高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例学案含解析.docx

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1、高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例学案含解析中学数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例学案含解析 本文关键词：导数，举例，及其应用，中学数学，解析中学数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例学案含解析 本文简介：1.4生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例提出问题某厂家安排用一种材料生产一种盛500mL溶液的圆柱形易拉罐问题1：生产这种易拉罐，如何计算材料用得多少呢？提示：计算出圆柱的表面积即可问题2：如何制作运用材料才能最省？提示：要运用料最省，只需圆柱的表面积最小可设圆柱的底面半径为x，列出中学数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例学案含解析

2、 本文内容：1.4生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例提出问题某厂家安排用一种材料生产一种盛500mL溶液的圆柱形易拉罐问题1：生产这种易拉罐，如何计算材料用得多少呢？提示：计算出圆柱的表面积即可问题2：如何制作运用材料才能最省？提示：要运用料最省，只需圆柱的表面积最小可设圆柱的底面半径为x，列出圆柱表面积S2x2(x0)，求S最小时，圆柱的半径、高即可1优化问题生活中常常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2用导数解决优化问题的基本思路1在求实际问题的最大(小)值时，肯定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去2在解决实际优化问题时，不仅要留意将问题中

3、涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范围利用导数解决面积、体积最值问题如图，ACB45，|BC|3，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将ABD折叠，使BDC90(如图所示)当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大？在如图所示的ABC中，设|BD|x(0x3)，则|CD|3x.由ADBC，ACB45知，ADC为等腰直角三角形，所以|AD|CD|3x.由折叠前ADBC知，折叠后，如图所示，ADDC，ADBD，且BDDCD，所以AD平面BCD.又BDC90，所以SBCD|BD|CD|x(3x)于是VA-BCD|AD|SBCD(3x)x

4、(3x)(x36x29x)令f(x)(x36x29x)，由f(x)(x1)(x3)0，且0x3，解得x1.当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,3)时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取得最大值f(1)，即VA-BCD取得最大值.故当|BD|1时，三棱锥A-BCD的体积最大利用导数解决优化问题的一般步骤(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式yf(x)(2)求函数f(x)的导数f(x)，并解方程f(x)0，即求函数可能的极值点(3)比较函数f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f(x)的最大值或最小值(4)依据实际问题的意义给出答案如右图，要设计一矩形广告牌，

5、该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？解：设广告牌的高和宽分别为xcm、ycm，则每栏的高和宽分别为x20，其中x20，y25.两栏面积之和为2(x20)18000，由此得y25.广告牌面积为S(x)x25x，S(x)2525.令S(x)0，得x140；令S(x)0，当x200时f(x)9时，y0，所以函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x9时函数取最大值3做一个无盖的圆柱形水

6、桶，若要使水桶的体积是27，且用料最省，则水桶的底面半径为_解析：设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r0)，则水桶的高为，所以Sr22rr2(r0)，求导数，得S2r，令S0，解得r3.当03时，S0，所以当r3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省答案：34某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y117x2(x0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产_千台解析：设利润为y，则yy1y217x2(2x3x2)2x318x2(x0)，y6x236x6x(x6)令y0，解得x0或x6.经检验知x6既是函数的极大值点又是函数的

7、最大值点答案：65一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如下图所示，其中O为圆心，C，D在半圆上)，设BOC，木梁的体积为V(单位：m3)，表面积为S(单位：m2)(1)求V关于的函数表达式(2)求的值，使体积V最大(3)问：当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由解：(1)等腰梯形ABCD的面积SABCDsinsincossin，.故木梁的体积V()10(sincossin)，.(2)由(1)知V()10(2cos2cos1)10(2cos1)(cos1)，.令V()0，得cos或cos1(舍去)，.当时，0，V()为增函数；当时，00，右侧L(p)0)，所以g(x)(x0)，令g(x)0，则x8.当08时，g(x)0，所以x8时，函数取得微小值，且为最小值故当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省第7页 共7页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页