05 模块五　解析几何 【答案】听课手册.docx

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1、模块五解析几何微专题16直线与圆微点1例1(1)A(2)(x-2)2+(y-1)2=4解析 (1)因为圆心C(1,0)到直线y=2的距离d=2,所以半径为2,所以圆C的方程为(x-1)2+y2=4.故选A.(2)令y=0,则x2-4x+1=0,解得x1=2-3,x2=2+3,不妨令A(2-3,0),B(2+3,0);令x=0,得y=1,则C(0,1).设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),则(2+3-a)2+b2=r2,(2-3-a)2+b2=r2,a2+(1-b)2=r2,解得a=2,b=1,r=2,所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.【自测题】B解析 圆A:(x+

2、1)2+(y+1)2=4的圆心为A(-1,-1),半径为2.连接AB,OB,设B(x,y),因为CD为圆A:(x+1)2+(y+1)2=4的一条弦,且以CD为直径的圆始终经过原点O,所以ABCD,|OB|=12|CD|,可得(x+1)2+(y+1)2+x2+y2=4,化简可得点B的轨迹方程为x2+y2+x+y-1=0.故选B.微点2例2(1)CD(2)(-2,2)解析 (1)易知直线y=kx+1恒过点P(0,1),圆C:(x-2)2+y2=9的圆心为C(2,0),半径r=3.当直线经过圆心时,|AB|最大,|AB|max=2r=6;连接PC,当直线与PC垂直时,|AB|最小,|AB|min=2

3、r2-|PC|2=29-5=4.因此4|AB|6,故|AB|的值可能为4或5.故选CD.(2)由题意得,圆心(0,0)到直线l:x+y-2=0的距离等于圆的半径,则半径r=|2|2=2,所以圆O的标准方程为x2+y2=2.设直线m的方程为y=x+b,与x2+y2=2联立,消去y得2x2+2bx+b2-2=0,由=(2b)2-8(b2-2)0,得b24,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-b,x1x2=12(b2-2).因为OPOQ0,所以x1x2+y1y20,又y1=x1+b,y2=x2+b,所以x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b20,将代入,得b20,所以

4、-2b2,故直线m的纵截距的取值范围是(-2,2).【自测题】1.ABC解析 对于A选项,在y=x+1中,当x=0时,y=1,故直线l在y轴上的截距为1,故A正确;对于B选项,直线l的斜率为1,设直线l的倾斜角为,则tan =1,得=4,所以直线l的倾斜角为4,故B正确;对于C选项,圆心到直线的距离d=12=220),其圆心为(0,0),半径为r,圆M:(x-6)2+y2=4,其圆心为(6,0),半径R=2.对于A,因为(4-6)2+22=84,所以点(4,2)在圆 M:(x-6)2+y2=4 外,故过点(4,2)作圆M的切线恰有2条,故A不正确;对于B,若圆O和圆M恰有3条公切线,则圆O和圆

5、M相外切,必有|OM|=r+R,即6=r+2,解得r=4,故B正确;对于C,当圆O和圆M外离时,|PQ|的最小值为|OM|-r-R=1,此时r=3,当圆O和圆M内含时,|PQ|的最小值为r-|OM|-R=1,此时r=9,故C不正确;对于D,当r=2时,两圆外离,则直线PQ的斜率的最大值是斜率为正的内公切线斜率,则直线PQ斜率的最大值为r+R|OM|2-(r+R)2=436-16=255,故D正确.故选BD.(2)方法一:如图,由图易知x=-1为公切线CD的方程.设切点B(cos ,sin ),则由A(3,4)可知cos =35,sin =45,所以B35,45,又kOA=43,所以过点B的公切

6、线的斜率为-34,所以过点B的公切线的方程为y-45=-34x-35,即3x+4y-5=0.由x=-1,y=43x,可得C-1,-43,设公切线CE的方程为y+43=k(x+1),即3kx-3y+3k-4=0,由|3k-4|9k2+9=1,解得k=724,所以公切线CE的方程为7x-24y-25=0. 方法二:显然公切线的斜率不为0,设公切线的方程为x+by+c=0,则|c|1+b2=1,|3+4b+c|1+b2=4,故c2=1+b2,|3+4b+c|=|4c|,所以3+4b+c=4c或3+4b+c=-4c,再结合可得b=0,c=1或b=-247,c=-257或b=43,c=-53,所以公切线

7、有三条,其方程分别为x+1=0,7x-24y-25=0,3x+4y-5=0(填一个即可).【自测题】1.A解析 圆C1:x2+y2=4的圆心为C1(0,0),半径r1=2,圆C2:(x-a)2+(y+a)2=1的圆心为C2(a,-a),半径r2=1,若两圆有公切线,则|C1C2|r1-r2|,即a2+(-a)21,解得a-22或a22,所以“a22”是“圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x-a)2+(y+a)2=1有公切线”的充分不必要条件.故选A.2.B解析 因为点P在直线y=2x-4上,所以设P(t,2t-4),圆O:x2+y2=1的圆心为O(0,0),所以PO的中点Q的坐标为t2,t-2

8、,则|QO|=t24+(t-2)2,所以以PO为直径的圆Q的方程为x-t22+y-(t-2)2=14t2+(t-2)2,即x2+y2-tx-(2t-4)y=0,则圆Q与圆O的公共弦所在直线方程为tx+(2t-4)y-1=0,即直线AB的方程为t(x+2y)-(4y+1)=0.令x+2y=0,4y+1=0,解得x=12,y=-14,所以直线AB过定点12,-14,故选B.1.A解析 直线是圆的一条对称轴,圆心(a,0)在直线2x+y-1=0上,即2a+0-1=0,解得a=12.2.B解析 由x2+y2-4x-1=0可得(x-2)2+y2=5,可得圆心坐标为(2,0),半径r=5.又点(0,-2)

9、到圆心(2,0)的距离d=22,所以sin2=rd=522=104,cos2=d2-r2d=64,故sin =2sin2cos2=154.3.A解析 连接OA,由题意可知|OA|=1,|OP|=2,OAPA,则APO=4,|PA|=1.设OPC=,当点A,D位于直线PO异侧时,04,则PAPD=|PA|PD|cos+4=12cos cos+4=2cos 22cos-22sin=cos2-sin cos =1+cos22-12sin 2=12-22sin2-4,因为04,所以-42-44,所以当2-4=-4时,PAPD取得最大值1.当点A,D位于直线PO同侧时,04,则PAPD=|PA|PD|c

10、os4-=12cos cos4-=2cos 22cos+22sin=cos2+sin cos =1+cos22+12sin 2=12+22sin2+4,因为04,所以42+44,故点P到直线AB的距离的取值范围为1155-4,1155+4,1155+4-10=1155-6=115-305=605-90050,即1155+410,故选项A正确;1155-4-2=1155-60,即1155-42,故选项B不正确;易知当PBA最大或最小时,PB均为圆的切线,此时|PB|=(5-0)2+(5-2)2-42=32,故选项C,D均正确.故选ACD.方法二:直线AB的方程为x4+y2=1,即x+2y-4=0

11、.设P(5+4cos ,5+4sin ),则点P到直线AB的距离d=|5+4cos+2(5+4sin)-4|12+22=11+45sin(+)5,其中tan =12,因为dmax=11+45510,dmin=11-4550,n0)对称,所以圆心(5,2)在此直线上,即5m+2n=2,所以2m+3n-15=12(5m+2n)2m+3n-15=-7+124nm+15mn-7+1224nm15mn=-7+215,当且仅当4nm=15mn,即m=5-155,n=15-32时,等号成立.故选D.例412,512解析 OA=OC+CA=(2+2cos ,2+2sin ),所以点A(x,y)的坐标满足方程(

12、x-2)2+(y-2)2=2,该方程表示圆C,如图所示,点B(2,0).设直线OA的方程为y=kx,当直线OA与圆(x-2)2+(y-2)2=2相切时,OA与OB的夹角取得最小值和最大值.由|2k-2|k2+(-1)2=2,解得k=2-3或k=2+3,所以2-3k2+3.设OA与OB的夹角为,0,则2-3tan 2+3,可得12512,所以OA与OB夹角的取值范围为12,512. 【自测题】D解析 由题意知,|a|=|b|=2,=60,则a2=4,由c2-2ac+3=0可得c2-2ac+a2=1,即(a-c)2=1.设c=(x,y),a=(1,3),b=(2,0),则a-c=(1-x,3-y)

13、,b+c=(x+2,y),所以(x-1)2+(y-3)2=1,|b+c|=(x+2)2+y2,所以点(x,y)的轨迹为以C(1,3)为圆心,半径为1的圆,|b+c|=(x+2)2+y2表示圆C上的点(x,y)到定点B(-2,0)的距离,而|b+c|的最小值即为圆心C到定点B(-2,0)的距离减去半径,如图所示,又|BC|=(1+2)2+(3-0)2=23,所以|b+c|min=|BC|-1=23-1.故选D. 微专题17圆锥曲线的标准方程与性质微点1例1(1)B(2)y24+x23=1解析 (1)设准线l与x轴交于点H,依题意知QFH=60,|HF|=3,则|QH|=33,|QF|=6,又|P

14、F|=|QP|,PQF=60,所以PQF为等边三角形,故|PF|=6.故选B.(2)将抛物线方程化为标准方程得x2=4y,焦点为F(0,1).抛物线的焦点与椭圆C的一个焦点重合,椭圆的焦点在y轴上.设椭圆方程为y2a2+x2b2=1(ab0),则c=1,2a=4,a=2,b2=a2-c2=3,椭圆C的标准方程为y24+x23=1.【自测题】1.D解析 由双曲线C的离心率e=5,得c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=5,所以ba=2,所以双曲线C的渐近线方程为y=2x.由题得圆的圆心为(2,3),半径r=1,则圆心到渐近线y=2x的距离d1=|22-3|22+(-1)2=551,即渐近线y=

15、-2x与圆相离,所以|AB|=2r2-d12=21-15=455.故选D.2.BD解析 因为点P(m,n)在椭圆x23+y22=1上,所以m23+n22=1(-3m3),即n2=2-23m2,所以|PQ|=(m-a)2+n2=(m-a)2+2-23m2=13m2-2am+a2+2=13(m-3a)2+2-2a2.若033,则当m=3时,|PQ|的值最小.故选BD.3.4解析 因为圆M:(x+3)2+(y-3)2=1,所以M(-3,3),圆M的半径r=1.抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线为直线l:x=-1,连接PF,FM,则点P到直线l的距离d=|PF|,所以点P到直线l的距离与|

16、PQ|之和为|PF|+|PQ|,所以当M,Q,P,F四点共线且Q在M,P之间时,|PF|+|PQ|取得最小值,最小值为|FM|-r=(1+3)2+(0-3)2-1=4.微点2例2(1)A(2)355解析 (1)不妨设B在第一象限内,连接BD,正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上,直线BD的方程为y=x.椭圆的焦点在正方形的内部,点(c,c)在椭圆内,c2a2+c2b20,又e2(0,1),e20,3-52,e0,5-12.故选A.(2)方法一(坐标法):依题可设F1(-c,0),F2(c,0),B(0,n),由F2A=-23F2B,可得A53c,-23n,所以F1A=83c,-23n,又F1B=

17、(c,n),所以由F1AF1B可得83c2-23n2=0,即n2=4c2.因为点A在C上,所以259c2a2-49n2b2=1,即25c2a2-16c2c2-a2=9,即25e2-16e2e2-1=9,解得e2=95或e2=15(舍去),所以e=355.方法二(几何法):由F2A=-23F2B可得|F2A|F2B|=23,设|F2A|=2x,|F2B|=3x,由对称性可得|F1B|=3x,易知点A在双曲线的右支上,根据双曲线的定义可得|F1A|=2x+2a.又|AB|=5x,F1AF1B,所以sinF1AF2=|F1B|AB|=3x5x=35,所以cosF1AF2=45,即|F1A|AB|=2

18、x+2a5x=45,可得x=a,所以|AF1|=4a,|AF2|=2a.在AF1F2中,由余弦定理可得cosF1AF2=45=16a2+4a2-4c216a2,即5c2=9a2,得e=355.【自测题】1.A解析 设过点A(-a,0)且一个方向向量为n=(1,-1)的一束光线经过直线y=-b上的点B,M的右焦点为C.由题知CAB=45,kAB=-1,所以由反射光线的性质可得kBC=1,故ABBC,所以ABC为等腰直角三角形,且B到AC的距离为b,又|AC|=c+a,所以a+c=2b,两边同时平方得a2+c2+2ac=4b2=4(a2-c2),即(3a-5c)(a+c)=0,可得3a=5c,所以

19、离心率e=ca=35.故选A.2.C解析 易知点M,N关于x轴对称,令MF1F2=,0|MF2|=2a-m,则(2a-m)2+m2=4c2,得m2-2am+2b2=0,解得m=a+a2-2b2或m=a-a2-2b2(舍去),|MF1|=a+a2-2b2,|MF2|=a-a2-2b2,S=|MF1|MF2|=2b2,又Sl2=2b216a2=132,即a2-c2a2=1-e2=14,e=32.微点3例3(1)C(2)33解析 (1)方法一:由题可知F1(-2,0),F2(2,0),F1AB的面积是F2AB面积的2倍,则点F1到直线y=x+m的距离是点F2到直线y=x+m距离的2倍,故|-2+m|

20、2=2|2+m|2,化简可得3m2+102m+6=0,即(3m+2)(m+32)=0,解得m=-23或m=-32,又直线y=x-32与C不相交,所以m=-23.故选C.方法二:不妨设直线y=x+m与x轴的交点为Q(-m,0),因为F1AB的面积是F2AB面积的2倍,所以点F1到直线y=x+m的距离是点F2到直线y=x+m距离的2倍,则|F1Q|=2|F2Q|.若Q在线段F1F2上,则|F2Q|=223,所以-m=23,即m=-23;若Q在线段F1F2的延长线上,则|F2Q|=22,所以-m=32,即m=-32,此时直线y=x+m与椭圆相离.故选C.(2)设AB的中点为M,设A,B,M到直线l:

21、y=-1的距离分别为dA,dB,dM,则由抛物线的定义可知, dM=12(dA+dB)=12|AB| ,故过点A,B且与直线l相切的圆就是以AB为直径的圆.设A(x1,y1),B(x2,y2),则Q(x1,y2),P(-x2,y2),由QB=2PQ,可得x2=-3x1.因为直线AB过点F,所以可设直线AB的方程为y=kx+1,代入x2=4y,可得x2-4kx-4=0,=16k2+160,所以x1+x2=4k,x1x2=-4,结合x2=-3x1得12k2=4,得k=33,故直线AB的斜率为33.【自测题】1.B解析 点F为抛物线C:y2=4x的焦点,F(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y

22、2),AF=tFB(t1),x1x2.当直线l的斜率不存在时,AF=FB,此时t=1,不符合题意,故直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-1),由y=k(x-1),y2=4x,化简整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由根与系数的关系,可得x1+x2=2k2+4k2=2+4k2,|AB|=163,|AB|=|AF|+|FB|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+2=2+4k2+2=163,解得k2=3,将代入可得,3x2-10x+3=0,解得x1=3,x2=13.AF=tFB(t1),|AF|=t|FB|,又|AF|=x1+p2=3+1=4,|FB|=x2+p

23、2=13+1=43,t=3.故选B.2.ACD解析 由kx-y-k=0可得y=k(x-1),所以直线l恒过点(1,0),故A正确.设椭圆C的半焦距为c(c0),则椭圆C的焦点为(c,0),(-c,0).若直线l恒过点(-c,0),则0=k(-c-1)对任意实数k都成立,故c=-1,矛盾;若直线l恒过点(c,0),则0=k(c-1)对任意实数k都成立,故c=1,所以a2-b2=1.故B错误.由x2a2+y2b2=1,y=kx-k,消去y可得(a2k2+b2)x2-2a2k2x+a2k2-a2b2=0,由对任意实数k,l与C总有两个互异公共点,可得关于x的方程(a2k2+b2)x2-2a2k2x+

24、a2k2-a2b2=0有两个不相等的实数解,所以=(-2a2k2)2-4(a2k2+b2)(a2k2-a2b2)0恒成立,所以k2(a2-1)+b20恒成立,所以a1,故C正确.=(-2a2k2)2-4(a2k2+b2)(a2k2-a2b2)=4a2b2k2(a2-1)+b2,当a1时,由=0,得k2=b21-a2,解得k=b21-a2,此时l与C有且只有一个公共点,故D正确.故选ACD.3.2解析 直线3x-y-23=0与x轴的交点为(2,0),斜率为3,所以双曲线C的一个焦点为(2,0),一条渐近线的斜率为3,则a2+b2=22,ba=3,解得a=1,b=3,所以双曲线的实轴长为2a=2.

25、微点4例4(1)x=-32(2)23,4)解析 (1)不妨设P在第一象限,则Pp2,p,kOP=pp2=2,故kPQ=-12,因此直线PQ的方程为y-p=-12x-p2,令y=0,得x=52p,因此|FQ|=52p-p2=2p=6,解得p=3,所以C的准线方程为x=-p2=-32.(2)记AF1F2的内切圆与边AF1,AF2,F1F2的切点分别为R,S,T,可得M,T的横坐标相等,连接MT,MR,MS,NT,则|AR|=|AS|,|F1R|=|F1T|,|F2S|=|F2T|,由|AF1|-|AF2|=23,可得|AR|+|RF1|-(|AS|+|SF2|)=|RF1|-|SF2|=23,即|

26、F1T|-|F2T|=23.记M的横坐标为x0,则T(x0,0).由题可得F1(-23,0),F2(23,0),则x0+23-(23-x0)=23,得x0=3,易知N的横坐标也为3,则有MNx轴.设直线AB的倾斜角为,连接ON,F2N,MF2,其中O为坐标原点,则OF2N=2,MF2O=90-2.在MF2N中,|MN|=|TF2|tan2+tan90-2= 3sin2cos2+cos2sin2=23sin.因为直线AB与双曲线的右支有两个交点,且一条渐近线的斜率为ba=33=3,倾斜角为60,另一条渐近线的斜率为-ba=-3,倾斜角为120,所以60120,即320,设P(x1,y1),Q(x

27、2,y2)(x1x2),则x1+x2=k,x1x2=1,所以|OP|OQ|=(x12+y12)(x22+y22)=(x12+x14)(x22+x24)=x12x22(1+x12)(1+x22)=(1+x12)(1+x22)=x12x22+x12+x22+1=x12+x22+22x1x2+2=2=|OA|2,故C选项正确;|BP|BQ|=x12+(y1+1)2x22+(y2+1)2=(x12+k2x12)(x22+k2x22)=x12x22(1+k2)(1+k2)=(1+k2)(1+k2)=1+k25=|BA|2,故D选项正确.故选BCD.5.B解析 方法一:设F1PF2=2,02,则SPF1F

28、2=b2tanF1PF22=b2tan .由cosF1PF2=cos 2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=35,可得tan =12.由椭圆方程可知,a2=9,b2=6,c2=a2-b2=3,所以SPF1F2=12|F1F2|yP|=1223|yP|=612,所以yP2=3,则xP2=91-36=92,故|OP|=xP2+yP2=3+92=302.故选B.方法二:由题可知,|PF1|+|PF2|=2a=6,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cosF1PF2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-65|PF1|PF2|=12,联立,可得|PF1

29、|PF2|=152,|PF1|2+|PF2|2=21,又PO=12(PF1+PF2),所以|OP|=|PO|=12|PF1+PF2|,即|OP|=12|PF1+PF2|=12|PF1|2+2PF1PF2+|PF2|2=1221+235152=302.故选B.方法三:由题可知,|PF1|+|PF2|=2a=6,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cosF1PF2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2-65|PF1|PF2|=12,联立,可得|PF1|2+|PF2|2=21,由三角形中线定理可知,(2|OP|)2+|F1F2|2=2(|PF1|2+|PF2|2)=42,易知|F

30、1F2|=23,解得|OP|=302.故选B.6.13解析 不妨设F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,E在第一象限,如图,连接AF1,DF2,EF2.因为椭圆的离心率e=ca=12,所以a=2c,则b=3c,所以|AF1|=|AF2|=a=2c=|F1F2|,可知AF1F2为等边三角形,所以直线DE为AF2的中垂线,则ADE的周长等于F2DE的周长,由椭圆的定义知F2DE的周长为4a.易知直线DE的方程为y=33(x+c),由y=33(x+c),x24c2+y23c2=1消去y,整理得13x2+8cx-32c2=0,设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-8c13,x1x2=-3

31、2c213,由|DE|=1+13-8c132+432c213=6,可得c=138,所以4a=8c=13. 高考进阶4圆锥曲线的光学性质问题例1ACD解析 对于A选项,由已知可得a=3,b=1,所以C的渐近线方程为y=13x=33x,故A正确;对于B选项,设N(0,yN),则y0-0x0-3x0=0-yN3x0-0,整理可得-x02yN+3yN=3y0,又x023-y02=1,所以x02=3+3y02,所以-(3+3y02)yN+3yN=3y0,解得yN=-1y0,所以点N的坐标为0,-1y0,故B错误;对于C选项,易得直线l的方程为y=x03y0x-1y0,与双曲线C的方程x23-y2=1联立

32、,消去y并化简得1y02(x-x0)2=0,故AM为双曲线的切线,连接AF1,AF2,由双曲线的光学性质可知,AM平分F1AF2,延长F1H,与AF2的延长线交于点E,则AH垂直平分F1E,即点H为F1E的中点,所以|AF1|=|AE|,又坐标原点O是F1F2的中点,所以|OH|=12|F2E|=12(|AE|-|AF2|)=12(|AF1|-|AF2|)=a=3,故C正确;对于D选项,S四边形AF1NF2=SAF1F2+SNF1F2=12|F1F2|y0|+1|y0|1242|y0|1|y0|=4,当且仅当|y0|=1|y0|,即y0=1时,等号成立,所以四边形AF1NF2面积的最小值为4,故D正确.故选ACD.例232解析 设PF2Q=,由直线PF2的斜率为-2,得tan =2,则sin =63,cos =33.又|PQ|=|QF2|,则QPF2=,连接PF1,由椭圆的光学性质知PQ平分F1PF2,则F1PF2=2,故PF1F2=-3.在PF1F2中,由正弦定理得|PF1|sin=|PF2|sin(-3)=|F1F2|sin2,则椭圆C的离心率e=2c2a=|F1F2|PF1|+|PF2|=sin2sin+sin(-3)=2sincossin+3sin-4sin3=2cos4cos2=12cos=32.例3258解析 由条件可知A