2024届湖北武汉六中等部分重点中学高三第二次联考数学试题含答案.pdf

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1、20242024届湖北省武汉市六中等部分重点中学高三第二次联考数学试题届湖北省武汉市六中等部分重点中学高三第二次联考数学试题一、单选题一、单选题1.已知全集U=R R，集合A=x0 x2 ，B=-1,1,2,4，那么阴影部分表示的集合为()A.-1,4B.1,2,4C.1,4D.-1,2,42.已知复数z满足z2-3i=2+3iz，则 z=()A.3B.13C.7D.133.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，A，B分别为圆柱上、下底面圆的圆心，P为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为4 2，高为2 2，圆

2、柱的母线长为4，则该几何体的体积是()A.1283B.32C.96+16 23D.32+16 24.在平面直角坐标系中O为原点，A 1,1，B 2,3，则向量OA 在向量OB 上的投影向量为()A.10 1313,15 1313B.1013,1513C.5 22,5 22D.52,525.若sin512+=513，则cos 2-6=()A.-119169B.-50169C.119169D.501696.设A，B为任意两个事件，且AB，P B0，则下列选项必成立的是()A.P AP A|BB.P AP A|BC.P A0,b0)的左焦点F1，交双曲线两条渐近线于A，B两点，F2为双曲线的右焦点且

3、 AF2=BF2，则双曲线的离心率为()A.5B.52C.102D.153二、多选题二、多选题9.下列结论正确的是()A.一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17B.若随机变量，满足=3-2，则D=3D-2C.若随机变量N 4,2，且P(6)=0.8，则P(20 nN N*”是“Sn为递增数列”的充分不必要条件11.已知2a=3b=6，则下列关系中正确的是()A.a+b4B.ab2C.a2+b2212.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA平面ABCD，AD=1，PC与底面ABCD所成角的正切值为22，点M为平面ABCD内一点，且AM=AD(

4、01)，点N为平面PAB内一点，NC=5，下列说法正确的是()A.存在使得直线PB与AM所成角为6B.不存在使得平面PAB平面PBMC.若=22，则以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥P-ABCD各面的交线长为2+64D.三棱锥N-ACD外接球体积最小值为5 56三、填空题三、填空题13.x2-1x6的展开式中，x3的系数为14.与直线y=33x和直线y=3x都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为2 的圆的方程为15.已知函数 f x=log24x+2x+1+1-x，若 f 2a-1b0)的左焦点为F1-1,0，且过点A 1,83(1)求椭圆的标准方程；(2)过F1作一条斜率不为0的直线P

5、Q交椭圆于P、Q两点，D为椭圆的左顶点，若直线DP、DQ与直线l:x+4=0分别交于M、N两点，l与x轴的交点为R，则 MR NR是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由21.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn(1)求X2的概率分布列并求E X2；(2)求证：E Xn-32 (n2且nN*)为等比数列，并求出E Xn(n2且nN*)22.已知函数 f x=e lnx+1x+1-alnx，h x=exex(1)当x1时，求证：h x-12

6、x+32；(2)函数 f x有两个极值点x1，x2，其中x1e3a320242024届湖北省武汉市六中等部分重点中学高三第二次联考数学试题届湖北省武汉市六中等部分重点中学高三第二次联考数学试题一、单选题一、单选题1.已知全集U=R R，集合A=x0 x2 ，B=-1,1,2,4，那么阴影部分表示的集合为()A.-1,4B.1,2,4C.1,4D.-1,2,4【答案】A【分析】根据图确定阴影部分表示的集合，结合A的补集，即可求得答案.【详解】由题意知阴影部分表示的集合为(UA)B，由集合A=x0 x2 ，B=-1,1,2,4，可得UA=x|x2，则(UA)B=-1,4，故选：A2.已知复数z满足

7、z2-3i=2+3iz，则 z=()A.3B.13C.7D.13【答案】B【分析】由题设可得z2=13，令z=a+bi，且a,bR，结合复数乘方运算求参数，即可得模.【详解】由题设z2=(2-3i)(2+3i)=13，令z=a+bi，且a,bR，则(a+bi)2=a2-b2+2abi=13所以a2-b2=13ab=0，故a2=13b2=0，故 z=a2+b2=13.故选：B3.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，A，B分别为圆柱上、下底面圆的圆心，P为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为4 2，高为2 2，

8、圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是()A.1283B.32C.96+16 23D.32+16 21【答案】C【分析】求出圆锥的底面半径，根据圆锥以及圆柱的体积公式，即可求得答案.【详解】设圆锥的底面半径为r，则2r=4 2,r=2 2，高为2 2，故圆锥的体积为V1=13(2 2)22 2=16 23，圆柱的底面半径也为2 2，母线长也即高为4，则圆柱的体积为V2=(2 2)24=32，故几何体的体积为V1+V2=16 23+32=96+16 23，故选：C4.在平面直角坐标系中O为原点，A 1,1，B 2,3，则向量OA 在向量OB 上的投影向量为()A.10 1313,15 1313B.

9、1013,1513C.5 22,5 22D.52,52【答案】B【分析】由投影向量的定义及数量积、模长的坐标表示求向量OA 在向量OB 上的投影向量.【详解】由题设OA=(1,1),OB=(2,3)，向量OA 在向量OB 上的投影向量为OA OB|OB|OB|OB|=513(2,3)=1013,1513.故选：B5.若sin512+=513，则cos 2-6=()A.-119169B.-50169C.119169D.50169【答案】A【分析】由倍角余弦公式及诱导公式求目标式的值.【详解】cos 2+56=1-2sin2+512=1-25132=119169，cos 2-6=cos 2+56-

10、=-cos 2+56=-119169.故选：A6.设A，B为任意两个事件，且AB，P B0，则下列选项必成立的是()A.P AP A|BB.P AP A|BC.P A0，即可得答案.【详解】由AB，则AB=A，故P(A)=P(AB)P(B)，而P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B)，则P(A|B)P(B)=P(A)，又1P B0，所以P AP A|B.故选：D7.已知ex+sinxax+1对任意x 0,+恒成立，则实数a的取值范围为()A.-,2B.2,+C.-,1D.1,+【答案】A2【分析】令 f x=ex+sinx-ax-1,x0，由题意可知：f x0对任意x 0,+恒成立，

11、且 f 0=0，可得 f0=2-a0，解得a2，并代入检验即可.【详解】令 f x=ex+sinx-ax-1,x0，则 fx=ex+cosx-a，由题意可知：f x0对任意x 0,+恒成立，且 f 0=0，可得 f0=2-a0，解得a2，若a2，令g x=fx,x0，则gx=ex-sinx1-sinx0，则g x在 0,+上递增，可得g xg 0=2-a0，即 fx0对任意x 0,+恒成立，则 f x在 0,+上递增，可得 f x f 0=0，综上所述：a2符合题意，即实数a的取值范围为-,2.故选：A.8.斜率为13的直线l经过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点F1，交双曲线

12、两条渐近线于A，B两点，F2为双曲线的右焦点且 AF2=BF2，则双曲线的离心率为()A.5B.52C.102D.153【答案】B【分析】设C(x0,y0)是AB中点，且A(x1,y1),B(x2,y2)，根据x21a2-y21b2=0 x22a2-y22b2=0 求得kABkOC=b2a2，再由CF2AB得到直线l倾斜角为，则直线OC倾斜角为2，结合倍角正切公式求kOC，进而求离心率.【详解】由题设，双曲线的渐近线为y=bax，如下图，若C(x0,y0)是AB中点，且A(x1,y1),B(x2,y2)，x21a2-y21b2=0 x22a2-y22b2=0 ，则x21-x22a2-y21-y

13、22b2=0，可得y1-y2x1-x2y1+y2x1+x2=b2a2，所以kABkOC=b2a2，则kOC=3b2a2，而 AF2=BF2，则CF2AB，所以|OF1|=|OF2|=|OC|，若直线l倾斜角为，则直线OC倾斜角为2，由tan=13，则tan2=2tan1-tan2=34=3b2a2，故b2a2=14，所以双曲线的离心率为e=1+b2a2=52.故选：B【点睛】关键点点睛：若C(x0,y0)是AB中点，应用点差法求得y1-y2x1-x2y1+y2x1+x2=b2a2，即kABkOC=b2a2，由CF2AB得直线l倾斜角为，则直线OC倾斜角为2为关键.3二、多选题二、多选题9.下列

14、结论正确的是()A.一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17B.若随机变量，满足=3-2，则D=3D-2C.若随机变量N 4,2，且P(6)=0.8，则P(26)=0.6D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到2=4.712依据=0.05的独立性检验x0.05=3.841，可判断X与Y有关【答案】CD【分析】A应用百分位数求法判断；B由方差性质判断；C根据正态分布对称性求概率判断；D由独立检验的基本思想判断结论.【详解】A：由1080%=8，故第80百分位数为17+202=18.5，错；B：由方差的性质知：D=9D，错；C：由正态分布性质，随机变量

15、的正态曲线关于=4对称，所以P(26)=2 P(x0.05=3.841，结合独立检验的基本思想，在=0.05小概率情况下X与Y有关，对.故选：CD10.下列命题正确的是()A.若 an、bn均为等比数列且公比相等，则 an+bn也是等比数列B.若 an为等比数列，其前n项和为Sn，则S3，S6-S3，S9-S6成等比数列C.若 an为等比数列，其前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列D.若数列 an的前n项和为Sn，则“an0 nN N*”是“Sn为递增数列”的充分不必要条件【答案】BD【分析】A令a1=-b1即可判断，B、C由等比数列定义，结合特殊值n为偶数，q=-1

16、判断；D由充分、必要性定义，结合特殊数列判断.【详解】A：若a1=-b1且 an、bn公比相等，则a1+b1=0，显然不满足等比数列，错；B：若 an的公比为q，而S3=a1(1+q+q2)，S6-S3=a4+a5+a6=a1(q3+q4+q5)，S9-S6=a7+a8+a9=a1(q6+q7+q8)，所以S3，S6-S3，S9-S6是公比为q3的等比数列，对；C：同B分析，Sn=a1(1+q+qn-1)，S2n-Sn=a1(qn+qn+1+q2n-1)，S3n-S2n=a1q2n+q2n+1+q3n-1，若n为偶数，q=-1时，显然各项均为0，不为等比数列，错；D：当an0 nN N*，则S

17、n=Sn-1+anSn-1且n2，易知 Sn为递增数列，充分性成立；当 Sn为递增数列，则SnSn-1Sn-1+anSn-1且n2，显然 an为-1,2,2,2,满足，但an0不恒成立，必要性不成立，所以“an0 nN N*”是“Sn为递增数列”的充分不必要条件，对.故选：BD11.已知2a=3b=6，则下列关系中正确的是()A.a+b4B.ab2C.a2+b22【答案】ABD4【分析】先得到1a+1b=1，A选项，由基本不等式“1”的妙用求解；B选项，根据1a+1b=1得到ab=a+b42；C选项，由A选项得到a2+b2a+b228；D选项，先计算出a-1=log23,b-1=log32，利

18、用基本不等式得到D正确.【详解】2a=3b=6，故a=log260,b=log360，故1a+1b=log62+log63=1，A选项，由于a0,b0,ab，故a+b=a+b1a+1b=2+ba+ab2+2baab=4，A正确；B选项，因为1a+1b=1，所以ab=a+b42，B正确；C选项，由A选项知，a+b4，故由基本不等式得a2+b2a+b228，C错误；D选项，a-1=log23,b-1=log32，且log32log23，故 a-12+b-12=log232+log3222log23log32=2，D正确.故选：ABD12.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA平面ABC

19、D，AD=1，PC与底面ABCD所成角的正切值为22，点M为平面ABCD内一点，且AM=AD(01)，点N为平面PAB内一点，NC=5，下列说法正确的是()A.存在使得直线PB与AM所成角为6B.不存在使得平面PAB平面PBMC.若=22，则以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥P-ABCD各面的交线长为2+64D.三棱锥N-ACD外接球体积最小值为5 56【答案】BCD【分析】A根据已知得到PBA是PB与底面ABCD所成角，且PBA=4，由AM在面ABCD内即可判断直线PB与AM所成角范围；B由线面垂直的性质及判定证BC面PAB，再由题设有M要在直线BC上得到矛盾；C通过展开图确定球体与侧面交

20、线长度，加上底面交线长即可判断；D首先化为求棱锥N-ABCD外接球问题，并确定N在面PAB的轨迹为圆，再根据对称性取四分之一圆弧，研究N在圆弧上移动时BAN的变化范围，结合ABN的外接圆半径r=BN2sinBAN且棱锥N-ABCD外接球半径R=r2+14确定其最小值，即可判断.【详解】由PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，AD=1，可得AC=2，且PCA是PC与底面ABCD所成角，即tanPCA=PAAC=22，则PA=1，同理PBA是PB与底面ABCD所成角，故PBA=4，由题意，AM在面ABCD内，故直线PB与AM所成角不小于4，A错；PA平面ABCD，BC平面ABCD，则PABC，又

21、ABBC，PAAB=A，PA,AB面PAB，则BC面PAB，要平面PAB平面PBM，M要在直线BC上，而AM=AD(00,b0)，根据题意列关于a,b的方程，求出它们的值，进而求得半径，即可得答案.【详解】设圆心坐标为(a,b),(a0,b0)，由于所求圆与直线y=33x和直线y=3x都相切，故|3a-3b|3+9=|3a-b|3+1，化简为a2=b2，而a0,b0，则a=b，又圆心到原点的距离为2，即a2+b2=2，解得a=b=1，即圆心坐标为(1,1)，则半径为|3a-b|3+1=3-12，故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2-32，故答案为：(x-1)2+(y-1)2=2-3215

22、.已知函数 f x=log24x+2x+1+1-x，若 f 2a-1 f a+3，则实数a的取值范围为【答案】-23,4【分析】由 f x=log22x+2-x+2，根据奇偶性、单调性定义及复合函数单调性判断 f(x)性质，再由性质得|2a-1|x20，则t1-t2=2x1+2-x1-2x2-2-x2=(2x1-2x2)1-12x1+x2，由2x12x2,1-12x1+x20，故t1t2，即函数t=2x+2-x+2在(0,+)上递增，而y=log2t在定义域上递增，故 f(x)在(0,+)上递增，所以 f 2a-1 f a+3，可得|2a-1|a+3|(2a-1)2(a+3)2，故3a2-10

23、a-8=(3a+2)(a-4)0，可得-23a0，当n3时bn+1-bn0，即b1b2b4b5，所以bn的最大值为b3=3223-1=94.故答案为：4，94四、解答题四、解答题17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b tanA+tanB=2ctanB，BC边的中线长为2(1)求角A；(2)求边a的最小值【答案】(1)A=3；(2)4 33.【分析】(1)由正弦边角关系，和角正弦公式及三角形内角和性质，即可求角；(2)由题设 AB+AC=4，应用数量积的运算律、基本不等式求得bc163，再应用余弦定理求边a的最小值【详解】(1)因为b tanA+tanB=2ctanB，所以s

24、inBsinAcosA+sinBcosB=2sinCsinBcosB，则sinBsinAcosB+cosAsinBcosAcosB=sinBsin A+BcosAcosB=2sinCsinBcosB，故sinBsinCcosAcosB=2sinCsinBcosB，因为sinB0，sinC0，cosB0，所以cosA=12，又0Ab0)的左焦点为F1-1,0，且过点A 1,83(1)求椭圆的标准方程；(2)过F1作一条斜率不为0的直线PQ交椭圆于P、Q两点，D为椭圆的左顶点，若直线DP、DQ与直线l:x+4=0分别交于M、N两点，l与x轴的交点为R，则 MR NR是否为定值？若为定值，请求出该定

25、值；若不为定值，请说明理由【答案】(1)x29+y28=1(2)MR NR为定值169【分析】(1)由椭圆所过的点及焦点坐标求椭圆参数，即可得方程；(2)设直线PQ的方程为x=ty-1，P x1,y1，Q x2,y2，联立椭圆并应用韦达定理，写出直线DP的方程，进而求M纵坐标，同理求N纵坐标，由 MR NR=yMyN化简即可得结果.10【详解】(1)由题知，椭圆C的右焦点为F21,0，且过点A 1,83，结合椭圆定义，所以2a=22+832+83=6，所以a=3又c=1，所以b2=8，则C的标准方程为x29+y28=1(2)设直线PQ的方程为x=ty-1，P x1,y1，Q x2,y2，由x=

26、ty-1x29+y28=1，得 8t2+9y2-16ty-64=0，易知0，所以y1+y2=16t8t2+9，y1y2=-648t2+9，直线DP的方程为y=y1x1+3x+3，令x=-4得，yM=-y1x1+3=-y1ty1+2，同理可得yN=-y2ty2+2，所以 MR NR=yMyN=y1y2ty1+2ty2+2=y1y2t2y1y2+2t y1+y2+4=-64-64t2+32t2+4 8t2+9=169，为定值21.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数

27、为Xn(1)求X2的概率分布列并求E X2；(2)求证：E Xn-32 (n2且nN*)为等比数列，并求出E Xn(n2且nN*)【答案】(1)分布列见解析；E X2=149；(2)证明见解析；E Xn=1213n+32(n2且nN*).【分析】(1)确定X2的可能取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列，继而求得数学期望；(2)求出P Xn+1=1、P Xn+1=2、P Xn+1=3的表达式，结合期望公式可求得E Xn+1的递推式，结合构造等比数列，即可证明结论，进而求得期望.【详解】(1)X2可能取0，1，2，3，则P X2=0=23231313=481；P X2=3=23131313+1

28、3231313=481；P X2=1=13232323+23132323+23231323+23232313=3281；P X2=2=1-P X2=0-P X2=1-P X2=3=4181，故X2的分布列为：11X20123P48132814181481E X2=0481+13281+24181+3481=149；(2)由题可知P Xn+1=1=P Xn=0+1323+2313P Xn=1+2323P Xn=2=P Xn=0+49P Xn=1+49P Xn=2，P Xn+1=2=2323P Xn=1+2313+1323P Xn=2+P Xn=3=49P Xn=1+49P Xn=2+P Xn=3

29、，P Xn+1=3=1313P Xn=2=19P Xn=2，又P Xn=0+P Xn=1+P Xn=2=1E Xn+1=1P Xn+1=1+2P Xn+1=2+3P Xn+1=3=P Xn=0+129P Xn=1+159P Xn=2+2P Xn=3，E Xn+1=1+13P Xn=1+23P Xn=2+P Xn=3=1+13E Xn，E Xn+1-32=13E Xn-32(n2且nN*)，E X2-32=118，故 E Xn-32 (n2且nN*)为等比数列，E Xn-32=11813n-2，E Xn=1213n+32(n2且nN*).【点睛】关键点睛：本题将概率问题和数列问题综合在一起考查，

30、比较新颖，难度较大，解答本题的关键在于要明确n次交换后黑球的个数的概率与上一次之间的递推关系，特别是第二问，要求出概率的表达式，进而求出期望的递推式，构造数列，解决问题.22.已知函数 f x=e lnx+1x+1-alnx，h x=exex(1)当x1时，求证：h x-12x+32；(2)函数 f x有两个极值点x1，x2，其中x1e3a【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)构造F x=exex-12x+32求导，再构造m x=2-2x+ex-1(x1)应用导数研究单调性求函数符号，进而确定Fx符号，判断F x单调性即可证结论；(2)令t1=lnx1，t2=lnx2t13

31、a成立，根据极值点有et1et1=et2et2=1-a，构造h t=etet研究单调性和最值，研究h t=1-a有两个零点求t1,t2范围，即可证.【详解】(1)F x=h x-12x+32=exex-12x+32，则Fx=1-xex-1+12=2-2x+ex-12ex-1令m x=2-2x+ex-1(x1)，则mx=ex-1-2，12在 1,ln2+1上mx0，m x单调递增所以m xm ln2+1=2 1-ln20，综上，Fx0，即F x在 1,+上单调递增，故F xF 1=0，即x 1,+时，h x-12x+32成立(2)由题设 fx=1-ax-elnxx2，f x有两个极值点x1，x2

32、，则1-ax1-elnx1=01-ax2-elnx2=0，要证x2x1e3a成立，即证lnx2-lnx13a成立令t1=lnx1，t2=lnx2t13a成立式可化为1-aet1-et1=01-aet2-et2=0，则et1et1=et2et2=1-a，令h t=etet，ht=1-tet-1，在-,1上ht0，h t单调递增，在 1,+上ht0，h t单调递减h 1=1，要使h t=1-a有两个零点，则0t11t，若y=t与y=1-a交于 t1,1-a，则t1-12t+32，若y=1-a与y=-12t+32交于 t2,1-a，则1t2t2-t1=2a+1-1-a=3a成立，则x2x1e3a【点睛】关键点点睛：第二问，令t1=lnx1，t2=lnx2t13a成立，通过构造h t=etet，研究h t=1-a有两个零点求t1,t2范围为关键.13