强基计划专题练09 计数原理与概率统计(原卷版).docx
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1、专题训练09 计数原理与概率统计一、单选题1小林同学喜欢吃4种坚果:核桃腰果杏仁榛子,他有5种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果,至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同,且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数,那么不同的方案数为()A20160B20220C20280D203402已知,其中为展开式中项系数,则下列说法不正确的有()A,BCD是,是最大值3要在每个班级抽取一名学生参加晚读小测具体的抽取方法是:计算两名数学课代表的座位号之和与两名英语课代表座位号之和的差的绝对值,则最后的结果就是被抽中学生的座号(每个班的数学课代表和英语课代表至少各一名,至多各两
2、名,若只有一名或某名同学同时担任数学课代表和英语课代表,则在上述计算中重复代入这名同学的座号;若计算结果不是任何一名学生的座号,则在这个班不抽取,假设每个班的数学课代表和英语课代表的座号是等可能分布的)已知某班级共有50名学生,则某名学生被抽中的概率的最大值是()ABCD二、多选题4如图,已知正方体顶点处有一质点Q,点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动,且向每个顶点移动的概率相同从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次若质点Q的初始位置位于点A处,记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为,则下列说法正确的是()ABC点Q移动4次后恰好位于点的概率为0D点Q移动10次后仍在底面AB
3、CD上的概率为三、填空题5若,则下列结论中正确的有_若为整数,则;是正整数;是的小数部分;设,若、为整数,则.6已知a,b,c,d,e为5个实数,若a,b,c,d、a,b,c,e、a,b,d,e的方差均为1,则b,c,d,e方差的最大值是_.四、解答题72021年9月15日至17日,世界新能源汽车大会在海南海口召开,大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流,最新研发了一款新能源汽车.为了推广该款新能源汽车,购买新能源汽车将会得到相应的补贴,标准如下:购买的新能源汽车价格(万元)补贴(万元)571015(1)本月在A市购买新能源汽车的4000人中随机抽取300
4、人,统计了他们购买的新能源汽车的价格并制成了如下表格(这4000人购买的新能源汽车价格都在60-100万元之间)利用样本估计总体,试估计本月A市的补贴预算(单位:亿元,保留两位小数)(2)该公司对这款新能源汽车的单次最大续航里程进行了测试,得到了单次最大续航里程与售价的关系如下表.根据数据可知与具有线性相关关系,请建立与的回归方程(系数精确到).周小姐想要购买一辆单次最大续航为的该款新能源汽车,请根据回归方程计算周小姐至少要准备多少钱(单位:万元,保留两位小数)售价x(万元)6670738190单次最大续航里程200230260325405(3)某汽车销售公司为促进消费者购买该新款新能源汽车,
5、现面向意向客户推出“玩游戏,送大奖”活动,活动规则如下:箱子里有2个红球,1个黄球,1个蓝球,客户从箱子里随机取出一个球(每一个球被取出的概率相同),确定颜色后放回,连续抽到两个红球时游戏结束,取球次数越少奖励越好,记取次球游戏结束的概率为.周小姐参与了此次活动,请求周小姐取球次数的数学期望.8现有一种射击训练,每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹,每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立已知射击训练有A,B两种型号的炮弹,对于A型号炮弹,每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p(),且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6,击中两弹目标飞行物必坠段;对子B型号炮弹,每发炮弹击中目标飞行物的概率
6、均为q(),且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.4,击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8,击中三弹目标飞行物必坠毁(1)在一次训练中,使用B型号炮弹,求q满足什么条件时,才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于;(2)若,试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大?并说明理由9袋中有个白球和个黑球,从中任取一球,若取出白球,则把它放回袋中;若取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复次这样的操作后,记袋中白球的个数为.(1)求的数学期望;(2)设,求,.10设集合,其中,在M的所有元素个数为K(,2Kn)的子集中,我们把每个K元子集的所有元
7、素相加的和记为(,2Kn),每个K元子集的最大元素之和记为(,2Kn),每个K元子集的最小元素之和记为(,2Kn)(1)当n4时,求、的值;(2)当n10时,求的值;(3)对任意的n3,给定的,2Kn,是否为与n无关的定值?若是,请给出证明并求出这个定值:若不是,请说明理由11十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议,决定批准这个规划纲要.纲要指出:“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干,攻克系列“卡脖子”技术,已成功实现离子注入机全谱系产品国产化,包括中束流大束流高能特种应用及第三代半导体等离子注入机,工艺段覆盖
8、至28,为我国芯片制造产业链补上重要一环,为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献.该企业使用新技术对某款芯片进行试生产.(1)在试产初期,该款芯片的批次生产有四道工序,前三道工序的生产互不影响,第四道是检测评估工序,包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中,前三道工序的次品率分别为,.求批次芯片的次品率;第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰,合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为,求工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率(百分号前保留两位小数).(2)已知
9、某批次芯片的次品率为,设个芯片中恰有个不合格品的概率为,记的最大值点为,改进生产工艺后批次的芯片的次品率.某手机生产厂商获得批次与批次的芯片,并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访,对开机速度进行满意度调查.据统计,回访的名用户中,安装批次有部,其中对开机速度满意的有人;安装批次有部,其中对开机速度满意的有人.求,并判断是否有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关?附:.12一只蚂蚁从正方形的顶点出发,每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点,其中顺时针的概率为,逆时针的概率为,设蚂蚁经过步回到点的概率为.(1)求,;(2)设经过步到达点的概率为,求的值;(3)求.13
10、现有一批疫苗试剂,拟进入动物试验阶段,将1000只动物平均分成100组,任选一组进行试验第一轮注射,对该组的每只动物都注射一次,若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体,说明疫苗有效,试验终止;否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射,再次检验如果被二次注射的动物都产生抗体,说明疫苗有效,否则需要改进疫苗设每只动物是否产生抗体相互独立,两次注射疫苗互不影响,且产生抗体的概率均为(1)求该组试验只需第一轮注射的概率(用含的多项式表示);(2)记该组动物需要注射次数的数学期望为,求证:14为抢占市场,特斯拉电动车近期进行了一系列优惠促销方案.要保证品质兼优,特斯拉上海工厂在车辆出厂前抽取100辆Mo
11、del3型汽车作为样本进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析,得到如图所示的频率分布直方图:(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代替).(2)根据大量的测试数据,可以认为Model3这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布,经计算第(1)问中样本标准差s的近似值为50.用样本平均数作为的近似值,用样本标准差s作为的估计值,现从生产线下任取一辆汽车,求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.(3)为迅速抢占市场举行促销活动,特斯拉销售公司现面向意向客户推出“玩游戏,赢大奖,送车模”活动,客户可根据拋掷硬币的结果,指
12、挥车模在方格图上行进,若车模最终停在“幸运之神”方格,则可获得购车优惠券6万元;若最终停在“赠送车模”方格时,则可获得车模一个.已知硬币出现正反面的概率都是0.5,方格图上标有第0格第1格第2格第20格.车模开始在第0格,客户每掷一次硬币,车模向前移动一次.若掷出正面,车模向前移动一格(从k到k+1),若掷出反面,车模向前移动两格(从k到k+2),直到移到第19格(幸运之神)或第20格(赠送车模)时游戏结束.设车模移到第格的概率为,试证明是等比数列;若有6人玩游戏,每人参与一次,求这6人获得优惠券总金额的期望值(结果精确到1万元).参考数据:若随机变量服从正态分布,则15已知集合,集合,(,)
13、都是集合A的子集如图,作m行列数表,其中第k行第l列的数为12记,;,;对于m,n和,若存在集合,满足下列条件:;对任意的,的元素个数均为t则称有序数组是相容的(1)求出所有相容的有序数组;(2)若是相容的,请直接给出t的值,并给出一个满足条件的数表(3)求出所有相容的有序数组16在合理分配团队合作所得时,我们往往会引入Shapley值来评判一个人在团队中的贡献值.首先,对员工编号(1,2,).我们假定个人单独工作时带来的贡献是,考虑到在个人工作的基础上如果分出小组可能会得到更高的效率,记集合的元素为一个小组中成员的编号,例如:集合表示编号为1,2,3,4的员工结为一个小组,并记这个组为.再记
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