厦门一中2024年高二下学期数学强化限时训练含答案.pdf

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1、 1 学科网（北京）股份有限公司 厦门一中厦门一中 2022022 2 级高二级高二(下下)数学强化练习数学强化练习 限时训练限时训练 0 03 3 2024.03.2024.03.1616 _班班_号号 姓名姓名_ 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1已知定义在上的函数()()5412024f xxax=+的导函数()fx为偶函数，则()f a=A2025 B2024 C1 D2025 2已知函数()elnxf xax=在

2、区间()1,2上单调递增，则 a 的最小值为 A2e Be C1e D2e 3某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为()0k k.已知贷款的利率为0.0486，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去；设存款利率为x，()0,0.0486x，若使银行获得最大收益，则x的值为 A0.0162 B0.0324 C0.0243 D0.0435 4若过点(),a b可以作曲线exy=的两条切线，则 AebaBeabC0ebaD0eab 5抛物线24xy=焦点为F，直线1ykx=交抛物线于 A,B 两点，且满足3AFB=，则AB=A2 B4 C4 23 D4 73 6

3、 双曲线2213yx=右焦点为 F，(4,3 5)M，直线MF与y轴交于点 N，点 P 为双曲线上一动点，且 P 在以 MN 为直径的圆内，直线 MP 与以 MN 为直径的圆交于点 M,Q，则PMPQ最大值为 A48B49C50D42 7定义在上的奇函数()f x满足ln (01)()2(1)(1)xxxf xf xx，若方程1()2f xkx=在 1,2上恰有三个实数根，则实数 k的取值范围是 A1,1 ln24B1 1,4 2C1,12 2e D11 ln2,2 8数列 na满足()*111,1nnnaaana+=+N，x表示不超过 x 的最大整数，则22212500aaa+=A1 B0

4、C1 D2 2 学科网（北京）股份有限公司 二、多项选择题：二、多项选择题：本题共本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9已知函数()()sinsin 1f xxx=+，()fx为()f x的导函数，则下列结论正确的是 A()()1fxfx=+B()()0f xfx+=C1122ff=D()2fxfx=+10已知三次函数()f x的导函数()fx的图象如图，且()()()1f m

5、f kf t=，mkt，则 Amkabtk+B()()1f bf a C()()()0fmfkft 11如图，在菱形ABCD中，4 33AB=，60BAD=，沿对角线BD将ABD折起，使点 A,C 之间的距离为2 2，若 P,Q 分别为线段 BD,CA 上的动点，则下列说法正确的是 A平面ABD 平面BCD B线段 PQ 的最小值为2 C当AQQC=，4PDDB=时，点 D 到直线 PQ 的距离为1414 D 当P,Q分别为线段BD,CA中点时，PQ与AD成角余弦值为64 三、填空题：三、填空题：本题共本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12法国数学家拉格朗日于

6、 1797 年在其著作解析几何函数论中给出一个定理：如果函数()yf x=满足：在闭区间,a b上是连续不断的；在区间(),a b上都有导数；则在区间(),a b上至少存在一个实数 t，使得()()()()f bf aftba=，其中 t称为“拉格朗日”中值；据此回答：函数()2g xx=在区间1,0上的“拉格朗日中值”t=13已知函数()22lnf xxx=，若关于x的不等式()0fxm在1,e上有实数解，则实数m的取值范围是 14.已知四面体ABCD，且1ABACBDCD=，则四面体体积最大时，其外接球的表面积 为 3 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：四、解答题：本题共本题共 5

7、小题，共小题，共 77 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（13 分）已知函数()()1exf xxa=，a，()f x图象的一条切线方程为ee1yx=+；e2.71828.(1)求a；(2)当*n，2n 时，证明：111ln23nn+4 学科网（北京）股份有限公司 18（17 分）已知双曲线2222:1()0,0 xyabCab=，()4,0F是C的右焦点，C的一条渐近线方程为3yx=.(1)求C的标准方程；(2)过F的直线与C的右支交于 A,B 两点，以 AB 为直径的圆为M，是否存在定圆与圆M内切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，说明

8、理由.19（17 分）已知函数()()()121 e2 lnxf xa xx xxa+=(1)当0a=时，求()f x在区间2e,1上的最小值；(2)讨论函数()f x的极值点个数；(3)当函数()f x无极值点时，求证：12sin2aa 1 学科网（北京）股份有限公司 答案答案 选择题选择题：18：ACBD DADC 9.ABD 10.ABC 11.ABD 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1.【答案】A【详解】()()4

9、3541fxxax=+，又()fx为偶函数，所以()410a+=，即1a=，所以()()()52024,12025f xxf af=.2.【答案】C【详解】依题可知，()1e0 xfxax=在()1,2上恒成立，显然0a，所以1exxa，设()()e,1,2xg xxx=，所以()()1 e0 xgxx=+，所以()g x在()1,2上单调递增，()()1eg xg=，故1ea，即11eea=，即 a 的最小值为1e 3【答案】B【详解】若存款利率为x，则存款量是2kx，银行支付的利息是3kx，获得的贷款利息是20.0486kx，银行的收益是()230.048600.0486ykxkxx=，则

10、()20.0972300.0486ykxkxx=，令0y=得：0.0324x=或0 x=（舍去）.当00 0324xy；当0.03240.0486x时，0y.当0.0324x=时，y取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益.4.【答案】D【详解】xye=上任取(),tP t e，exy=，所以xye=在P处的切线方程为()ttyeext=，即()1ttye xt e=+，点(),a b在直线()1ttye xt e=+上，可得()()11tttbaet eat e=+=+，令()()1tf tat e=+，则()()tftat e=.当ta，()f t递增，当ta时，()0f

11、t，()f t递减，所以()()maxaf tf ae=，直线yb=与曲线()yf t=的图象有两个交点，则()maxabf te=，当1ta，当1ta+时，()0f t，作出函数()f t的图象如下：当0abe时，直线yb=与()yf t=图象有两个交点.法二：画出函数曲线xye=的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0abe.5【答案】D【详解】连接,BF AF，延长交抛物线于,C D两点，不妨假设A在B的下方，根据对称性可知，,FB FA与y轴正方向所夹的角为 2,33，因为2p=，所以41 cos3pBF=，4231 cos3p

12、AF=由余弦定 2 学科网（北京）股份有限公司 理，得1644 7162 4cos9333AB=+=6.【答案】A【详解】由双曲线方程知，右焦点()2,0F，(4,3 5)M在双曲线上，因为直线 MF 的方程为02423 50yx=，整理得()3 522yx=，令0 x=，解得3 5y=，所以()0,3 5N，又403 53 52,022+=，故MN的中点为F，所以以MN为直径的圆的圆心为 F，且()()22423 507MF=+=，连接,NQ NP PF，因为Q在以MN为直径的圆上，所以MQNQ，()cos PQPNMPN=，()()()cos PMPQPMPNMPNPM PNPFFMPFF

13、N=+2PFPF FNPF FMFM FN=，由于FMFN=，所以2222PMPQPFPF FNPF FNFNFNPF=+=249PF=，因为 P 为双曲线上点，所以min1PF=，且此时 P 在圆内，所以49 148PMPQ=.7.【答案】D【详解】方程在上恰有三个根，即直线与函数的图象有三个交点由是 R 上的奇函数，则当时，则，当时，；当时，所以在上递减，在上递增得在上的图象如下：由于直线过定点 如图连接 A，两点作直线，过点A作的切线，设切点其中，则斜率，切线过点则，即，则，当直线绕点在与之间旋转时，直线与函数在上的图象有三个交点，故 8.【答案】C【详解】()*111,1nnnaaan

14、a+=+N，1111nnaa=+，即1111nnaa=+，()12f xkx=1,21:2l ykx=()yf x=()f x()00f=01x()lnf xxx=()ln1fxx=+10ex()0fx11ex()f x10,e()f x1,1e()f x1,21:2l ykx=10,2A()10B,111:22lyx=()()ln01f xxxx=2l()00,Pxy000lnyxx=()ln1fxx=+20ln1lkx=+()()20000:lnln1lyxxxxx=+10,2A()()00001lnln102xxxx=+01=2x21ln11 ln22lk=+=1:2l ykx=10,2

15、A1l2l1:2l ykx=()yf x=1,211 ln2,2k 3 学科网（北京）股份有限公司 所以1na是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，得111nnna=+=，即1nan=，当2n 时，()22111111nann nnn=，222125001111111122223499500500aaa+=，所以222125001aaa+=二、多项选择题：二、多项选择题：本题共本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分

16、选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9.【答案】ABD【详解】()()coscos 1fxxx=，()()()()sinsin 11fxxxfx=+=+，A 正确：()()()()()sinsin 1sin sin 1f xfxxxxx+=+()()sinsin 1sinsin 10 xxxx=+=，B 正确；111coscos0222f=，而112sin022f=，所以1122ff=不成立，故 C 错误；()()coscos 1sinsin 1222fxxxxxfx=+=+，故 D 正确.10.【答案】ABC【详解】根据导函数()fx的图象，可知()0,()0faf b=，xaaxb时，(

17、)0,fx时，()0,fx()f x在(,)a上递增，()f x在(,)a b上递减，()f x在(,)b+上递增，故其大致图象如下：则有,makbt故mkabtk+，则A正确；又可得()()1f bf a，所以B正确；又有导函数()fx的图象，结合,makbt，()0fk()()()0fmfkft，故C正确；因为1akbt，则1abkt，2ba bkta又导函数()fx在(,)b+单调递增，故()()2fa bfkta，所以D错误.11.【答案】ABD【详解】取BD中点O，连接OA、OC；因为4 33AB=，60BAD=，所以4 33sin60232OAOCAB=.因为2 2AC=，所以22

18、2OAOCAC+=，所以OAOC.又因为ABAD=，O为BD的中点，则OABD，同理可得OCBD，因为OAOC，OABD，OCBDO=，OC、BD平面BCD，所以OA 平面BDC，因为OA平面ABD，所以平面ABD 平面BDC，故 A 正确；因为OA 平面BDC，OCBD，以O为原点，OB、OC、OA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，4 学科网（北京）股份有限公司 则2 3,0,03B、()0,2,0C、()0,0,2A、2 3,0,03D，当AQQC=，4PDDB=时，()0,1,1Q，3,0,03P，3,1,13PQ=，3,0,03DP=，所以点D到直线PQ的距离为

19、2221114337213PQ DPdDPPQ=，故 C 错误；设(),0,0P a、(),Q x y z，由CQCA=得，()0,22,2Q，()()222221222822PQaa=+=+，当0a=且12=时，min2PQ=，故 B 正确；当P、Q分别为线段BD、CA的中点时，()0,0,0P、()0,1,1Q，()0,1,1PQ=，2 3,0,23AD=，设PQ与AD所成的角为，26cos41623PQ ADPQAD=则，所以PQ与AD 所成角的余弦值为64，故 D 正确；三、三、填空题：填空题：12.12 13.(2,e2 14.53 12.【答案】12【详解】由()2g xx=，则(

20、0)(1)2 0(1)2ggtt=，即21t=，故1 1,02t=.13.【答案】(2,e2【详解】存在1,ex，使得()mf x，则max()mf x 因为()22lnf xxx=，所以()()()22112222xxxfxxxxx+=，当1,ex时，()0fx，所以函数()f x在1,e上单调递增，则()2max()ee2f xf=，所以2e2m，故实数m的取值范围是(2,e2.14【答案】53【详解】取BC中点O，连接,AO DO，因为1ABACBDCD=，所以AOBC，DOBC，设,BOm AOn=，则221+=mn，则01m且DOAOn=，要想四面体体积最大，则AO为三棱锥ABCD的

21、高，即AO平面BCD，则()22211111121323233A BCDVBC OD AOmnmnmm=，令()()2113f mmm=，01m，则()()()2211112333fmmmmm=+=，5 学科网（北京）股份有限公司 当303m，()f m递增，当313m时，()0fm 4 分 令()()()e,0,1 e0 xxs xxxs xx=+,则()s x在()0,+上为增函数 5 分 而()1es=，故eexx=的解为1x=，则(1)fa=，即切点为(1,)a 7 分 所以切线方程为()e(1)yax=，即eeyxa=+，所以1a=8 分(2)由(1)知，()exfxx=，当0 x

22、时，()0fx，()f x在(0,)+上单调递减 9 分 且(0)0f=，所以()(0)0f xf=，即(1)e10 xx，得1e(01)1xxx 11 分 所以1ln1xx，且1lnlnln(1)1kkkkk=，所以当2n 时，111(ln2ln1)(ln3ln2)lnln(1)lnln1ln23nnnnn+，1,12x时，()0fx=，解得89a，8 分 因为()()()()()2212121212ln34f xf xx xa xxa xxa+=+()()()()2121212127ln234ln 214x xaxxx xa xxaaa=+=+，10 分 7 学科网（北京）股份有限公司 设

23、7()ln(2)14g aaa=+，89a，则7174()044ag aaa=11 分 故()g a在8,9+上单调递增 13 分 又816559()lnln999916g ag=+=+，故()()1259ln916f xf x+15 分 18（17 分）(1)设C焦距为()20c c，则22243cbacab=+解得22412ab=，所以C的标准方程为221412xy=4 分(2)存在定圆满足题意，方程为()22616xy+=，理由如下：因为过点F的直线与C的右支交于,A B两点，所以直线AB斜率不为 0，设直线AB方程为4xmy=+，()()()112200,A x yB xyM xy，由

24、2241412xmyxy=+=，得()223124360mymy+=，()()()222244 36 3114410mmm=+，1222431myym+=，1223631y ym=，7 分 所以120212231yymym+=，0024431xmym=+=，8 分 由直线AB与C的右支交于,A B两点可知12236031y ym=，解得213m，则由圆1O与圆M相内切可知，()2126 11 3mMOrm+=，即()22222226 141231311 3mmnrmmm+=，整理得，()()()()()()222242936641442 366460nrmnnrrmnr+=15 分 因为上式与

25、m无关，所以()()()()()()22229360641442 3660460nrnnrrnr+=+=，解得64nr=，所以存在定圆1:O()22616xy+=满足题意 17 分 19（17 分）(1)当0a=时，()22 lnf xx xx=，则()()12 1 ln22 ln1fxxxxxxx=+=+，令()()g xfx=，则()121gxx=+1 分 因为2e,1x，所以()0gx=，所以()fx在2e,1上最小值为1 4 分(2)()()()11111 e1 e2 1 ln2e2 ln1xxxfxaxxxxaxxxx+=+=+，由()0fx=，解得()()1ln12 ln12 ln

26、1eexx xxxxxax+=6 分 函数ln1yxx=+在()0,+上单调递增，且值域为，令ln1xxt+=，由()0fx=，解得2etta=，设()2etth t=，则()()2 1etth t=，因为当1t，当1t 时，()0h t时，方程()h ta=无解，即()fx无零点，()fx没有极值点；（）当2ea=时，()()ln2e2 ln1x xfxxx+=+，设()()e10 xm xxx=，则()e1xm x=，令e100 xx，则()m x在)0,+上时单调递增函数，即e1xx+，得()()()2 ln12 ln10fxxxxx+=，此时()f x没有极值点；（）当20ea时，方程

27、()h ta=有两个解，即()fx有两个零点，()f x有两个极值点；（）当0a 时，方程()h ta=有一个解，即()fx有一个零点，()fx有一个极值点 综上，当0a 时，()fx有一个极值点；当20ea设()sin0,4xn xxx=，则()()2cossinxxxn xx=，记()cossin0,4p xxxx x=，则()()()1 cossincossin0,p xxxxxxxp x=+=在0,4上单调递减，当0,4x时，()()()00,0p xpn x=，即当0,4x时，不等式sin2 2xx成立 15 分 由（2）知，当函数()fx无极值点时，2ea，则1e0244a中，取12xa=，则有12 22 sin2aa，即不等式12sin2aa成立 17 分