08 微专题7　数列中的双数列问题 【正文】教师.docx

《08 微专题7　数列中的双数列问题 【正文】教师.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《08 微专题7　数列中的双数列问题 【正文】教师.docx（2页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、微专题7数列中的双数列问题 备选理由 例1考查数列的奇偶交叉问题以及求和问题;例2考查双数列插项问题;例3考查利用两个数列的关联性探究数列的基本计算问题. 1 配例1使用 2023山东济宁二模 已知数列an的前n项和为Sn,an-1+an+1=2an(n2,nN*),且a1=1,S5=15.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=an,n为奇数,2bn-1,n为偶数,求数列bn的前2n项和T2n.解:(1)由an-1+an+1=2an(n2),得an+1-an=an-an-1(n2),所以数列an为等差数列,所以S5=5a1+a52=5a3=15,得a3=3,所以数列an的公差d=a3-a1

2、3-1=1,所以an=n.(2)当n为奇数时,bn=an=n,当n为偶数时,bn=2bn-1=2n-1,所以T2n=(b1+b3+b2n-1)+(b2+b4+b2n)=1+3+(2n-1)+(2+23+22n-1)=n2+22n+1-23. 2 配例2使用 2023广东茂名三模 已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且a1=1,Sn+12-Sn2=8n.(1)求Sn;(2)在数列an的相邻两项ak,ak+1之间依次插入a1,a2,ak,得到数列bn:a1,a1,a2,a1,a2,a3,a1,a2,a3,a4,求bn的前20项和T20.解:(1)因为Sn+12-Sn2=8n,所以当n2时,

3、Sn2=(Sn2-Sn-12)+(S32-S22)+(S22-S12)+S12=8(n-1)+82+81+1=81+2+3+(n-1)+1=8n(n-1)2+1=(2n-1)2,因为an0,所以Sn0,故Sn=2n-1.当n=1时,S1=a1=1,符合上式,所以Sn=2n-1,nN*.(2)因为Sn=2n-1,nN*,所以当n2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-2(n-1)-1=2,所以an=1,n=1,2,n2,所以数列bn的前20项分别为1,1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2,2,2,2,所以bn的前20项由6个1与14个2组成,所以T20=61+142=

4、34. 3 配例3使用 2023山东淄博三模 已知数列an中,a1=1,点 P(an,an+1),nN*在直线x-y+1=0上.(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=1an,Sn为数列bn的前 n项和,试问:是否存在关于n的整式g(n),使得S1+S2+Sn-1=(Sn-1)g(n)(n2,nN*)恒成立?若存在,求出g(n)的表达式;若不存在,请说明理由.解:(1)因为点P(an,an+1),nN*在直线x-y+1=0上,所以an-an+1+1=0,即an+1-an=1,又a1=1,所以数列an是以1为首项,1为公差的等差数列,所以an=1+(n-1)1=n.(2)由(1)可知,bn=1

5、an=1n,所以Sn=1+12+13+1n,所以Sn-Sn-1=1+12+13+1n-1+12+13+1n-1=1n(n2),即nSn-nSn-1=1(n2),所以nSn-(n-1)Sn-1=Sn-1+1(n2),所以(n-1)Sn-1-(n-2)Sn-2=Sn-2+1,(n-2)Sn-2-(n-3)Sn-3=Sn-3+1,2S2-S1=S1+1,所以nSn-S1=S1+S2+S3+Sn-1+n-1(n2),所以S1+S2+S3+Sn-1=nSn-n=n(Sn-1)(n2).根据题意,S1+S2+Sn-1=(Sn-1)g(n)(n2,nN*)恒成立,所以g(n)=n,所以存在关于n的整式g(n)=n,使得S1+S2+Sn-1=(Sn-1)g(n)(n2,nN*)恒成立.