11 微专题9　球的截面性质与切接问题 【正文】教师.docx

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1、微专题9球的截面性质与切接问题 备选理由 例1考查几何体体积问题及球的截面性质,体现了建模思想和数学在实际问题中的应用;例2考查圆柱、三棱柱以及外接球问题,也考查了球的截面性质,考查较为综合;例3考查四棱锥、三棱锥以及其外接球的综合问题,通过给出四棱锥的条件得到三棱锥的一些信息,图形较为复杂,需要一定的空间想象能力和几何转化能力;例4考查正四面体及其外接球问题,也考查了与球有关的截面上的交线问题,体现了立体几何与平面几何的转化. 1 配例3使用 2023河北邯郸二模 如图,球缺是指一个球被平面截下的一部分,截得的圆面叫作球缺的底面,垂直于截面的直径被截下的一段叫作球缺的高.已知球缺的体积V=3

2、(3R-h)h2,其中R是球的半径,h是球缺的高.某航空制造公司研发一种新的机械插件,其左、右两部分为相同的圆柱,中间部分为球切除两个相同的球缺后剩余的部分,制作尺寸如图所示(单位:cm).则该机械插件中间部分的体积约为(3)( C )A.62 326cm3B.62 328cm3C.62 352cm3D.62 356cm3解析 过球心和圆柱的底面圆的圆心作该几何体的截面,可得截面图如图所示,由已知可得AB=14 cm,设D为AB的中点,则AD=7 cm,设球的球心为O,连接OA,OD,由已知可得2(OD+AE)=58,又AE=5 cm,所以OD=24 cm,易知ODA是以OA为斜边的直角三角形

3、,所以OA=OD2+AD2=25(cm),即球的半径R=25 cm,所以以O为球心,OA为半径的球的体积V1=43R3=62 5003(cm3),又3,所以V162 500 cm3.因为球的半径R=25 cm,OD=24 cm,所以被切除的球缺的高h=1 cm,所以一个球缺的体积V2=3(3R-h)h274(cm3),所以该机械插件中间部分的体积约为62 500-742=62 352(cm3).故选C. 2 配例1、例3使用 2023山西九师联盟质检 如图,棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1的上、下底面分别内接于圆柱OO1的上、下底面,则圆柱OO1的侧面积与其外接球的表面积的比值为237

4、.解析 设三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2a,所以ABC外接圆的半径r=2a2sin60=23a3,所以圆柱OO1外接球的半径R=2a22+23a32=213a,故圆柱OO1外接球的表面积为4213a2=283a2.又圆柱OO1的侧面积为223a32a=833a2,所以圆柱OO1的侧面积与其外接球的表面积的比值为833a2283a2=237. 3 配例1使用 2023德州三模 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,PA=1,AB=2,AD=3,点E为BC上靠近B的三等分点,则三棱锥P-ADE外接球的表面积为( A )A.11B.12C.14D.16解析 由题意

5、可得BE=1,EC=2,AE=AB2+BE2=5,DE=DC2+CE2=22,所以在三角形AED中,由等面积法可得12ADAB=12AEEDsinAEDsinAED=ADABAEED=32522=310.设三角形AED的外接圆半径为r,圆心为O,则由正弦定理得2r=ADsinAED=3310=10r=102.设三棱锥P-ADE外接球的半径为R,球心为O,球心O到平面AED的距离为h,过O作OHPA,垂足为H,连接PO,OA,OO,OA,易知四边形OOAH为矩形,则OH=OA=r,PO2=R2=OA2,即r2+(1-h)2=h2+r2,因此h=12,则R=112,故三棱锥P-ADE外接球的表面积

6、为4R2=11.故选A. 4 配例1、例3使用 在棱长为6的正四面体ABCD中,已知点O为该四面体的外接球的球心,则以O为球心,302为半径的球面与该四面体的表面的交线长度为26.解析 如图,取CD的中点M,BCD的中心O1,连接AM,BM,AO1,OB,易知点O在AO1上,AMCD,BMCD,AO1平面BCD,所以AO1BO1,AM=BM=33,BO1=23,则AO1=26.因为OB2=OO12+BO12=(AO1-AO)2+BO12=(AO1-BO)2+BO12,所以AO=326,则OO1=126.设P为球面与面BCD的交线上一点,连接OP,PO1,则OP2=OO12+PO12,即3022

7、=1262+PO12,所以PO1=6.所以点P在以O1为圆心,6为半径的圆上,如图,设此圆与BCD的边CD的一个交点为P1,与边DB的一个交点为P2,且点P1,P2靠近点D,过O1作O1MCD于M,O1M1BD于M1,连接O1P1,O1P2,由O1M=3,O1P1=6,得MO1P1=4,同理P2O1M1=4,又MO1M1=23,所以P1O1P2=6,所以球面与面BCD的交线是三段半径为6,圆心角为6的圆弧.因为劣弧P1P2的长为66,所以由对称性可知球面与该四面体的表面的交线长度为4366=26.点睛 多面体的面所在平面截球面所得圆与该面交线长度求法:先作球心O到平面的垂线,垂足O1即为所得圆的圆心,可以建立球半径R与所得圆半径r的关系:R2=r2+OO12.若交线是若干圆弧,需要计算每段圆弧长,则圆弧长之和即为交线长度,可用平面几何求解.