06 模块六　函数、导数与不等式 【正文】听课手册.docx

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1、微专题20函数的图象与性质的应用微点1函数图象与函数解析式例1 (1)函数f(x)=(2x-2-x)cosxx2-4的部分图象大致为( )ABCD (2)2023天津和平区三模 函数y=f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能是( )A.f(x)=1-2x2+1B.f(x)=x13C.f(x)=1-22x+1D.f(x)=1-12x听课笔记 【规律提炼】函数解析式与函数图象的判断问题函数图象或函数解析式问题,要落脚到它们都是函数的一种表达形式,从定义域、值域、单调性、周期性、对称性、图象是否过定点等入手解决.自测题1.2023长沙三模 函数f(x)=x(sin x-sin 2x)的部

2、分图象大致为( )ABCD2.2021浙江卷 已知函数f(x)=x2+14,g(x)=sin x,则图象为如图的函数可能是( )A.y=f(x)+g(x)-14B.y=f(x)-g(x)-14C.y=f(x)g(x)D.y=g(x)f(x)微点2函数性质的应用角度1函数的奇偶性与单调性例2 (1)2023山东泰安二模 已知奇函数f(x)在R上是减函数,g(x)=xf(x),若a=g(-log25.1),b=g(3),c=g(20.8),则a,b,c的大小关系为( )A.abcB.cbaC.bcaD.bac(2)2020全国卷 若2x-2y0B.ln(y-x+1)0D.ln|x-y|0听课笔记

3、自测题1.2023台州二模 已知定义在R上的函数f(x)同时满足:f(-x)=f(x);对任意x1,x2(0,1),f(x1)-f(x2)x1-x2baB.abcC.bacD.cab4.2023潍坊三模 已知函数f(x)=ex+1-e1-x,实数a满足不等式f(2a)+f(a-1)0,则a的取值范围是.角度2函数的奇偶性、对称性与周期性例3 (1)已知f(x)是定义在R上的函数,满足f(x-4)=f(-x),且y=f(3x-1)为奇函数,则下列说法一定正确的是( )A.函数f(x)的图象关于直线x=1对称B.函数f(x)的周期为2C.函数f(x)的图象关于点-13,0中心对称D.f(2023)

4、=0(2)(多选题)2023厦门模拟 已知函数f(x),g(x)的定义域都为R,g(x)为奇函数,且f(x)+g(x)=2,f(x)+g(x-2)=2,则( )A.f(0)=0B.g(1)=0C.i=1nf(i)=0D.i=1ng(i)=0听课笔记 【规律提炼】(1)奇偶性与单调性相结合,主要的作用是转化,把不在一个单调区间上的自变量利用奇偶性转化到同一个单调区间上去.(2)奇偶性的本质就是对称性,奇偶性与对称性和周期性的结合,就是利用它们自己的关系,相互转化.自测题1.(多选题)2023长沙二模 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-2)=-f(x),且f(x)在0,1上单调递增,则( )A

5、.f(x)的图象关于直线x=-1对称B.f(x+4)=f(x)C.f-12f154D.n=12023f(n)=02.(多选题)2023新课标卷 已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则( )A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函数D.x=0为f(x)的极小值点3.若存在x0(0,+),使得f(x0+1)+f(x0)=0成立,写出一个满足上述条件的函数f(x)= .1.2023新课标卷 若f(x)=(x+a)ln2x-12x+1为偶函数,则a=( )A.-1B.0C.12D.12.2023北京卷 下列函数中,在区间(0,+)上单调递增的是( )A.f(

6、x)=-ln xB.f(x)=12xC.f(x)=-1xD.f(x)=3|x-1|3.2023天津卷 函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为( )A.f(x)=5(ex-e-x)x2+2B.f(x)=5sinxx2+1C.f(x)=5(ex+e-x)x2+2D.f(x)=5cosxx2+14.2022新高考全国卷 若函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则k=122f(k)=( )A.-3B.-2C.0D.15.(多选题)2022新高考全国卷 已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R,记g(x)=f(x).若f32-2

7、x,g(2+x)均为偶函数,则( )A.f(0)=0B.g-12=0C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)6.2023全国甲卷 若f(x)=(x-1)2+ax+sinx+2为偶函数,则a=.微专题21基本初等函数与函数模型微点1基本初等函数的图象与性质例1 (1)2022全国甲卷 已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则( )A.a0bB.ab0C.ba0D.b0a(2)2023湖北孝感二模 已知函数y=1x的图象与函数y=ex+1和y=ln x-1的图象分别交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=.听课笔记 【规律提炼】比较函数值的大小,应将自变量转化到同一

8、个单调区间内,然后利用函数的单调性解决,可以根据题干或者选项的提示,构造适合题目的函数.自测题1.2023武汉华师一附中5月模拟 已知正数a,b,c满足2022a=2023,2023b=2022,c=ln 2,下列说法正确的是( )A.logaclogbcB.logcalogcbC.acbcD.cacb2.(多选题)2023邯郸一模 已知函数f(x)=log2(x+6)+log2(4-x),则( )A.f(x)的定义域是(-6,4)B.f(x)有最大值C.不等式f(x)0) 是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车106090混合动力汽车1

9、05060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则( )A.p1p2B.p210p3C.p3=100p0D.p1100p2(2)如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%,那么至少需要块这样的玻璃重叠起来,才能使通过它们的光线强度为原来强度的12以下.(lg 20.301,lg 30.477)听课笔记 【规律提炼】构造函数模型,通过解方程或者利用导数研究函数的单调性来解决问题,关键是构造合适的函数模型.自测题1.将边长为1的正六边形进行如下操作:第一次操作,在每条边上,以边长的13为长度作正六边形,保留新作的六个小正六边形,删除其

10、余部分;第二次操作,将上一次操作剩余的正六边形进行同第一次一样的操作,并以此方法继续下去.如图所示,若要使保留下来的所有小正六边形的面积之和小于10-3,则至少需要操作的次数为(lg 20.30,lg 30.48)( )A.17B.18C.19D.202.2022北京卷 在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是( )A.当T=220,P=1026时,二氧化碳处于液态B.当T=270,P=128时,二氧化

11、碳处于气态C.当T=300,P=9987时,二氧化碳处于超临界状态D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态1.2023天津卷 若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为( )A.cabB.cbaC.abcD.bac2.2023新课标卷 设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是( )A.(-,-2B.-2,0)C.(0,2D.2,+)3.2022北京卷 已知函数f(x)=11+2x,则对任意实数x,有( )A.f(-x)+f(x)=0B.f(-x)-f(x)=0C.f(-x)+f(x)=1D.f(-x)-f(

12、x)=134.2021全国甲卷 青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(10101.259)( )A.1.5B.1.2C.0.8D.0.65.2023全国甲卷 已知函数f(x)=e-(x-1)2,记a=f22,b=f32,c=f62,则( )A.bcaB.bacC.cbaD.cab6.2023北京卷 已知函数f(x)=4x+log2x,则f12=.微专题22不等式微点1不等式的性质及应用例1 (1)20

13、23北京东城区模拟 若实数a,b满足a2b20,则下列不等式中成立的是( )A.abB.2a2bC.a|b|D.log2a2log2b2(2)(多选题)2023吉林模拟 已知实数a,b,c,d满足0ab,cd0,则下列不等式一定成立的是( )A.cacbB.aca-db-dD.ca-dcb-c听课笔记 【规律提炼】利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意不等式成立的条件.比较大小的题目,常用两种方法:一是直接使用不等式的性质逐个验证;二是利用特殊值法排除错误答案.自测题2023北京朝阳区一模 若a0b,则( )A.a3b3B.|a|b|C.1a0 微点2基本不等式例2 (1)2023淄博

14、模拟 若x,y是正数,则x+12y2+y+12x2的最小值是( )A.3B.72C.4D.92(2)(多选题)2023湖北天门模拟 已知x0,y0且x+2y=2,则下列结论中正确的是( )A.4x+1y有最小值3+22B.ln x+ln y可以取到0C.(x+1)(y+2)有最大值498D.x2+4y2有最小值2听课笔记 自测题1.2023菏泽一模 设实数x,y满足x+y=1,y0,x0,则2x+xy的最小值为( )A.22-2B.22+2C.2-1D.2+12.2023南京模拟 设x0,y0,且x-1y2=16yx,则当x+1y取得最小值时,x2+1y2=( )A.8B.12C.16D.16

15、33.2023潍坊模拟 已知a0,b0,a1a+2b,b1b+2a,则a+b的最小值为 .微点3基本不等式与其他知识综合应用例3 (1)2023阳泉三模 若直线xa+yb=1经过点Mcos,sin,则( )A.a2+b21B.a2+b21C.1a2+1b21D.1a2+1b21(2)2023莆田模拟 在各项均为正数的等比数列an中,若存在两项am,an(m,nN*),使得aman=4a1,且a3=a2+2a1,则1m+9n的最小值为( )A.114B.83C.103D.145听课笔记 自测题1.2023营口二模 已知直线l1:a2x+y+2=0与直线l2:bx-(a2+1)y-1=0互相垂直,

16、则|ab|的最小值为( )A.5B.4C.2D.12.2023宁波模拟 非零实数a,b,c满足bca,acb,abc成等差数列,则a2+2c2b2的最小值为( )A.22B.32+2C.3D.3+22【规律提炼】1.运用基本不等式,首先要注意基本不等式的结构特征,不符合基本不等式结构特征的,可以考虑变形后运用基本不等式,要树立整体意识,关注“1”的替换,关注等号成立的条件.2.在运用基本不等式的过程中,若两次或多次运用基本不等式,注意验证两次或多次运用基本不等式时等号成立的条件是否相同,只有相同时,代数式才能取到计算出的最值,否则取不到.3.基本不等式经常与其他知识相结合,譬如立体几何、解析几

17、何、函数最值、数列、平面向量等,主要用来解决最值问题.1.2021天津卷 设aR,则“a6”是“a236”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.2021全国乙卷 下列函数中最小值为4的是( )A.y=x2+2x+4B.y=|sin x|+4|sinx|C.y=2x+22-xD.y=ln x+4lnx3.(多选题)2020全国新高考卷 已知a0,b0,且a+b=1,则( )A.a2+b212B.2a-b12C.log2a+log2b-2D.a+b24.(多选题)2022新高考全国卷 若实数x,y满足x2+y2-xy=1,则( )A.x+y0,b0,则

18、1a+ab2+b的最小值为.微专题23利用导数研究函数性质微点1切线问题例1 (1)2023哈尔滨三中五模 已知函数f(x)=ln(x+1),g(x)=ln(e2x),若直线y=kx+b为曲线y=f(x)和曲线y=g(x)的公切线,则b=( ) A.12B.1-ln 2C.2-ln 2D.-ln 2(2)2022新高考全国卷 曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为,.听课笔记 【规律提炼】(1)曲线的切线问题,主要关注导数的几何意义,注意区分“在某点处的切线”和“过某点的切线”的区别.(2)两条曲线的公切线问题,一般的处理方法是分别假设各自的切线,利用两条切线重合列方程(组)求解,

19、对运算求解能力要求较高.自测题1.2023潍坊三模 若P为函数f(x)=12ex-3x图象上的一个动点,以P为切点作曲线y=f(x)的切线,则切线倾斜角的取值范围是( )A.0,23B.2,23C.23,D.0,223,2.若曲线y=ln x+1与曲线y=x2+x+3a有公切线,则实数a的取值范围为( )A.2ln2-36,3-ln22B.1-4ln212,3-ln22C.2ln2-36,+D.1-4ln212,+微点2单调性问题例2 (1)2023深圳二模 已知0,x,y-4,4,且ex+sin y=eysin x,则下列关系式恒成立的为( )A.cos xcos yC.sin xsin y

20、(2)2023全国乙卷 设a(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+)上单调递增,则a的取值范围是.听课笔记 自测题1.(多选题)2023华南师大附中模拟 已知函数f(x)=(x-1)ln x,且f(ea)f(b),则下列结论一定正确的是( )A.若a0,则a-b0B.若a0,则ea-b0C.若a2 D.若a0,则a-ln b0B.ab0C.b2+8ac0D.ac0听课笔记 自测题1.2022全国甲卷 当x=1时,函数f(x)=aln x+bx取得最大值-2,则f(2)=( )A.-1B.-12C.12D.12.2023烟台二模 若函数f(x)=ln x+12x2+ax有两个极

21、值点x1,x2,且f(x1)+f(x2)-5,则( )A.a42B.a22C.a-22D.a-423.2023娄底三模 若对任意的0x1x2a,x2x1x1x2-eex2eex10恒成立,则a的最大值为.1.2023全国甲卷 曲线y=exx+1在点1,e2处的切线方程为( )A.y=e4xB.y=e2xC.y=e4x+e4D.y=e2x+3e42.2023新课标卷 已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为( )A.e2B.eC.e-1D.e-23.2022新高考全国卷 若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是.4.2023新课标卷 (1

22、)证明:当0x1时,x-x2sin xlnxf(x)对任意x(1,+)恒成立,求a的取值范围.例2 2023扬州模拟 已知函数f(x)=asin x-ln(1+x)(aR).(1)若a=-1,求证:当x0时,f(x)+2x0恒成立;(2)当a1时,对任意x0,k2,都有f(x)0,求整数k的最大值.【规律提炼】恒成立与能成立问题,一般情况下转化为求函数最值问题,利用函数的单调性解决函数的最值问题,利用导数解决函数的单调性问题.含有参数的恒成立和能成立问题,分类讨论和分离参数也是常用的方法,利用端点效应寻找思路也是一种解题方法.自测题1.设函数f(x)=ex-ax,x0,aR.(1)讨论函数f(

23、x)的单调性;(2)若f(x)x2+1恒成立,求实数a的取值范围.2.已知函数f(x)=(x-1)ex-ax-1.(1)当a=0时,证明:函数f(x)只有一个零点;(2)若存在xR,使不等式f(x)0).(1)若函数f(x)在(0,+)上单调递增,求a的取值范围;(2)设nN*,证明:2-12+1+3-23+2+n+1-nn+1+n0).(1)若f(x)0恒成立,求实数a的取值范围;(2)证明: 1+1121+1231+1n(n+1)0时,f(x)ln(n+1).微专题25导数中的切线、放缩与构造微点1指数、对数切线不等式的直接应用例1 2023河北承德模拟 已知a=e17,b=log89,c

24、=log78,则( ) A.bcaB.cabC.abcD.acb听课笔记 【规律提炼】放缩法常用来比较大小,指数、对数的切线放缩是常用的放缩法之一.(1)exx+1,当且仅当x=0时,等号成立;(2)exex,当且仅当x=1时,等号成立;(3)ln xx-1,当且仅当x=1时,等号成立;(4)ln x1ex,当且仅当x=e时,等号成立.自测题2023湖北十堰模拟 若a=e0.2,b=1.2,c=ln 3.2,则( )A.abcB.acbC.cabD.bac微点2指数切线不等式变形的应用例2 (1)2023长沙一中一模 已知实数a,b,c满足ea+c+be-c+1a+ln b+3(其中e为自然对

25、数的底数),则a+b-c的最小值是.(2)2023湖南九校联考 已知不等式exalna(x-1)e(a0)恒成立,则实数a的最大值为.听课笔记 【规律提炼】(1)在不等式的证明中,当不能直接利用指数、对数切线不等式进行放缩时,可先将不等式进行变形,常见的不等式如下:ex-1x;ln(x+1)x;ln x1-1x;当x0且x1时,2xx+1xx-1lnx0,函数f(x)=1+ln(ax),g(x)=ex-a.(1)若不等式f(x)x恒成立,求a的取值范围;(2)若不等式f(x)xg(x)恒成立,求a的取值范围.微点3指对均值不等式例3 已知函数f(x)=1x-x+aln x.(1)讨论f(x)的

26、单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:f(x1)-f(x2)x1-x20且x1时,f(x)lnxx-1+kx恒成立,求k的取值范围.微点4利用三角不等式放缩例4 2023山东潍坊模拟 设a=sin 0.2,b=0.2cos 0.1,c=2sin 0.1,则( )A.abcB.acbC.bacD.cba听课笔记 自测题2023山东日照模拟 已知a=12023,b=tane120232023,c=sine120242024,则( )A.cabB.acbC.bacD.ab0时,f(x)2ln a+32.一、泰勒公式(1)泰勒公式,也称泰勒展开式,主要是用于求某一复杂函数在某点的函数

27、值,如果一个函数足够平滑,即若函数f(x)在包含x0的某个闭区间a,b内具有n阶导数,且在开区间(a,b)上存在n+1阶导数,则对任意xa,b,有f(x)=f(x0)0!+f(x0)1!(x-x0)+f(x0)2!(x-x0)2+f(n)(x0)n!(x-x0)n+o(x-x0)n.我们更多地是用泰勒公式在x0=0的特殊形式:f(x)=f(0)0!+f(0)1!x+f(0)2!x2+f(n)(0)n!xn+o(xn).(2)泰勒展开式常常用于放缩法比较大小,常用的泰勒展开式如下:ex=1+x+x22!+xnn!+o(xn);sin x=x-x33!+x55!-+(-1)m-1x2m-1(2m-

28、1)!+o(x2m);cos x=1-x22!+x44!-x66!+(-1)mx2m(2m)!+o(x2m+1);ln(1+x)=x-x22+x33-+(-1)n-1xnn+o(xn);11-x=1+x+x2+xn+o(xn).二、泰勒展开式及其推论(1)当0x1时,1+xex1+x+x2+xn+=11-x,则ln(1+x)xln11-x=-ln(1-x).(2)ln x1-1x.(3)ln(x+1)1-1x+1=xx+1.1 2022新高考全国卷 设a=0.1e0.1,b=19,c=-ln 0.9,则( )A.abcB.cbaC.cabD.acg(x)-x3.自测题1.已知a=27,b=ln

29、 1.4,c=e0.2-1,则( )A.abcB.acbC.cabD.cb0,-xex,x0,若函数g(x)=f(x)-|x2-kx|恰有3个零点,则实数k的取值范围是( )A.(-,-1)(1,+)B.(1,+)C.(-,-1(1,+)D.(-,-1)1,+)听课笔记 自测题1.2023天津红桥区二模 若函数f(x)=log0.5x,01,函数g(x)=f(x)-kx有两个零点,则实数k的值是.2.2023淄博一模 已知函数f(x)=|x+2|+1,x0,lnx,x0,若存在实数abc,满足f(a)=f(b)=f(c),则af(a)+bf(b)+cf(c)的最大值是.微点2零点个数问题例2

30、2023南开中学质检 已知函数f(x)=(x+1)ln x+(a-2)x+2,aR.(1)当a0时,求函数f(x)的单调区间;(2)证明:函数f(x)存在唯一零点.自测题2023济宁一模 已知函数f(x)=(x-3)ex-ea2(x2-4x).(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当0a0.(1)讨论f(x)极值点的个数.(2)若f(x)恰有三个零点t1,t2,t3(t1t2t3)和两个极值点x1,x2(x1x2).(i)证明:f(x1)+f(x2)=0;(ii)若mn(ln n+1).自测题已知x1,x2是方程ex-ax=ln(ax)-x的两个实根,且x1x2.(1)求实数a的取

31、值范围;(2)已知f(x)=ax,g(x)=ln(1+x)-cos x+2,若存在正实数x3,使得f(x1)=g(x3)成立,证明:x12).(1)证明:f(x)在区间0,2上存在极值点;(2)记f(x)在区间0,2上的极值点为m,f(x)在区间0,上的零点的和为n,请比较2m与n的大小.2.2023湖南娄底模拟 已知函数f(x)=ex+a-ln(x+1)-a(aR).(1)若a=0,讨论f(x)的单调性;(2)求证:f(x)有唯一的极值点x0,且f(x)1.技巧三隐零点估计例3 2023菏泽一模 已知函数f(x)=mex-x2-x+2.(1)若函数f(x)在R上单调递增,求m的取值范围;(2

32、)若m0,且f(x)有两个零点x1,x2,证明:|x1-x2|1,若存在x1x2,使得F(x1)+F(x2)=2,求x1+F(x2)的取值范围;(2)设G(x)=f(x)-g(x),若|G(x)|=b恰有三个不等实根,证明:a-1ab2a-2.1.偏移问题常作为压轴题出现,题型复杂多变,解决此类问题,需先理解此类问题的实质,巧妙消元、消参、构造函数,利用函数的性质解决问题.2.解决偏移问题的通法第一步:根据f(x1)=f(x2)(x1x2)建立等量关系,并结合f(x)的单调性,确定x1,x2的取值范围;第二步:不妨设x11),构造关于t的一元函数,应用导数研究其单调性,并借助于单调性,达到对待证不等式的证明.技巧一对称化构造例1