；（2）若，的面积为2，求的周长【答案】（1）答案见解析 （2）【解析】【分析】（

10、1）利用三角恒等变换化简，结合正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）由的面积求得，由余弦定理结合（1）的结论求出，进而求得，从而得到答案.【小问1详解】，即由正弦定理得由余弦定理得：，即【小问2详解】，在中，的面积为2，即，由余弦定理得，又，的周长是19. 已知数列的前项和为，且，数列满足：，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据，利用数列的通项与前项和的关系求解；（2）由（1）知，得到，然后利用分组求和法求解.【详解】（1）数列的前项和，当时，当时，两式相减得： 又时，满足上式所以 又，所以， 所以.（2），由（

11、1）知，所以 【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：等差数列的前n项和公式，等比数列的前n项和公式；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解20

12、. 已知数列满足为等比数列.（1）证明：是等差数列，并求出的通项公式.（2）求的前项和为.【答案】（1）证明见解析， （2）【解析】【分析】（1）根据题意得，进而根据等差数列定义证明，并结合通项公式求解即可；（2）根据错位相减法求解即可；【小问1详解】证明：因为数列满足为等比数列，所以的公比，首项为所以，即，所以是以为公差的等差数列，首项为，所以，所以，【小问2详解】解：根据错位相减法有：，所以，所以21. 在锐角中，内角所对的边分别为，且（1）求；（2）若的外接圆的半径为1，求的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由题意利用三角恒等变换可得，求出的范围，进而可求的值（2）根

13、据和为锐角三角形求出的范围，根据正弦定理表示出、，根据三角函数范围即可求的范围【小问1详解】解：因为，所以，可得，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，可得【小问2详解】解：设外接圆的半径为，依题意，由正弦定理，所以，因为，所以，因为是锐角三角形，所以，可得，所以，因为，所以，所以，则，即.22. 已知函数，其中.（）当a=1时，求函数的单调区间：（）求函数的极值；（）若函数有两个不同的零点，求a的取值范围【答案】（）单调减区间为（1，+） ，增区间为（0,1）; （）见解析（）a1【解析】【分析】（）当a=1, f（x）=,解f（x）0确定单调区间；（）f（x），讨论a

14、0和a0时f（x）的符号，确定单调性和极值；（）由（）知当 a0时，f(x)至多有一个零点，舍去；当a0时，函数的极小值为f(a)=设函数g(x)=lnx+x-1，求导确定g（x）：当0x1时，g(x)1时，g(x)0，分情况讨论：当01时，由零点存在定理确定（）和（a,3a-1）各有一个零点，则a可求【详解】（）当a=1时, f（x）=当f（x）1; f（x）0时，0x0，当xa时，f（x）0) g(x)在（0，+）单调递增，又g(1)=0, 0x1时，g(x)1时，g(x)0(i) 当01时，f(a)=ag(a)0函数f(x)在（）内有一个零点，f(3a-1)=aln(3a-1)-设h(x)=lnx-x(x2) h(x)在（2，+）内单调递减，则h(3a-1)h(2)=ln2-21时，函数f(x)恰有两个零点综上，函数有两个不同的零点时，a1【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的零点个数的判断，函数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力