03 模块三　立体几何 【正文】听课手册.docx

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1、微专题8空间几何体微点1空间几何体的表面积与体积 例1 (1)(多选题)2023连云港模拟 折扇在我国已有三四千年的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”.它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面,是运筹帷幄,决胜千里,大智大勇的象征(如图).图是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分),若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3,且ABC=120,则( )A.该圆台的高为223B.该圆台的表面积为349C.该圆台的体积为52281D.该圆台的上底面面积、下底面面积和侧面积之比为1924(2)2023新课标卷 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为

2、3的正四棱锥,所得棱台的体积为.听课笔记 【规律提炼】1.关于几何体的表面积问题的考查,要注意的是多面体的表面积是各个面的面积之和;旋转体的表面积等于侧面积与底面面积的和;对于简单组合体,应搞清各构成部分,并注意重合部分的删、补.2.关于几何体的体积问题的考查,若给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解,其中,求三棱锥的体积常用等体积转换法.对于不规则几何体,则要将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.自测题1.2023广东深圳二调 设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为V1,V2和V3,则( )A.V1V2V3B.V2V1V3C.V

3、3V1V2D.V3V2V12.刍(ch)甍(mng)是中国古代算数中的一种几何体,其结构特征是:底面为矩形,上棱和底面平行,且上棱的长不等于底面上与上棱平行的棱的长,是一个对称的楔形体.如图,已知一个刍甍底面矩形的长为6,底面矩形的宽为4,上棱长为2,高为2,则它的表面积是( )A.242B.24+242C.24+245D.24+162+853.2023镇江中学三模 一个圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,高为2.在该圆台中,以该圆台的上底面为底面,挖去一个半球,则剩余部分几何体的体积为.微点2线面位置关系的判断 例2 (多选题)2023湖南常德一中模拟 已知四棱台ABCD-A1B1C1D1

4、中,底面ABCD是面积为16的正方形,点A1在平面ABCD上的射影为点A,DD1=52,A1B1=2,则( )A.平面ACC1A1平面ADD1A1B.四边形BDD1B1为等腰梯形C.四棱台ABCD-A1B1C1D1的体积为14D.直线CC1,BD的夹角为45听课笔记 【规律提炼】(1)利用线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.(2)借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,结合有关定理,进行判断.(3)注意转化与化归思想,必要时可进行线与线、线与面、面与面垂直与平行的转化.在论证过程中,要注意定理成立的条件,推理要严谨.自测题1.(多选题)20

5、23山东青岛一检 下列说法正确的是( )A.若直线a不平行于平面,a,则内不存在与a平行的直线B.若一个平面内两条不平行的直线都平行于另一个平面,则C.设l,m,n是三条不同的直线,m,n在平面内,则“l”是“lm且ln”的充要条件D.若平面平面1,平面平面1,则平面与平面所成的二面角和平面1与平面1所成的二面角相等或互补2.(多选题)2023马鞍山三模 在正三棱锥P-ABC中,D,E分别为棱PA,BC的中点,G,H分别在线段BD,PE上,且满足BGGD=PHHE=21,则下列说法一定正确的是( )A.直线GH与平面ABC平行B.直线GH与PB垂直C.直线GH与AC异面D.直线GH与PA所成的

6、角为601.2021新高考全国卷 已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )A.2B.22C.4D.422.2022新高考全国卷 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库,已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(72.65)( )A.1.0109 m3B.1.2109 m3C.1.4109 m3D.1.6109 m33.2023

7、全国乙卷 已知圆锥PO的底面半径为3,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母线,AOB=120,若PAB的面积等于934,则该圆锥的体积为( )A.B.6C.3D.364.2023天津卷 在三棱锥P-ABC中,线段PC上的点M满足PM=13PC,线段PB上的点N满足PN=23PB,则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为( )A.19B.29C.13D.495.(多选题)2023新课标卷 已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,APB=120,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P-AC-O的平面角为45,则( )A.该圆锥的体积为B.该圆锥的侧面积为43C.AC=22D.PAC

8、的面积为36.(多选题)2022新高考全国卷 如图,四边形ABCD为正方形,ED平面ABCD,FBED,AB=ED=2FB,记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,则( )A.V3=2V2B.V3=2V1C.V3=V1+V2D.2V3=3V17.2023新课标卷 在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=2,则该棱台的体积为.微专题9球的截面性质与切接问题微点1几何体的外接球 例1 已知三棱锥P-ABC满足PA=PB=PC=BC=23,BAC=60,则三棱锥P-ABC的外接球O的体积为( )A.36B.18C.92D.163听课笔记

9、 自测题1.2023广东深圳二模 已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此三棱锥的体积为( )A.26B.36C.23D.222.2023邵阳三模 在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,PA=4,AC=2AB=23,ACAB,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为.微点2几何体的内切球例2 2023湖南常德一中模拟 现有一个底面边长为23,侧棱长为22的正三棱锥框架,其各顶点都在球O1的球面上.将一个圆气球O2放在此框架内,再向气球内充气,当圆气球O2恰好与此正三棱锥各棱都相切时停止充气,此时球O1和球O2的表面积之和为( )A

10、.23B.(60-166)C.(60+166)D.(22-25)听课笔记 自测题2023苏锡常镇一模 已知正四面体PABC的棱长为1,点O为底面ABC的中心,球O与该正四面体的其余三个面都有且只有一个公共点,且公共点非该正四面体的顶点,则球O的半径为( )A.612B.69C.29D.23微点3球的截面问题例3 2020全国新高考卷 已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,BAD=60.以D1为球心,5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.听课笔记 自测题已知球O的体积为1256,高为1的圆锥内接于球O,经过圆锥顶点的平面截球O和圆锥所得的截面面积分别为S1,S2,若S1=25

11、8,则S2=( )A.2B.5C.6D.22【规律提炼】 1.“接”的处理:把一个多面体的几个顶点放在球面上即球的外接问题,解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体顶点的距离等于球的半径.2.“切”的处理:解决与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体的有关问题,解答时要先找准切点,通过作截面来解决,如果内切的是多面体,则多通过多面体过球心的对角面来作截面.3.“截”的处理:选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系),达到空间问题平面化的目的.1.2022新高考全国卷 已知正三棱台的高为1,上下底面的边长分别为33和43,其顶

12、点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A.100B.128C.144D.1922.2022北京卷 已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是ABC及其内部的点构成的集合.设集合T=QS|PQ5,则T表示的区域的面积为( )A.34B.C.2D.33.2022新高考全国卷 已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上,若该球的体积为36,且3l33,则该正四棱锥体积的取值范围是( )A.18,814B.274,814C.274,643D.18,274.2023全国甲卷 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O为AC1的中点,若该正方体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值

13、范围是.5.2020全国卷 已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.类型一几何体的嵌套问题 1 (多选题)2023新课标卷 下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )A.直径为0.99 m的球体B.所有棱长均为1.4 m的四面体C.底面直径为0.01 m,高为1.8 m的圆柱体D.底面直径为1.2 m,高为0.01 m的圆柱体类型二几何体的切接问题 2 2023陕西咸阳三模 已知抛物线y=14x2(y8),把该抛物线绕其对称轴旋转一周得到一个几何体,在该几何体中放置一个小球,若使得小球始终与该几何体的底部相接,则小球

14、体积的最大值为( )A.4B. 43C. 323D. 2563类型三动点的切接问题 3 2022全国乙卷 已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为( )A.13B.12C.33D.22自测题(多选题)2023广东茂名二模 如图所示,有一个棱长为4的正四面体PABC容器,D是PB的中点,E是棱CD上的动点,则下列说法正确的是( ) A.直线AE与PB所成的角为2B.ABE周长的最小值为4+34C.如果在这个容器中放入1个小球(全部进入),则小球半径的最大值为63D.如果在这个容器中放入10个完全相同的小球(全部进入),则小球半径的最大

15、值为6-2微专题10空间角与空间距离微点1空间角的计算问题 例1 2023河北邯郸二模 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,BCAD,BC平面PAB,PA=AB=BC=2AD=2,E为AB的中点,且PEEC.(1)求证:BD平面PEC;(2)求平面PEC与平面PCD夹角的余弦值.例2 2023南通三模 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=4,BC=2,A1C=23,ACBC,A1AB=60.(1)证明:BC平面ACC1A1;(2)设点D为CC1的中点,求直线A1D与平面ABB1A1所成角的正弦值.自测题如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,BC=8,AB=AC=5,B1C1=CC

16、1=4,M,O分别为B1C1,BC的中点,侧面BCC1B1为等腰梯形. (1)证明:平面ABC平面AOM;(2)若二面角A-BC-C1的大小为6,求直线BB1与平面AA1C1C所成角的正弦值.微点2距离与体积问题 例3 2023湖南常德一中模拟 直四棱柱ABCD-A1B1C1D1被平面所截,所得的一部分如图所示,其中EF=DC.(1)证明:ED平面ACF;(2)若DC=2AD=4A1E=2,ADC=3,平面EFCD与平面ABCD夹角的正切值为433,求点E到平面ACF的距离.自测题2023南京二模 如图,在梯形ABCD中,ABCD,ADDC,AB=22,AD=DC=2,现将ADC沿AC向上翻折

17、,使点D到达点P的位置,得到直二面角P-AC-B,如图,点M在线段BP上.(1)求证:APCM;(2)若点M到直线AC的距离为255,求BMBP的值.微点3探索性问题 例4 2023新课标卷 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)证明:B2C2A2D2;(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150时,求B2P.自测题2023天津十二区联考 在如图所示的几何体中,已知底面ABCD是正方形,PA平面ABCD,PADQ,PA=AD=3DQ=3

18、,点E,F分别为PB,CQ的中点.(1)求证:EF平面ADQP.(2)求平面PCQ与平面CQD夹角的余弦值.(3)在棱PC上是否存在点M,使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是427?若存在,求出PMMC的值;若不存在,请说明理由.1.2023全国甲卷 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C平面ABC,ACB=90,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1.(1)证明:A1C=AC;(2)已知AA1与BB1的距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.2.2023新课标卷 如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BDCD,ADB=ADC=60,E为BC的中点.(1)证明

19、:BCDA;(2)点F满足EF=DA,求二面角D-AB-F的正弦值.微专题11立体几何中的动点、截面与折叠展开问题微点1动点轨迹 例1 (多选题)2023山东济宁二模 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M为空间中任意一点,则下列结论中正确的是( ) A.若M为线段AC上任意一点,则D1M与B1C1所成角的取值范围为4,2B.若M为正方形ADD1A1的中心,则三棱锥M-ABD外接球的体积为8C.若M在正方形DCC1D1内部,且MB=6,则点M的轨迹的长度为22D.若三棱锥M-BDC1的体积为43,MD1C=6恒成立,则点M的轨迹为椭圆听课笔记 【规律提炼】1.在立体几何中,某些点、

20、线、面按照一定的规则运动,构成各式各样的轨迹.2.探求空间轨迹与探求平面轨迹类似,应注意几何条件,善于基本轨迹转化.对于较为复杂的轨迹,常常要分段考虑,注意特定情况下的动点的位置,然后对任意情形加以分析判定,也可转化为平面问题.自测题已知正三棱锥A-BCD的所有棱长均为2,点M,N分别为棱AD和BC的中点,点E为棱AB上一个动点,则MEN的周长的最小值为( )A.3B.2+2C.1+2+3D.4+2微点2多面体截面 例2 (多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱A1B1,BB1上的动点,过点D,E,F的平面截该正方体的截面记为,则下列说法正确的是( )A.当A1

21、E=2时,A1C1平面B.当E,F分别为棱A1B1,BB1的中点时,三棱锥A-DEF的体积为1C.当E为棱A1B1的中点且BF=12时,记平面与BC的交点为G,则BG=27D.当E为棱A1B1的中点且0B1F1时,为五边形听课笔记 【规律提炼】 多面体的截面方式共有三种,分别为横截、竖截和斜截,解决多面体截面问题的关键是通过截面方式得到正确的截面图形.自测题在正方体ABCD-ABCD中,AB=4,E为BC的四等分点(靠近点B),F为AD的四等分点(靠近点A),过点C,E,F作该正方体的截面,则截面的周长是( )A.924+252B.823+252C.823+403D.423+403微点3折叠与

22、展开之夹角、距离问题 例3 2023金华模拟 在矩形ABCD中,AB=2BC=4,AD的中点为M,折叠矩形使得A落在边CD上,则点M到折痕所在直线的距离的取值范围是.听课笔记 【规律提炼】 在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题,常用的解题思路是:(1)直观判断:在变化过程中判断点、线、面在何位置时,所求的量有相应最大、最小值.(2)函数思想:通过建系或引入变量,把这类动态问题转化为目标函数,从而利用代数方法求目标函数的最值.自测题在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,BAD=60,M,N分别为直线AB,CD上的动点,将ABD沿BD折叠,直到三棱锥A-BCD的体积最大,不再继续折叠.在折叠过程中,记M,N两点之间的最小距离为d,则d的最小值为.(多选题)2021新高考全国卷 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足BP=BC+BB1,其中0,1,0,1,则( )A.当=1时,AB1P的周长为定值B.当=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值C.当=12时,有且仅有一个点P,使得A1PBPD.当=12时,有且仅有一个点P,使得A1B平面AB1P