附录 【正文】听课手册.docx

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1、附录附录1高中数学考前必记公式集合(1)U(AB)=(UA)(UB),U(AB)=(UA)(UB);(2)card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)平面向量已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为,则(1)数量积:ab=|a|b|cos =x1x2+y1y2.(2)模:|a|=x12+y12,|b|=x22+y22; |a+b|=(a+b)2=a2+2ab+b2.(3)平行:aba=bx1y2-x2y1=0.(4)垂直:abab=0x1x2+y1y2=0.(5)夹角:cos =ab|a|b|=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22.(6

2、)a在b上的投影向量为|a|cos b|b|基本不等式(1)a2+b22a+b2ab21a+1b(a0,b0),当且仅当a=b时取等号;(2)4ab(a+b)22(a2+b2),即aba+b22a2+b22,当且仅当a=b时取等号;(3)ba+ab2(ab0),当且仅当a=b时取等号,ba+ab-2(ab0f(x1)-f(x2)x1-x20f(x)是增函数;(2)减函数:(x1-x2)f(x1)-f(x2)0f(x1)-f(x2)x1-x20且a1,N0).(2)对数的运算性质:如果a0且a1,M0,N0,那么积的对数:loga(MN)=logaM+logaN;商的对数:logaMN=loga

3、M-logaN;幂的对数:logaMn=nlogaM(nR).(3)换底公式:logab=logcblogca(a0且a1,c0且c1,b0)(续表)基本初等函数的导数公式(1)C=0(C为常数);(2)(xn)=nxn-1(nR且n0);(3)(sin x)=cos x,(cos x)=-sin x;(4)(ex)=ex,(ax)=axln a(a0且a1);(5)(ln x)=1x,(logax)=1xlogae=1xlna(a0且a1)导数运算法则(1)f(x)g(x)=f(x)g(x);(2)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);(3)f(x)g(x)=f(x)g(x)

4、-g(x)f(x)g(x)2(g(x)0);(4)1g(x)=-g(x)g(x)2(g(x)0);(5)复合函数的求导法则:fg(x)=fg(x)g(x)同角三角函数的基本关系式和诱导公式(1)平方关系:sin2+cos2=1;商的关系:sincos=tan k+2,kZ.(2)公式一:sin(+k2)=sin (kZ),cos(+k2)=cos (kZ),tan(+k2)=tan (kZ);公式二:sin(+)=-sin ,cos(+)=-cos ,tan(+)=tan ;公式三:sin(-)=-sin ,cos(-)=cos ,tan(-)=-tan ;公式四:sin(-)=sin ,co

5、s(-)=-cos ,tan(-)=-tan ;公式五:sin2-=cos ,cos2-=sin ;公式六:sin2+=cos ,cos2+=-sin 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)公式C(+):cos(+)=cos cos -sin sin ,公式C(-):cos(-)=cos cos +sin sin ;(2)公式S(+):sin(+)=sin cos +cos sin ,公式S(-):sin(-)=sin cos -cos sin ;(3)公式T(+):tan(+)=tan+tan1-tantan,公式T(-):tan(-)=tan-tan1+tantan二倍角公式(1)公式S2

6、:sin 2=2sin cos ;(2)公式C2:cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2;(3)公式T2:tan 2=2tan1-tan2辅助角公式asin +bcos =a2+b2sin(+)其中ab0,tan=ba,cos=aa2+b2,sin=ba2+b2解三角形(1)正弦定理:asinA=bsinB=csinC=2R(R为ABC外接圆的半径),变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;(2)余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C,推论:cos A=b2+c2-a

7、22bc,cos B=a2+c2-b22ac,cos C=a2+b2-c22ab;(3)三角形面积公式:S=12bcsin A=12acsin B=12absin C等差数列(1)通项公式:an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d(m,nN*,d为公差);(2)前n项和公式:Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2d(续表)等比数列(1)通项公式:an=a1qn-1=amqn-m(m,nN*,q为公比);(2)前n项和公式:Sn=na1(q=1),a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q(q1)多面体和旋转体的面积和体积公式设c为底面周长,c,c0分别是正棱台上、下底面的周长,h

8、为高,h为斜高,l为母线长,r为圆柱、圆锥底面圆的半径,r,r0分别为圆台上、下底面圆的半径,R为球的半径.(1)直棱柱:S侧=ch,V=S底h;(2)正棱锥:S侧=12ch,V=13S底h;(3)正棱台:S侧=12(c0+c)h,V=13(S上底+S下底+S上底S下底)h;(4)圆柱:S圆柱侧=2rl,V=S底h=r2h;(5)圆锥:S圆锥侧=rl,V=13S底h=13r2h; (6)圆台:S圆台侧=(r0+r)l,V=13(S上底+S下底+S上底S下底)h=13(r02+r0r+r2)h;(7)球:S表=4R2,V=43R3距离公式和弦长公式(1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)

9、间的距离|P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2;(2)点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=|Ax0+By0+C|A2+B2;(3)两条平行线l1:Ax+By+C1=0和l2:Ax+By+C2=0间的距离d=|C1-C2|A2+B2;(4)直线与圆相交所得的弦长|AB|=2r2-d2;(5)空间点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离|P1P2|=(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2平均数、标准差、方差、用最小二乘法求经验回归方程(1)平均数:数据x1,x2,xn的平均数是1n(x1+x2+xn),记作x.(2)标准差:s=1n(

10、x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2;方差:s2=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2.(3)比例分配的分层随机抽样的均值和方差:如果总体分为两层,两层包含的个体数分别为M,N,两层抽取的样本量分别为m,n,两层的样本平均数分别为x,y,两层的总体平均数分别为X,Y,总体平均数为W,样本平均数为w,那么W=MM+Nx+NM+Ny=mm+nx+nm+ny=w. 设样本数据的平均数为x,方差为s2,样本分为两层,其中两层的个体数量分别为m,n,两层的平均数分别为x1,x2,方差分别为s12,s22,则x=mm+nx1+nm+nx2,s2=mm+ns12+(x1-x)2+nm+

11、ns22+(x2-x)2.(4)用最小二乘法求经验回归方程y=bx+a:b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2=i=1nxiyi-nx yi=1nxi2-nx2,a=y-bx(续表)概率(1)概率的加法公式:若事件A与事件B互斥,则P(AB)=P(A)+P(B),若事件A与事件B互为对立事件,则P(AB)=1,P(A)=1-P(B);(2)古典概型:P(A)=事件A包含的样本点个数样本空间包含的样本点个数计数原理(1)排列数公式:Anm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!(n-m)!(n,mN*,且mn),Ann=n!.(2)组合数公式:Cnm=n(n-1)(n-2

12、)(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!(n,mN*,且mn),Cnn=Cn0=1,Cnm=Cnn-m.(3)二项式定理:(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnran-rbr+Cnnbn(nN*);二项展开式的通项:Tr+1=Cnran-rbr;各二项式系数和:Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n随机变量及其分布列(1)分布列、均值、方差离散型随机变量X的分布列Xx1x2xixnPp1p2pipn均值:E(X)=x1p1+x2p2+xipi+xnpn,E(aX+b)=aE(X)+b;方差:D(X)=i=1nxi-E(X)2pi,D(aX+b)=a2D(X).(2)条件概率:事件A发

13、生的条件下,事件B发生的概率为P(B|A)=P(AB)P(A).概率的乘法公式: P(AB)=P(B|A)P(A).(3)相互独立事件:事件A与事件B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B).(4)全概率公式:一般地,设A1,A2,An是一组两两互斥的事件,A1A2An=,且P(Ai)0,i=1,2,n,则对任意的事件B,有P(B)=i=1nP(Ai)P(B|Ai).(5)n重伯努利试验:每次试验中事件A发生的概率为p(0p0a0000而且我们可以证明f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图象是关于点-b3a,f-b3a对称的,且对称点的横坐标是f(x)=0(f(x)是f(x)的导数)的

14、解.更有趣的是,若f(x)有极大值与极小值,则-b3a=x1+x22.注:我们可以进一步推广n次函数的图象的对称性如下:若f(x)是一个n次多项式,n2(因为直线从狭义上讲没有对称中心而从广义上讲有无数个对称中心),其n次项系数是a0,n-1次项系数是a1,则有:(1)如果y=f(x)的图象是中心对称图形,那么其对称中心是-a1na0,f-a1na0;(2)如果y=f(x)的图象是轴对称图形,那么其对称轴是x=-a1na0.2.常用指对数混合式函数的图象(1)y=xln x的图象如图,该函数的极值点为1e,P1e,-1e,该函数在0,1e上单调递减,在1e,+上单调递增.y=xlnx的图象如图

15、,图中虚线为渐近线x=1,该函数的极值点为e,P(e,e),该函数在(0,1),(1,e)上单调递减,在(e,+)上单调递增.(2)y=lnxx的图象如图,该函数的极值点为e,Pe,1e,该函数在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减.y=xex的图象如图,该函数的极值点为-1,P-1,-1e,该函数在(-,-1)上单调递减,在(-1,+)上单调递增.(3)y=xex的图象如图,该函数的极值点为1,P1,1e,该函数在(-,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减.y=exx的图象如图,该函数的极值点为1,P(1,e),该函数在(-,0),(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.(4

16、)关于f(x)=xex与其他三个函数的关系:y=xex=-(-xe-x)=-f(-x);y=xln x=eln xln x=f(ln x);y=lnxx=-ln x-1x-1=-ln x-1eln x-1=-f(-ln x).拓展:利用f(x)=xex的图象和性质,借助于同构思想构造一些其他复杂的函数:(x-1)ex=e(x-1)ex-1=ef(x-1);lnx+1x=eln(ex)ex=-ef-ln(ex);lnxx2=12ln x2x2=-12f(-ln x2).二、立体几何正方体的截面形状用一个平面去截正方体,所得截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形.1.三角形:当平面以一定角

17、度只截正方体的三条棱时,得到的截面是三角形,如图,其形状只能是锐角三角形. 当平面过正方体的共顶点的三条棱的中点时,所得截面为正三角形;当平面过正方体的共顶点的三条棱的末端(不重合的顶点)时,得到的正三角形面积最大.2.四边形:当平面以一定角度只截正方体的四条棱时,得到的截面是四边形,其形状可以是正方形、非矩形的平行四边形、矩形、菱形、梯形(含等腰梯形),如图所示.3.五边形:当平面以一定角度只截正方体的五条棱时,得到的截面是五边形,但不可能是正五边形,如图所示.4.六边形:当平面以一定角度截正方体的六条棱时,得到的截面是六边形,可以是正六边形(特别地,截面与正方体各棱的交点为所在棱的中点时,

18、截面为正六边形),如图所示.当六边形为正六边形时,所得的截面的面积最大,可以用投影公式法证明,即用公式S六边形=S投影cos证明,其中为截面与正方体底面所成的角.三、解析几何1.椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦点在x轴上,若A,B是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上异于A,B的一点,直线AP的斜率存在且不为0,则kPAkPB=-b2a2,如图;若A,B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)上的任意两点,P是弦AB的中点,直线AB的斜率存在且不为0,且AB不过原点,则kOPkAB=-b2a2 ,其中O为坐标原点,如图.若C是焦点在y轴上的椭圆,则两个结论改为-a2b2;若C是焦

19、点在x轴上的双曲线,则两个结论改为b2a2;若C是焦点在y轴上的双曲线,则两个结论改为a2b2.2.若P0(x0,y0)在圆x2+y2=r2(r0)上,则在P0处的圆的切线方程是x0x+y0y=r2;若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上,则在P0处的椭圆的切线方程是x0xa2+y0yb2=1;若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上,则在P0处的双曲线的切线方程是x0xa2-y0yb2=1;在抛物线y2=2px(p0)上任一点P0(x0,y0)处的切线方程为yy0=p(x+x0).3.直线AB过椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F

20、,与C交于点A,B,过A,B分别作C的切线交于点P,则点P在直线x=a2c(此直线为椭圆的一条准线)上,且PFAB;反之,点P在直线x=a2c(此直线为椭圆的一条准线)上,过点P作椭圆的两条切线,切点为A,B,则直线AB过椭圆的右焦点.四、统计与概率甲、乙、丙三人相互做传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求n次传球后球在甲手中的概率.在概率内容考查中,常常出现以数列为背景,与递推数列有关的问题,上面的这道题就是选择性必修第三册第91页的练习题,实质是根据题意得出递推关系:an=pan-1+q(p,q是非零常数,n2),求通项公式.其实还有一

21、些其他的模型:1.an+1=pan+f(n)型例1(环形区域染色问题)将一个圆环分成n(nN*,n3)个区域,用m(m3)种颜色给这n个区域染色,要求相邻区域不使用同一种颜色,但同一颜色可重复使用,则不同的染色方案有多少种?分析:如图,设an为用m(m3)种颜色给n个区域染色满足条件的方案数,则1区有m种染法,2区有m-1种染法,3,4,5,n-1,n区各有m-1种染法,根据分步乘法计数原理知共有m(m-1)n-1种染法,但是,这些染法中包含了n区和1区染上相同颜色的情况.而n区与1区染上相同颜色的方案数,就是用m种颜色给n-1个区域染色满足条件的方案数,an=m(m-1)n-1-an-1(n

22、4),且a3=m(m-1)(m-2),则an-(m-1)n=-an-1-(m-1)n-1(n4),则an-(m-1)n=a3-(m-1)3(-1)n-3(n4),an=(m-1)n+(m-1)(-1)n-2(n4),又a3=m(m-1)(m-2)满足上式,故an=(m-1)n+(-1)n-2(m-1)(n3).2.an+1=anf(n)型例2(结草成环问题)现有n(nN*)根草,共有2n个草头,现将2n个草头平均分成n组,每两个草头打结,求打结后所有草能构成一个圆环的打结方法数.分析:将2n个草头平均分成n组,每两个草头打结,设打结后所有草能构成一个圆环的打结方法数为an.将草头编号为1,2,3,2n-1,2n,如图所示.草头1可以和草头3,4,5,2n-1,2n,共2n-2个草头相连.假设1和3相连,则与余下共n-1根草相连能构成一个圆环的打结方法数为an-1,an=(2n-2)an-1(n2,nN*),a1=1,anan-1=2n-2(n2),当n2时,an=anan-1an-1an-2a2a1a1=(2n-2)(2n-4)21=2n-1(n-1)!,当n=1时满足上式,故an=2n-1(n-1)!(nN*).