矩阵分析复习知识点.docx

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1、定义设V是一个非空集合，F为数域.上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么就称为数域F上的线性空间.判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八 条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间.RXn是次数不超过n的多项式，构成了向量空间，其基是1,X,X2,X!。PXn是次数不超过的多项式，构成了向量空间，其基是1,X,X2,.Xn loQXn是次数不超过n的多项式，其中an不等于0,不构成了向量空间,。Ax=0的解空间，称为矩阵A的核（零）空间，记N （A）设A为实数（或复数）m*n矩阵，x为n维列向量，则m维列向量集合VNyGYC） |丫=人4*R01（）构

2、成实（或复）数域R （或C）上的线性空间, 称为A的列空间或A的值域，记R （A）o线性相关与无关略所有二阶实矩阵组成的集合，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域上的一个线性有 ki Eii + ki E12 + 左3 *2i + 储 E22 =k kt kJ空间.对于中的矩阵Ew ,*21 =因此 ki Eii + ki En+ 左3 Eix+ 左4 Eii=。= 即品2，21，及2线性无关.P称为由基，a基变换公式（4,尸2,，凡）=（%，%，）P，矩阵到基4,饵久的过渡矩阵，坐标变换公式 “2= p 例126略P11设阴，g是线性空间v的两个子空间，令匕口匕=&|&匕且口匕可以验证：xn

3、匕构成v的线性子空间.称为xn%为也与的交空间.令匕 + V2=a = ai+a2ai匕且见 匕可以验证：匕+匕 构成v的线性子空间.称匕+匕为M与0的和空间 例 %=(2,131)。% =( 1,1, 3,1)1/7 =(4,5,3,1尸，用=(1,5,-3 J)1 V, = span ax,%,%= span 板,四试求；也+g的基与维数； v1n匕 的基与维数解由定理3知X+匕=span%,%，回，62 名,%，川是极大无 关组.故它是14+0的基，维数=3(2)设a eV1rl匕，即二乂且二匕，于是 a =左必+左2a2 = 网尸1 +V2,如果对于任何 两个向量 al,a26Vl 和

4、任何数KEF,都有 T (al+a2) =T(al)+T(a2) ； T (Kal) =KT(al)便称为映射。即软%,a?，2)=(几血)A矩阵A称为线性映射J在基(6,。2，,4,)与(A，2，0”) 下的矩阵表示。根据J(a)坐标唯一性，得称为线性映射力在给定基(% , %，4 )与(舟,夕2，。 向量坐标变换公式。其表示矩阵4是唯一的.例 1.4.7 略 P23例 求线性映射。：Rxn+i f RxnD(/(x) = /(x)ax在基1,占与基i,占工-1下的矩阵4D (1) =0, D(X)=1, 于是所求矩阵为D(Xn)=nXnl王x2eV,如果丁= (%,%)则源a与像T (a

5、)的坐标变换公式(yl,y2,yn) T=A(xl,x2,，xn)T例 设R3中线性变换方各基02-110-1，变为基03-2(1)求。生基%下的矩阵表示 求向量J = (123)7及76)在基,%, %下的坐标(3)求向量J及7(?在基以下的坐标73，。2必)=3，。2必)4 = (&；，&)解4 = 3，%尸3%4)(O , 0(2 , 03 1%，。2，。3 ) -| A)1 1 1因此衣%, %下矩阵表示是A=112011k(2)设J =(四,%,%) &，即%3-1-11 尢k=10,&=-4,%3=-9所以4在基囚2/3下的坐标为（1。厂4, 一 9）7.7（J）在%下的坐标为 %

6、1-1010-4923-321310 纸基讲,名,砥下的坐标为 A-1 -4-910- 4-91-156T （J在基以,名下的坐标为23A-1 -32 =-132310-32-13-4-9定理】 设T是线性空间V的线性变换,多, %，。和 a；, a；，反是U的两组基,由4到a；的过渡矩阵为尸， 线性变换T在基多, %，。下的矩阵表示为4 在基 a；,a.，a：下的矩阵表示为凡则B = PAP定义1 设& A 产，若存在?三尸”，满足B =尸-1 贝U称A与A相彳以，记作EA.第二章定义 设（2）（2 = L 2,，6；/ = L 2,，）是数域 户上的多项式，则称以外（工）为元素的矩阵ii（

7、4）。12（“）.”1（4）A（4）= 2。）。22（团%。）为多项式矩阵或；矩阵。 。区2(4) 金 ()定理1 一个阶；I矩阵4（2）可逆的充要条件是det 4（2） 是一个非零常数.定义1设%.Q)(i = 1,2,=1,2,)是数域 凡上的多项式，则称以物(为元素的机X”矩阵定义6与；I矩阵AQ)等价的形如一4(团-d2a)的对角形矩阵称为AQ)的Smith标准形.4(团4(,4(称为矩阵4(4)的不变因子.例题略P60-64老师没指定23例1求矩阵F-1 -2 6A= -1 0 31 1 4的Jordan标准形.% + 1 2 -6 1 F1解：；IEA= 12-3 =11 2-4M

8、BMM4 1a-i)2故A的初等因子是丸-1,(2-1)2. 于是A的Jordan标准形为1 0 o-J= 0 1 1.0 0 1例2求矩阵-17 0 -25A= 0 109 0 -13的Jordan标准形,并求变换矩阵P.2-17025 1Fl解：02-10-902 + 131因此,A (2-1)(2-2)22 1 .于是2存在非奇异矩阵尸,使得尸-1AP = J.10 0即 A(X1,X2,X3) = (X1,X2,X3)0 2 10 0 2故 AX. = XAX2 = 2X29 AX3 = X2 + 2X3由(A)X1=0,求得X1=(04,0)丁;同理，求得 匕 = (5,0,3-;玛

9、=(2,0,1)、-0 5 2所以尸=(%,玛,%)= 10 0.0 3 1定义6设V是酉(欧氏)空间，向量a eV的长度定义为|a| = J(a,a)即 1ah定义1若向量a和月的内积(a,=0,则称a与夕正交，记作a J_定义2在几维内积空间中，由个正交向量组成的基 称为正交基曲71个标准正交向量组成的基称为标准 正交基.Schmidt正交化设%,a2,?是维酉(欧氏)空间中r个线性 无关的向量,求由这r个向量生成的，维线性子空间印即6皿2,一1、正交化令 A =i,%中的一个标准正交基.02 =(A，A),=a (a)8Q血)6 _ -T)- r ,A)(血)(A-nA-J2、标准化v

10、- Av _ A_ Pr f 2一两.F定义1若阶复矩阵4满足AH A = AAH= E则称A是酉矩阵，记作A e UR若阶实矩阵A满足ATA = AAT = E则称A是正交矩阵，记作A g E.酉矩阵性质若A,be U7则1、A I=A Unxn2、|det A| = 13、At e U11X114、AB. BA g UllXH正交矩阵性质若则1、A1 = A1 e EnXH2、det A = 13、AB. BA g Enxn定义2 设V是维酉空间Q是V的线性变换，若VaaeV都有（b（a）,b（0）= （a,P）则称C7是V的酉变换.设V是维欧氏空间,Va, gV,若线性变换b满足 （b（

11、a）,b（0）= （a,0则称。是V的正交变换.定理3设b是酉空间（欧氏空间）V的线性变换，则下列命题等价1、b是酉变换征交变换）2、Q（a）| =|a|,VawV3、将丫的标准正交基变到标准正交基4、酉变换（正交变换）在标准正交基下的矩阵表示 是酉矩阵（正交矩阵）.定义1设4，若1 = 4则称A为幕等矩阵.定理1若P是幕等矩阵，则1、2、3、4、5、P”, - P,E-P。 - P”是哥等矩阵;P(E-P) = (E-P)P = O;N(P) = R(EP);Px = %的充要条件是x g R(P);C“ = R(P) N(P).定理设A、。*（或尺），若存在（或及，使得 UHAU = U-

12、lAU = BUtAU = U-iAU = B）则称A酉相似（或正交相似）于ASchur引理任何一个阶复矩阵A酉相似于一个上（下）三角矩阵.定理362 （Schur不等式）设:色,力居仁力儿为广-区为和勺特征值，则.一 1i=li,j其中，等号成立的充吸件是A酉相似于对角矩阵定义3.6.2 设AwC叫 若A”A = 44,则称4为正规矩阵若AeR,贝iJA=4,于是474 = 447,则称4为实正规矩阵定理设A g Cx,则A是正规矩阵的充要条件是存在U w使得UhAU = diag,4,4)。其中4,演，乙是A的特征值。定理设4是正规阵，则4是H阵的充要条件是A的特征值是实数。(2) 4是反

13、H-阵的充要条件是4的特征值的实部为Oo(3) 4是酉矩阵的充要条件是A的特征值按模等于lo定理设A, B都是正规矩阵，则A, B可以同时酉对角化的充要 条件是AB=BAO A,B可以同时酉对角化的含义是存在一个n阶酉矩阵 U,使得4UHAU=00u,UhBU=UYl40第四章 满秩分解P152、UR分解P156略第五章范数：设V是数域F上的线性空间，用|X|表示按照某个法则确定的与向量x对 应的实数，且满足(1) 非负性：当xWO, |冈|0;当且仅当x=0时,|x|=0；(2) 齐次性:| kx| = |k| |冈|火为任意数；(3) 三角不等式：对于V中任意向量x,y都有|x+y|x| + |y|则称实数I |x| |是向量x的范数。向量范数：闻=+国+闻=却i=iM2=/卜/+/|2+- +同2=恪对2Xoo=max x.in7矩阵范数:川.二6同，（列模和）/=1 j=J7i= j=（行模和）ML = max au11ijm y1 jn