02 模块二　数列 【答案】听课手册.docx

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1、模块二数列微专题5等差数列、等比数列微点1例1(1)A解析 设等差数列an的公差为d,由a2+a7=a8+1,得2a1+7d=a1+7d+1,可得a1=1,因为a2,a4,a8成等比数列,所以a42=a2a8,即(1+3d)2=(1+d)(1+7d),因为d0,所以d=1,所以a2023=a1+(2023-1)d=2023.故选A.(2)解:方法一:因为数列bn是以1为首项,3为公比的等比数列,所以bn=3n-1.因为(n+1)an=n2-8n+k,所以a1=k-72,a2=k-123,a3=k-154,因为数列an是等差数列,所以2a2=a1+a3,即2k-123=k-72+k-154,解得

2、k=-9,所以(n+1)an=n2-8n-9=(n+1)(n-9),所以an=n-9.方法二:因为数列bn是以1为首项,3为公比的等比数列,所以bn=3n-1.设数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d=dn+a1-d.所以(n+1)an=(n+1)(dn+a1-d)=dn2+a1n+a1-d=n2-8n+k,所以d=1,a1=-8,a1-d=k,可得d=1,a1=-8,k=-9,所以an=a1+(n-1)d=n-9.由知cn=anbn=n-93n-1,当n8时,cn0.当n10时,cn+1-cn=n-83n-n-93n-1=19-2n3n0,即cn+10,不满足题意,所以S2=-1,则

3、S6=-21,由等比数列的性质可知(S6-S4)2=(S4-S2)(S8-S6),得S8=-85.故选C.(2)由已知得S3,S6-S3,S9-S6,即3,S6-3,18-S6成等差数列,所以2(S6-3)=3+(18-S6),可得S6=9.故选A.【自测题】1.B解析 设各项均为正数的等比数列an的公比为q,因为a685=a684+2a683,所以a1q684=a1q683+2a1q682,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1.因为数列an是各项均为正数的等比数列,所以q=2,所以an=a12n-1.因为aman=a1qm-1a1qn-1=a122m+n-2=2a1,所以m+n-2=2,

4、即m+n=4,且m,nN*,当m=1,n=3时,1m+4n=73;当m=n=2时,1m+4n=52;当m=3,n=1时,1m+4n=133.故1m+4n的最小值为73.故选B.2.8解析 因为S16=16(a1+a16)2=8(a1+a16)=8(a8+a9)0,所以a8+a90,又a7+a9=2a80,则公差d=a9-a80,所以an为递增的等差数列,即a1a2a80a91,因为an+1=an2-2an+2,所以an+1-1=(an-1)2,则ln(an+1-1)=ln(an-1)2=2ln(an-1),又ln(a1-1)=ln 2,所以数列ln(an-1)是以ln 2为首项,2为公比的等比

5、数列,则ln(an-1)=2n-1ln 2=ln 22n-1,所以an=22n-1+1.(2)证明:由an+1=an2-2an+2,得an+1-2=an(an-2),则1an+1-2=1an(an-2)=121an-2-1an,所以1an=1an-2-2an+1-2,所以bn=1an+1an-2=1an-2-2an+1-2+1an-2=2an-2-2an+1-2,所以Sn=b1+b2+bn=2a1-2-2a2-2+2a2-2-2a3-2+2an-2-2an+1-2=2a1-2-2an+1-2=2-222n-1,因为222n-10,所以2-222n-12,所以Sn0,则q4=a9a5=19212

6、=16,可得q=2,则a3=1+2d=a5q2,即1+2d=3,可得d=1.易得a3=3,a7=a3q4=48,数列an的所有项的和为a1+a2+a9=1+2+3+32+326=3+3(1-27)1-2=384.方法二:因为an(1n9,nN*)的后7项成等比数列,所以a72=a5a9=12192=482,且an0,所以a7=48.又因为a52=a3a7,则a3=a52a7=3.设后7项的公比为q,q0,则q2=a5a3=4,可得q=2,所以a1+a2+a3=3(a1+a3)2=6,a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9=a3-a9q1-q=3-19221-2=381,所以数列an的所有项的

7、和为a1+a2+a9=6+381-a3=384.6.-2解析 设等比数列an的公比为q(q0),由a2a4a5=a3a6,结合等比数列的性质有a4a5=a3a6,得a2=1,所以a9a10=a2q7a2q8=a22q15=q15=-8,则q5=-2,故a7=a2q5=-2.微专题6递推数列与数列求和微点1例1(1)D(2)14解析 (1)由Sn=Sn+1-3an-2,得Sn+1-Sn=3an+2,即an+1=3an+2,即an+1+1=3(an+1),又a1+1=3,所以数列an+1是以3为首项,3为公比的等比数列,所以an+1=3n,即an=3n-1,所以S20=3+32+320-20=3(

8、1-320)1-3-20=3212-432.故选D.(2)anan+1=an-1,an+1=1-1an,又a1=-3,a2=43,a3=14,a4=-3,a5=43,an是以3为周期的数列,则a105=a3=14.【自测题】1.B解析 由a1+a2n-1=4n-6,令n=1,得a1+a1=4-6=-2,则a1=-1,令n=4,则a1+a7=44-6=10,则a7=11.故选B.2.11220232024解析 由a1=12,可得1a1=2,1an+1-1an=2n+2,1a2-1a1=4,1a3-1a2=6,1an-1an-1=2n(n2),各式相加,可得1an=2+4+6+2n=n(2+2n)

9、2=n(n+1)(n2),则an=1n(n+1)=1n-1n+1(n2),又a1=12满足上式,an=1n-1n+1,a3=112,S2023=a1+a2+a2023=1-12+12-13+12023-12024=1-12024=20232024.微点2例2解:(1)当n=1时,a1=S1=12+12+1=2;当n2时,an=Sn-Sn-1=12n2+12n+1-12(n-1)2-12(n-1)-1=n.综上,an=2,n=1,n,n2.(2)因为b1a2+b2a3+bnan+1=123n+1-32,所以当n=1时,b1a2=92-32=3,所以b1=6.当n2时,由b1a2+b2a3+bna

10、n+1=123n+1-32,b1a2+b2a3+bn-1an=123n-32,得bnan+1=123n+1-32-123n+32=3n,所以bn=(n+1)3n.又当n=1时,b1=6=(1+1)31满足上式,所以bn=(n+1)3n.所以Tn=b1+b2+bn=23+332+(n+1)3n,3Tn=232+333+(n+1)3n+1,所以-2Tn=23+32+33+3n-(n+1)3n+1=6+9(1-3n-1)1-3-(n+1)3n+1=32-2n+123n+1,所以Tn=2n+143n+1-34.【自测题】解:(1)由题知an0.an=Sn-Sn-1(n2),an=(Sn-Sn-1)(S

11、n+Sn-1)(n2),又an=Sn+Sn-1(n2),Sn-Sn-1=1(n2),数列Sn是以S1=a1=1=1为首项,1为公差的等差数列,Sn=1+(n-1)=n,Sn=n2.当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,当n=1时,a1=1,满足上式,数列an的通项公式为an=2n-1.(2)证明:由(1)可知,an=2n-1,则an+22nanan+1=2n+32n(2n-1)(2n+1)=1(2n-1)2n-1-1(2n+1)2n,故Tn=1120-1321+1321-1522+1(2n-1)2n-1-1(2n+1)2n=1-1(2n+1)2n,1(2n+1)2n0,

12、Tn1.微点3例3103k-1解析 设数列Ak中,0的个数为ak,1的个数为bk,则ak+1=ak+2bk,bk+1=2ak+bk,+得ak+1+bk+1=3(ak+bk),又a1+b1=5,数列ak+bk是以5为首项,3为公比的等比数列,ak+bk=53k-1.-得,ak+1-bk+1=-(ak-bk),又a1-b1=-1,数列ak-bk是以-1为首项,-1为公比的等比数列,ak-bk=(-1)k,ak=53k-1+(-1)k2,bk=53k-1-(-1)k2,Sk=0ak+1bk=bk,Sk+Sk+1=53k-1-(-1)k2+53k-(-1)k+12=53k-1+53k2=103k-1.

13、【自测题】1.ACD解析 对于A,由题可知,a3=2,a4=5,a5=12,a6=29,a7=70,a8=169,a9=408,a10=985,故A正确.对于B,因为a2-a1=1,a3-a2=1,a4-a3=3a3-a2,故B错误.对于C,由an+2=2an+1+an可设数列an+1+kan是公比为q的等比数列,则an+2+kan+1=q(an+1+kan),所以an+2=(q-k)an+1+qkan,所以q-k=2,qk=1,所以k=-1+2,q=1+2或k=-1-2,q=1-2.当k=-1+2,q=1+2时,an+1+(-1+2)an=1(1+2)n-1,当k=-1-2,q=1-2时,a

14、n+1+(-1-2)an=1(1-2)n-1,解得an=24(2+1)n-1-(-2+1)n-1,故C正确.对于D,因为an+2an+1=(2+1)n+1-(-2+1)n+1(2+1)n-(-2+1)n=(2+1)-(-2+1)-2+12+1n1-2+12+1n=2+1-(-2+1)(-3+22)n1-(-3+22)n=(2+1)1-(-3+22)n+11-(-3+22)n,-3+22(-1,0),所以当n+时,(-3+22)n0,an+2an+12+1,故D正确.故选ACD.2.59解析 将已知数列分组,每组的第一项均为1,即第一组:1;第二组:1,3;第三组:1,3,5.以此类推,将各组数

15、据之和记为数列bm,则bm=m(1+2m-1)2=m2,记数列bm的前m项和为Tm,则Tm=12+22+m2=m(m+1)(2m+1)6,T10=1011216=385400.b1+b2+b10对应an中的第1+2+3+10=10112=55项,即S55=T10,S58=385+1+3+5=394400,故使得Sn400成立的最小正整数n的值为59.1.52403-n+32n解析 由题意知,对折方式分为横折和竖折两种,第一次对折时,有横、竖两种折法,可得到2种规格的图形,第二次对折时,第一个图形可得到2种规格的图形,从第二个图形开始,对折得到的2种图形中有一种与前面得到的图形相同,故对折2次共

16、可以得到3种不同规格的图形,对折3次共可以得到4种不同规格的图形,对折4次共可以得到5种不同规格的图形对折n次共可以得到(n+1)种不同规格的图形.在每次对折中所得不同规格的图形的面积相等,对折n次得到的图形中有一种是横折n次得到的,其面积为12nS,其中S=2012=240(dm2),故对折n次得到的(n+1)种规格的图形的面积之和Sn=n+12nS,所以k=1nSk=221S+322S+n+12nS.设Tn=221+322+n+12n,则12Tn=222+323+n+12n+1,两式相减,得12Tn=1+122+123+12n-n+12n+1=1+1221-12n-11-12-n+12n+

17、1=32-12n-n+12n+1=32-n+32n+1,所以Tn=3-n+32n,所以k=1nSk=2403-n+32n(dm2).2.解:(1)因为S1=a1=1,所以S1a1=1,所以数列Snan是首项为1,公差为13的等差数列,所以Snan=1+(n-1)13=n+23,所以Sn=n+23an.当n2时,an=Sn-Sn-1=n+23an-n+13an-1,所以(n-1)an=(n+1)an-1,即anan-1=n+1n-1,则an=anan-1an-1an-2a3a2a2a1a1=n+1n-1nn-242311=n(n+1)2,又a1=1满足上式,所以an的通项公式为an=n(n+1)

18、2.(2)证明:1a1+1a2+1an=2112+123+1n(n+1)=21-12+12-13+1n-1n+1=2-2n+15时,Tn-Sn=32n2+72n-(n2+4n)=12n2-12n=12n(n-1)0,即TnSn;当n为奇数时,Tn=Tn-1+bn=32(n-1)2+72(n-1)+2n+3-6=32n2+52n-5(n3),当n5时,Tn-Sn=32n2+52n-5-(n2+4n)=12n2-32n-5=12(n2-3n-10)=12(n+2)(n-5)0,即TnSn.综上,当n5时,TnSn.【自测题】解:(1)证明:an+1=2an,n是偶数,an-1,n是奇数,a2n=a

19、2n-1-1,a2n+1=2a2n,a2n+2=a2n+1-1,a2n-1=a2n+1,又bn=a2n+a2n-1, bn=a2n+a2n+1=2a2n+1,a2n=bn-12.bn+1=a2n+2+a2n+1,bn+1=a2n+1-1+a2n+1=2a2n+1-1=4a2n-1,a2n=bn+1+14,bn+1+14=bn-12,即bn+1=2bn-3,bn+1-3=2(bn-3).b1-3=a1+a2-3=a2=a1-1=20,bn-30,bn+1-3bn-3=2,数列bn-3是以2为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)可知数列bn-3是以2为首项,2为公比的等比数列,bn-3=22n

20、-1=2n,即bn=2n+3,a2n-1+a2n=2n+3,S2n=2(1-2n)1-2+3n=2n+1+3n-2,S2n+2=2n+2+3n+1,又a2n=a2n-1-1,a2n-1+a2n=2a2n-1-1=2n+3,即a2n-1=2n-1+2,a2n+1=2n+2,S2n+1=S2n+a2n+1=2n+1+3n-2+2n+2=32n+3n.S2n+1-S2n=32n+3n-(2n+1+3n-2)=2n+20,S2n+2-S2n+1=2n+2+3n+1-(32n+3n)=2n+10,当n2时,Sn随n的增大而增大,又S1=a1=3,S2=a1+a2=2a1-1=5S1,Sn为递增数列.S1

21、9=329+39=15632023,满足题意的n的最小值是20.微点2例2解:(1)因为2Sn=3(bn-1),所以当n2时,2Sn-1=3(bn-1-1),两式相减得2bn=3bn-3bn-1(n2),即bn=3bn-1(n2),由2b1=2S1=3(b1-1),解得b1=3,所以数列bn是首项为3,公比为3的等比数列,所以bn=3n.在等差数列cn中,由c1+c2+c3=27,得3c2=27,解得c2=9,则公差d=c2-c1=4,故cn=c1+(n-1)d=4n+1.所以bn和cn的通项公式分别为bn=3n,cn=4n+1.(2)设数列cn的第m项与数列bn的第k项相同,即cm=bk,m

22、,kN* ,则4m+1=3k=(4-1)k=Ck04k+(-1)1Ck14k-1+(-1)2Ck24k-2+(-1)k-1Ckk-14+(-1)k,显然Ck04k+(-1)1Ck14k-1+(-1)2Ck24k-2+(-1)k-1Ckk-14是4的整数倍,要使4m+1=3k成立,只需k为偶数,因此数列bn与cn的公共项为b2n=32n=9n,即an=9n,所以T20=99293920=91+2+3+20=9210.【自测题】1.162-n+22n解析 依题意得an=12n,由等差数列的性质得x21+x22=a2+a3,x22-x21=a3-a24-1,即x21+x22=38,x22-x21=-

23、124,解得x22=16.由题得x11=a1+a22=38,x21+x22=a2+a3=38,当n3且n为定值时,显然数列xni(iN*,in)是等差数列,其前n项和记为Tn,则Tn=xn1+xn2+xnn=xn1+xnn2n=an+an+12n=n212n+12n+1=34n2n.令T1=x11,T2=x21+x22,则T1=38=3412,T2=38=34222,均满足上式,所以Tn=34n2n,故Sn=x11+x21+x22+xn1+xn2+xnn=T1+T2+T3+Tn=3412+222+323+n2n,则43Sn=12+222+323+n2n.令An=12+222+323+n2n,则

24、12An=122+223+324+n-12n+n2n+1,两式相减得12An=12+122+123+12n-n2n+1=121-12n1-12-n2n+1=1-n+22n+1,所以An=2-n+22n,所以43Sn=2-n+22n.2.解:(1)由Sn+1=Sn+an+4,可得an+1-an=4,故an是公差d=4的等差数列,又a2=5,即a1+d=5,所以a1=1,故an=1+(n-1)4=4n-3.因为bn是等比数列,b2=9,b1+b3=30,公比q1,所以b1q=9,b1+b1q2=30,可得q=3,b1=3,故bn=3n.(2)由(1)知a20=77,令bnb3,所以数列cn的前20

25、项是由数列an的前18项以及b1,b3构成的,故T20=a1+a2+a3+a18+b1+b3=181+181724+3+27=660.微点3例3解:(1)由题意,当n=1时,a1=A1= 312+312=3.当n2时,an=An-An-1=3n2+3n2-3(n-1)2+3(n-1)2=3n.当n=1时,a1=3也满足上式,an=3n,nN*.由an+1-an=32(bn+1-bn),可得3(n+1)-3n=32(bn+1-bn),整理得bn+1-bn=2.b1=2,数列bn是以2为首项,以2为公差的等差数列,Bn=2n+n(n-1)22=n2+n.(2)依题意,由an=Bn及an+1-an=

26、32(bn+1-bn),可得bn+1=Bn+1-Bn=32(bn+1-bn),化简整理得bn+1=3bn,又b10,故数列bn是以b1为首项,以3为公比的等比数列,Bn=b1(1-3n)1-3=b1(3n-1)2.bn+1anan+1=bn+1BnBn+1=1Bn-1Bn+1,b2a1a2+b3a2a3+b4a3a4+bn+1anan+1=1B1-1B2+1B2-1B3+1B3-1B4+1Bn-1Bn+1=1B1-1Bn+1=1b1-2b1(3n+1-1)=1b11-23n+1-11b1,又对任意nN*,b2a1a2+b3a2a3+b4a3a4+bn+1anan+10,因为an0,mN*,所以

27、由基本不等式得,1=am+2+2am2am+22am=22q2=22q,所以q24,当且仅当am+2=2am,即am+1=2时等号成立.因为116a5=a1q4244a1=a164,所以a14,即a1的最小值为4.(2)112+122+132+11021+123+134+11011=1+12-13+13-14+110-111=1+12-111=3122,所以3122112+122+132+11020,所以a1=S1=1.当n2时,an=Sn-Sn-1,所以2Sn=Sn-Sn-1+1Sn-Sn-1,即Sn2-Sn-12=1,所以Sn2是以1为首项,1为公差的等差数列,所以Sn2=n(nN*),因

28、为an0,所以Sn0,所以Sn=n.当n2时,1n+n+112n1n+n-1,即2n+n+11n2n+n-1,所以2(n+1-n)1n1+2(3-2+4-3+2024-2023)=1+2(2024-2),因为44.9844.98=2023.200 4,44.9944.99=2024.100 1,21+2(44.98-1.42)=88.12;S1+2(2-1+3-2+4-3+2023-2022)=1+2(2023-1),因为44.9744.97=2022.300 9,44.9844.98=2023.200 4,所以1+2(2023-1)1+2(44.98-1)=88.96.综上可得88.12S0

29、),则a1=a2-d=2-d,a3=a2+d=2+d.a1+a3=10,(2-d)2+(2+d)2=10,解得d=1或d=-1(舍),则a1=1,an=a1+(n-1)d=n,an=n2.(2)证明:ai+ai+1=i2+(i+1)2=2i2+2i+12i(i+1),1ai+ai+1121i-1i+1,i=1n1ai+ai+11时,设sin2x=t,则cos2x=1-t,令h(t)=tn+(1-t)n,可得h(t)=ntn-1-n(1-t)n-1=ntn-1-(1-t)n-1,其中t0,1,当0t12时,0t1-t1,所以tn-1(1-t)n-1,可得h(t)0,当12t1时,01-tt(1-t)n-1,可得h(t)0