“数形结合”思想在中学数学教学中的应用.docx

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1、的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。一方面，他借助图形的力量可以把很多抽象的数学问题容易化和简单化，给人一种直观容易的感受。其中另一方面，它可以将图形中隐藏的数学问题转化为数学中的代数问题，这样就可以得到更准确、更快捷的答案，从而提高解决问题与分析问题的能力。本文通过一些具体教学案例分析比较在教学中使用数形结合思想的优越性，从而归纳总结数形结合思想在中学数学教学中的应用。关键词：数形结合 中学数学 思想方法 目 录1.引 言.12. “数形结合”的发展.12.1数学思想萌芽时期的数形结合数形不分.12.2古代数学发展时期的数形结合从

2、数占上风到形占上风.22.3解析几何产生后的数形结合数形结合.22.4近代与现代数学的数形结合.33.“数形结合”思想对中学生学习数学的重要意义. .33.1中学生学习特征分析.33.2“数形结合”思想对中学学习数学的重要意义.44. “数形结合”在中学数学教学中应用实例分析.54.1“数形结合”在集合教学中的应用.54.2“数形结合”在解方程教学的应用.64.3“数形结合”在解不等式教学中的应用.74.4“数形结合”在最值问题教学的应用.74.5“数形结合”在解析几何的应用.84.6“数形结合”在勾股定理教学的应用.9结论.10致谢.11参考文献.11“数形结合”在中学教学中的应用1 引 言

3、目前，中学数学教科书包含以下数学思维方法：数形结合，思维转换，数学转换。思维的分类，方程思想，但是在学校的教科书中数形结合是最常见的，以及学生应当学习这种思维方式。数学是一门科学，它主要是研究现实世界的数量关系和空间的形式，“数”和“形”在数学中是相互关联和转化的。它将图中的隐性条件转化为代数关系是一种数形结合的智力方法。许多数学课本都在研究这种方法，特别是中学数学的应用、方程的应用和不等式的应用。解析几何的应用，最大值和最小值的解决问题等。数形结合的思想方法在中学数学教学中的渗透方法可以是：把比较抽象的数学问题以及数学的知识内容通过图形让学生更直观、更明了的理解所涉及的数学问题，利用图形化的

4、方式把理论性较强的数学知识进行表现，这可以更好的帮助学生理解数学问题中比较复杂是数量关系以及它的概念问题，这对提高中学生数学能力以及解决综合问题的能力有着关键的重要作用。数学中的“数”与“形”两者之间存在转化与结合的联系，为了实现两者的有效结合和转化，需要将两者相互结合，以用来解决中学数学中存在的部分问题。如果要实现中学生数学的学习和思维两者的联系，则需要以思维为基础进行教学探讨。所以，让学生思维的开发与应用在中学教学中占据着非常重要的地位，现在已经得到了非常广泛的应用，这能够高效而且准确的提升了数学课堂的有趣性与数学课堂的活跃度，降低了中学生学习数学的难度系数以及避免了数学学习的枯燥性，同时

5、这也符合新课标的要求，这对培养中学生头脑的思维能力有着显著的作用，这能够有效突破传统思维的束缚，能够活学活用，举一反三。灵活掌握并且运用所学习的知识，充分利用到学习中，让学生理解并且合理的运用数形结合的思想。2. “数形结合”的发展窗体顶端窗体底端2.1数学思想萌芽时期的数形结合数形不分总体来说，“数”与“形”经历了由合到分，又由分到合的阶段。我们可以发现数学的发展与数形结合是相互联系，密不可分的。历史上数形结合的发展趋势可以概括为以下的这些阶段：在人类的原始时代，人对数的认识是形影不离的。这个时期的“数”和“形”是紧密的结合在一起的。比如：天上的太阳（太阳就与阿拉伯数字1联系在一起）、人有十

6、个手指头（阿拉伯数字10与人的手指头结合在一起）等等。最早的计数方法也体现的这一点，结绳记事，用石头在树上刻标志。以及中国古代的算盘是中国历史上最长的计算工具，同时也是一个最长的计数工具。这可以算是数形结合应用最广泛的、最深远例子了。这个阶段的“数”产生于各种“形”的计算，“数”又借助于“形”得以使用、记录、以及计算。这个时期，由于人们对数的认识有限，所开发的知识水平不够高，所以这个阶段的数形结合是必然的。2.2古代数学发展时期的数形结合从数占上风到形占上风由于发现了非有理数（无理数），古希腊人不承认非有理数数字，但是为了解决许多数学问题，其中一种方法引入了变量的概念）（变量不能指定一个特定的

7、值，但它可以类似于数字。它可以确定两个值和比例之间的关系。在亚历山大，希腊数学家直接将无理数用于计算。在此期间，代数与几何分离，成为一门学科。在16世纪，代数取得了优异的成绩。结果，解决二次、三次和四次方程的根问题，建立了一种可以用字母符号解决问题的系统。但系统受到规则和逻辑的影响。理由：他们只限制几何研究的方案，表面的问题是有限的范围，圆筒面、锥体等遇到抛物线、弧或螺旋弧的情况下，不能直接计算，所有这一切都需要“数”和“形”的迫切结合和联系。2.3解析几何产生后的数形结合数形结合在进入17世纪以后，由于世界发展，物理、天文以及各种技术的需要，对于研究圆锥曲线具有重大意义，在这个背景下，解析几

8、何产生了。解析几何的问世加深了“数”与“形”的结合与联系，使“数”与“形”的结合发生了突飞猛进的增长。在现代代数学的发展进程中，数量关系的几何解释“形”的作用是具有显著性的作用，假如一个数量关系没有办法用“形”来描绘的话，它就很难指出它的几何意义，这样数学研究就无法继续讨论下去。所以，这时候，为了解决这一问题，法国的数学家笛卡尔创立了直角坐标系。其思想是直角坐标平面内，将每个几何点（形）与数对（数）建立起一一对应关系，顺理成章地使每条曲线同时与每个方程也建立起一一对应关系，这样就可以通过几何问题转化为坐标问题，从而进一步发展成代数问题，之后再采用代数的方法来解决这些代数问题。2.4近代与现代数

9、学的数形结合在现代数学中，数字被认为是一种代数，包括分析、数学和代数方程，而形式则是一种几何形状。包括解析几何、欧几里得、微分几何等，但分析几何不仅仅是形式研究。”因此，它不是一个完整的几何自其诞生以来。然后，代数，几何和分析，可以说，密切相关和发展的组合，因为基本的分析几何的想法是将代数方程与曲线、曲面和其他图形联系起来，而微分几何则与此相联系，因此，数字和数字的组合也是现代数学的必然发展。“数”和“形”的组合经过了数学的整个发展过程。3“数形结合”思想对中学生学习数学的重要意义3.1 中学生学习特征分析初中教育是重要的生活课程。高中是从小学与中学的发展期，从学生的身体和智力发展到青少年的过

10、渡期。他们具有巨大的可塑性，这不仅是获得基本知识和技能的最佳时期，促进学生的数学思维能力的发展。学生数学思维的提升最为重要的一个阶段就是初中时期，是学生学习高等数学的一个过渡时期，初中生的年龄通常在13到16岁的范围内，正是由童年向青年的转变阶段。处于这个阶段的学生他们乐观、积极，并且也是自尊心和自信心增强的事情，但是他们没有良好的自制力和自觉性，容易受外界的影响，没有稳定的个性倾向，在逻辑思维能力、创新能力以及协作能力方面有着一定的基础，但仍需要不断的提高。中学生的数学思维能力正由低层次转变成高层次，不断的发展形成抽象思维。因此，在中学数学教学当中，教师需要注意学习方法以及工具的选用，重视引

11、导学生，营造出一个创新、自由、高效的学习环境来使得学生获取知识的欲望得以激发，促进学生数学思维能力的提升。促进学生数学思维技能的发展。中小学数学教科书中最普遍和最重要的思维方式是数形结合。因此，教育学生如何使用“数形结合”的思维是非常重要的3.2 “数形结合”思想对中学学习数学的重要意义数形结合的方法有助于老师直观地表达出数学知识，优化数学概念的形成，应用数字和形状的组合的思维方法，改变数字和形状的表达形式，使无聊的数学知识变得有趣。激发学生学习的兴趣，积极探索、理解，并且激发学生学习数学知识的欲望，整合概念认识的基础，帮助学生从理解抽象数学概念的角度出发，让学生能够巧妙把握概念，加深理解的概

12、念。数字和形状相结合的思维方法有助于提高学生对数学问题的理解，激起学生的数学思维灵活性与敏捷性，并应用数字和形式相结合的思维方式。从各种数学形式和不同角度捕捉数学各要素的共同功能，学生巧妙地结合代数知识和几何知识，借助数字和图形的多维变换来思考问题。可以激活学生思考活动，提高思考能力。数学认知结构提高了学生解决多种应用形式以及思维组合问题的能力，帮助学生理解数学知识、概念、公理、理论、定理方法和内容的相关联系，提高了学生传递知识的能力，形成了良好的理解能力，从而提高他们解决数学问题的能力和质量。 数形结合的方法可以把复杂的数量关系用图形或者在直角坐标系中表达出来，学生可以利用将复杂的、无法通过

13、计算的代数问题转换成一个直观的图形，从而达到解决问题效果，或者可以通过代数找到数量关系，大胆的思维和学生思想的灵活性可以增加解决问题的可能性，提高解决问题的灵活性，探索简单的方法解决问题。这不仅有助于提高学生的知识记忆，而且有助于学生使用图形来改变他们的思维。在中学数学教学中，利用多种图形与代数的结合，可以扩大学生的思维能力，提高学生对数学理论知识的学习。结合数字和图形可以使学生能够有效地分析数学问题和教师提高教学效率。数形结合思想可以直观地展现数学中复杂的数学问题。通过图像，学生可以得到更容易的得到解决方案，学生们可以从不同的角度分析这个问题，找到数学问题的解决方案。合理运用数形结合的方法可

14、以动员学生积极学习，提高他们的数学能力，增强学习数学的信心，引法对数学问题的多方面分析，培养学生的创新感，促进学生的整体发展。4 “数形结合”在中学数学教学中应用实例分析教育学生如何运用“思维、数和形”的组合是非常重要的。在一定条件下可以改变学习数学积极性。中学数学课程可以分为两部分：“数”和“形”。作为一种数学思维的方法，数和形的组合可以分为两种情况：一种是通过数字的形式的来表明问题，另一种是通过使用几何的形式直观表达出来。”有些过于简单图形不能直接观察，在这个时候，你必须借助外界的力量，比如给图形赋值，如长度，角度等。中学数学教育中的思维方法可以是：将抽象数学图形和数学问题进行比较，使学生

15、更清楚地了解数学问题，并利用他们的数学理论知识的图形表现形式，有助于学生更好地理解与数量和概念有关的更复杂的数学问题。4.1 “数形结合”在集合教学中的应用一般来说，我们使用一个圆来表示。如果有多个交叉循环，这意味着这些集有一个共同的元素。如果这些圆分开，也就是说，这些元素不具有联系。例如，在一所学校里篮球、足球和排球轮流进行比赛，没参加比赛的学生中至少参加一个项目的啦啦队。其中参加篮球啦啦队的50人，参加足球啦啦队的40人，参加排球拉拉队的30人；至少参加两个项目啦啦队的：篮球和足球的35人，参加足球和排球啦啦队的25人，参加篮球和排球啦啦队的20人；三个项目啦啦队都参加的15人，试计算参加

16、啦啦队的总人数。解：我们可以用三个圆代表参加篮球、足球、排球啦啦队的人数，其中的共同部分表示的是同时参加篮球、足球、排球啦啦队的人数。若用n表示集合的元素，则：n(篮球)+n(足球)+(排球)-n(篮球足球)-n(足球排球)-n(篮球排球)+n(篮球足球排球)=50+40+30-35-25-20+15=55即：参加啦啦队总人数为55人.4.2 “数形结合”在解方程教学的应用在许多情况下，我们不能用传统方法来解决复杂的方程或基本公式，所以我们不能解决这些问题。利用数形结合，方程的根被转换成一个函数图像的总和，因此，方程的解在绘制图时是显而易见的。例如：函数若m、n(mn)是关于x的方程3-（x-

17、a）（x-b）=0的两个根，而且ab则求m、n、b、a的大小关系。解：在这个二次函数题目中，是初中数学最常见，也是最典型的考点。假如我们只通过原始的计算，利用求根公式还有韦达定理求出根与系数之间的关系的话，这会使得计算量非常大，而且非常复杂。所以我们可以通过图形的形式，描绘出根与系数之间的关系，这样就可以成功准确的求出答案。我们可以把题目中的方程进行一下简单的变换，也就是移项。所以原方程就变成了3=（x-a）（x-b）。我们就可以看成是直线y1=3与抛物线y2=（x-a）（x-b）。函数y2=（x-a）（x-b）的图像与x轴的两个交点就是a跟b的值，而且直线y1=3是一条固定的直线，它与y2=

18、（x-a）（x-b）图像的交点就是方程的两个跟，也就是m与n的值，这样我们通过图像可以很直观的看出a、b、n、m的关系是mab0,b0,且a+b=1,求证：假如碰到这种题目，初中生往往不能通过计算来得出证明的结果。所以我们就需要利用数形结合，也就是需要把题目的条件转化成几何图形或者构造成几何图形，从而证明不等式。解：如图我们可以把根号的部分看成是分别以直角边长为1和a以及变成为1和b的斜边，从而构造几何图形，这样子就可以很清晰的看懂题目的意思，找到解题方法，再利用三角形的两边和大于第三边，可以得出当且仅当a=b的时候，等式成立，以致可以顺利解题。我们更清楚地认识到数形结合的好处。数形结合的想法

19、不仅简化了解决问题的过程，同时可以发展学生的思维方式，发展学生的空间想象能力。学生们不仅可以解决问题，还可以用数形结合的方法使问题简单化。在数学问题中，各种思想方法是相互结合，相互利用的，要取决于能够更快，更准确的解出问题的方法。所以在教学和过程中。与数学思想和方法相关，我们必须更加重视，这会使学生更容易懂得。4.4 “数形结合”在最值问题教学的应用在数学研究过程中，解决最大值最小值问题最常用的方法是数形结合的方法。为了解决最值的问题，学生必须有一系列的知识为基础，能够灵活地利用数学知识。重要的问题是，学生不仅要有坚实的知识基础，而且要有灵活的思维方式，才能够找到解决问题的基本方法，所以培养学

20、生创新思维具有重要意义。最大值最小值问题可分为两类：第一类是代数中的最大值和最小值问题。在现实生活中，我们经常遇到的代数问题，如最大距离最小的距离，最低的成本，最大的利润等等。第二类问题是几何的动点问题。一个动点几何图形中移动。该动点在一定范围内变化，并且题目给予一些限制，让学生求出这时候的面积或者长度的最大值最小值问题，这在初中数学是最常见的考试方式。所以，这时候需要借助图形的力量，会发现解决问题会更加简单。中学数学方面最大的问题是学生要通过考试，才能发现自己的不足或者缺点。有效的学习数形结合可以可能让复杂的抽象问题将转化为简单具体的问题。正确解决最大值问题，可以帮助学生减少不必要的弯路。数

21、形结合的相互变化可以丰富学生对最大值的理解，并改善数学学习的经验。例如：已知实数x、y满足2x+y+5=0,那么的最小值为多少？像这种类型的题目，单纯通过一次函数的式子去求解最小值是很难的，所以我们只能借助图像的力量来解决问题。解：因为 所以我们可以得出的最小值就是原点（0，0）到直线2x+y+5=0的距离。所以我们就可以根据点到直线的距离公式求出该题的答案了。在数学最值的学习过程中，有些数量关系比较抽象，只有简单、抽象的数据材料，在这种情况下，教师只讲解抽象的数据，无法让学生真正理解问题，因为学生的思维能力有限，对数量关系的认识比较模糊，难以正确理解所给的信息，无法理解题目的意思。而这时就需

22、要将抽象的数字转换为具体的形象，通过直观的形象呈现在学生面前，从而在头脑想出图像的基本结构，并在直观认识的基础上，通过对数量关系的认识，找出解决问题的方法。4.5 “数形结合”在解析几何的应用解析几何在高考中是必考类型，它包括了许多数学思想方法，但是在解析几何类型的题目中，最核心同时也是最常用的方法是数形结合的思想方法。数形结合的方法有助于老师直观地表达出数学知识，使学生更容易掌握所学知识。例1. 已知等腰直角三角形的一条直角边的方程为L:x-2y+9=0,这条直角边所对的顶点为(3,-4),求该三角形斜边的方程和斜边上高的方程。解:如果只看题目的字面意思，学生会感觉这道题目很难，以至于没办法

23、从哪个地方入手。但我们可根据题目所表达的意思，建立直角坐标系，然后用数形结合的方法把题目所表达的意思描绘在直角坐标系中，这样就可以更容易的帮助学生理解这道题目的意思，从而更容易的解决这道问题。以下是画图步骤：（1）过B作直线BC垂直于直线L,且交直线L于点C。(2)在直线L上截取CA=CB、CD=CB。则得到等腰直角三角形ABC或等腰直角三角形DBC(在这一步作图中有部分学生只画出AB没有画出BD)。(3)过C作 CMAB, CNBD, 则 CM,CN为 斜 边 上的高,图形画出来了,问题也就迎刃而解了。这道题主要是利用数形结合的方法，把解题的顺序用作图的形式来表达,然后通过画图把已知条件转化

24、成代数问题。这样能够让学生了解析几何中“形”“数”之间基本关系,并学会利用“形”来提高自己分析问题、解决问题的能力。4.6 “数形结合”在勾股定理教学的应用在中学数学中，勾股定理的应用是非常广泛的。勾股定理是是数形结合的典范，而且验证勾股定理的方法有很多种。我们这里主要是利用面积的关系来证明勾股定理。在证明勾股定理时，我们通常用到的运用数形结合的方法。我们可以利用四个直角边分别为a、b的直角三角形组成一个大的正方形，利用中间小正方形的面积加上四个小直角三角形的面积等于大正方形的面积，我们就可以利用面积的方法验证勾股定理。即直角三角形的两边平方和等于斜边的平方和。结 论 中等数学教育比较抽象。在

25、以往的中学数学教学中，教师经常忽视学生对知识的了解，教他们盲目的记忆，并按照教科书的要求向他们传授知识，使他们只能被动地记住课堂上的知识。由于缺乏对知识的了解，教育质量受到严重影响，学生不愿意积极学习数学，思维受到严重影响。所以在中学数学教学中，教学方法更加多样，适当引入多媒体教育，中等教育的数学抽象概念变得生动而生动。同时，学生应加强在数学和逻辑思维及创新领域的能力。数学是一门科学，它专门研究客观世界的数量关系和空间形式。它具有更大的普遍性，抽象性和逻辑性。使用数形结合，可以直观地理解抽象理论和概念，避免机械记忆，使枯燥的数学变得生动活泼，更富有形象化，更容易帮助学生掌握数学知识。使用数形结

26、合的思想，使学生能够更好地理解数学知识以及加深对知识的了解。数学知识是抽象的，合乎逻辑的，很难有效地运用多种思维方式。但是可以简化复杂的问题，具体抽象的问题，有效的指导学生使用多种形式的综合思维，帮助学生正确迅速地解决数学问题，有效促进学生数学才能的发展。为了鼓励学生学习数学，教师应积极学习多种形式的综合数学教育。合理运用数形结合的思想，在课堂上引起学生的注意，提高学生对数学的了解，鼓励学生积极学习，为他们的未来发展奠定良好基础。 中学数学教师合理地运用数形结合的思想，这有助于提高中学数学教学水平和学生学习数学的能力。扩大学生的思维能力，加强学生的数学理论知识。数学教师可以利用数形结合来简化数

27、量关系，学生可理解了解数学的数量关系。数学例子是数学知识的一个重要部分。例子分析使用多种形式的结合。能及时掌握简单问题的答案，发展分析数学的能力。利用多种形式的综合思想，不断发展学生的创新能力，发展学生的潜力，提高他们的应用能力，利用数形结合可以使他们更容易解决数学问题，并提高他们的学习效率，培养学生的思维能力，促进学生的良好发展。 致 谢在本篇论文的写作过程中，我要特别感谢每一位帮助过我的人，首先要感谢雷朝铨老师，在他的悉心指导和严格要求下，从课题选取到过程的论证，都给了我很大的帮助，给我指出了不足之处与建议。同时我还要感谢我的小组成员们，他们积极帮助我修改论文，给我提出了不少意见。对此我表

28、示由衷的谢意。 同时我也要感谢我曾经的实习生活，因为我正是通过了那次的实习经历，让我有机会站在教师的角度来看待师生之间的关系，从而使自己对教师这个职业有了更加清晰的理解，同时感谢实习期间所有老师，他们无私的指导让我对教学工作有了更深的认识。另外，我也要感谢我的同学，他们对我的论文也提出了许多合适的建议，并且帮助我建立结构框架，帮助我整理论文的思路并且给我提供建议，在此我对他们给予我的帮助表示衷心地感谢。最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢！参 考 文 献1毕彦丽. 中学数学中的数形结合思想J. 赤子(上中旬), 2014(20):199-200.2郑胜. 用数形结合思想解决最值问

29、题的应用探讨J. 名师在线, 2019(12):73-74.3卢丙仁. 数形结合的思想方法在函数教学中的应用J. 开封教育学院学报, 2003(04):56-57.4赵冰. 数形结合思想在初中数学教学中的运用探究J. 科学咨询(教育科研), 2018(11):143-143.5吴淑琴. 数形结合在初中数学教学中的运用J. 当代教研论丛, 2019(05):65-66.6张敏 吴萱懿 王林 邓婷 吕晓亚. 数形结合在不等式中的应用J. 科技信息, 2012(14):23-23.7吴鸿盛. 初中数学教学中数形结合思想的应用措施分析J. 课程教育研究, 2019(30):121-121.8贾玉峰.

30、浅谈数形结合在数学教学中的运用J. 昭乌达蒙族师专学报(自然科学版), 2001(06):12-12.The application of combination of numbers and shapes in middle school mathematics teachingAbstract:Thecombinationofnumberandshapeisanimportantmethodandawayofthinkinginmiddleschoolmathematics.Theideaofcombinationofnumbersandshapescanmakesomeabstractm

31、athematicalproblemsintuitiveandvivid,changeabstractthinkingintoimagethinking,andhelptograsptheessenceofmathematicalproblems.Ontheonehand,withthehelpofthepowerofgraphics,hecanmakemanyabstractmathematicalproblemseasyandsimple,andgivepeopleanintuitiveandeasyfeeling.Ontheotherhand,itcantransformthehidde

32、nmathematicalproblemsingraphicsintoalgebraicproblemsinmathematics,soastogetmoreaccurateandfasteranswers,soastoimprovetheabilityofsolvingandanalyzingproblems.Inthispaper,somespecificteachingcasesareanalyzedtocomparetheadvantagesofusingtheideaofcombinationofnumbersandshapesinteaching,soastosummarizetheapplicationoftheideaofcombinationofnumbersandshapesinmiddleschoolmathematicsteaching.key words: Combination of number and shape Middle school mathematics Methods of thinking