重庆南开中学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题含答案.pdf

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1、 第1页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 重庆南开中学校高重庆南开中学校高 2026 级数学测试级数学测试 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1a=，6A=，1sin4B=，则b=（）A 36 B.12 C.2 D.2 3 2.已知向量13(,)22BA=,3 1(,),22BC=则ABC=A.30 B.45 C.60 D.120 3.下列各式中不能化简为PQ 的是（）A

2、.()ABPABQ+B.PAABBQ+C.QCQPCQ+D.()()ABPCBAQC+4.已知单位向量a，b满足0a b=，若向量72cab=+，则sin,a c（）A.73 B.23 C.79 D.29 5.若平面向量a，b满足2aba b=，则对于任意实数，()1ab+最小值是（）A.3 B.32 C.2 D.1 6.如图，在平行四边形 ABCD 中，12DEEC=，F 为 BC 的中点，G 为 EF 上的一点，且79AGABmAD=+，则实数 m 的值为 .的#QQABBYyAoggIABJAAAhCUwVoCkOQkBECCIoGxFAEsAAACQFABCA=#第2页/共4页 学科网

3、（北京）股份有限公司 A.23 B.13 C.13 D.23 7.ABC所在平面内一点P满足22sincosCPCACB=+，若2PABP=，则cos2=（）A.23 B.23 C.13 D.13 8.已知函数()22sin cos4cos1f xxxx=+，若实数 a、b、c使得()()3af xbf xc+=对任意的实数x恒成立，则2cosabc+的值为（）A.12 B.32 C.2 D.52 二、多选题：本题共二、多选题：本题共 3小题，共小题，共 18分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知a、b、c均为非零向量，下列命题错误的是

4、（）A R，()aba b+=B.()()a bcab c=可能成立 C.若a bb c=，则ac=D.若1a b=，则1a=或1b=10.若直线()00 xkyk+=与函数()()()221 1 2sin21xxxf x=+图象交于不同的两点A，B，已知点()9,3C，O为坐标原点，点(),D m n满足DADBCD+=，则下列结论正确的是（）A.()()11f xfx+=B.3COOD=C.3nm=D.80CA CBDA DB=11.已知()()20f xaxbxc a=+，且方程()f xx=无实数根，下列命题正确的是（）A.方程()ff xx=也一定没有实数根 B.若0a，则不等式()

5、ff xx对一切实数都成立 C.若a成立 D.若0abc+=，则不等式()ff xx对一切实数都成立 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.已知向量a，b满足4a=，()1,2b=，a与b的夹角为3，则a在b上的投影向量为_（用坐标表示）13.如图，在ABC和AEF中，B是EF的中点，2ABEF=，3CACB=，若.#QQABBYyAoggIABJAAAhCUwVoCkOQkBECCIoGxFAEsAAACQFABCA=#第3页/共4页 学科网（北京）股份有限公司 7AB AEAC AF+=，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于_.

6、14.已知平面向量1e，2e，3e，p，满足1231eee=，120ee=，1p，则()()12pepe+()()()()2331pepepepe+的最大值为_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5小题，共小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在OAB中，G为中线OM上一点，且2OGGM=，过点G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q.（1）用向量OA，OB 表示OG；（2）设向量43OAOP=，OBnOQ=，求n的值.16.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B，C满足1233OCOAOB=+.（1）求ACCB

7、的值；（2）已知(1,cos)Ax，(1cos,cos)Bxx+，,03x，若函数2()(2)3f xOA OCmAB=+最大值为 3，求实数m的值.17.如图，在等腰梯形ABCD中，/AD BC，2AD=，60ABC=，E是AD的中点.的#QQABBYyAoggIABJAAAhCUwVoCkOQkBECCIoGxFAEsAAACQFABCA=#第4页/共4页 学科网（北京）股份有限公司（1）记BDm=，BAn=且228mn=，求m，n值；（2）记()12BCAD=，F是线段CD上一动点，且CDCF=，求22BE BF 取值范围.18.如图，AB是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且AOB=（

8、为锐角）.点 C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M.（1）求OA AB （结果用表示）；（2）若60=求CA CB 的取值范围：设(01)OMtOBt=，记()COMBMASf tS=，求函数()f t的值域.19.如图所示，ABC为等边三角形，4 3AB=，I为ABC的内心，点P在以I为圆心，1为半径的圆上运动.（1）求出()()()222PAPBPC+的值.（2）求PA PB 的范围.（3）若()0,xPAyPBz Cx y zP+=R ，当xy最大时，求zxy+的值.的#QQABBYyAoggIABJAAAhCUwVoCkOQkBECCIoGxFAEsAAACQFABCA=#第1

9、页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 重庆南开中学校高重庆南开中学校高 2026 级数学测试级数学测试 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1a=，6A=，1sin4B=，则b=（）A.36 B.12 C.2 D.2 3【答案】B【解析】【分析】直接利用正弦定理，结合题中所给的条件，求得结果.【详解】根据正弦定理可得sinsinabAB=，即11124b=，解得12b=，故

10、选：B.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有利用正弦定理解三角形，属于基础题目.2.已知向量13(,)22BA=,3 1(,),22BC=则ABC=A.30 B.45 C.60 D.120【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题意，得133132222cos1 12BA BCABCBA BC +=，所以30ABC=，故选 A【考点】向量的夹角公式【思维拓展】（1）平面向量a与b的数量积为|cosa ba b，其中是a与b的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180；（2）由向量的数量积的性质知|=?aa a，0abab，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂

11、直等有关的问题#QQABBYyAoggIABJAAAhCUwVoCkOQkBECCIoGxFAEsAAACQFABCA=#第2页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 3.下列各式中不能化简为PQ 的是（）A.()ABPABQ+B.PAABBQ+C.QCQPCQ+D.()()ABPCBAQC+【答案】B【解析】【分析】根据平面向量加、减运算法则及运算律计算可得.【详解】对于 A：()ABPABQPAABBQPQ+=+=，故 A不合题意；对于 B：PAABBQPBBQ+=，故 B满足题意；对于 C：QCQPCQQCCQPQPQ+=，故 C不合题意；对于 D：()()ABPCBAQCBAABPCC

12、QPQ+=+=，故 D 不合题意.故选：B 4.已知单位向量a，b满足0a b=，若向量72cab=+，则sin,a c（）A.73 B.23 C.79 D.29【答案】B【解析】【分析】计算出7a c=，及c，从而利用向量余弦夹角公式计算得到7cos,3a c=，再利用同角三角函数平方关系求出sin,a c.【详解】因为a，b是单位向量，所以1ab=，又因为0a b=，72cab=+，所以()2227272 1423cabaa bb=+=+=，()272727a caabaa b=+=+=，#QQABBYyAoggIABJAAAhCUwVoCkOQkBECCIoGxFAEsAAACQFABC

13、A=#第3页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 所以7cos,3a ca cac=，因为,0,a c ，所以272sin,133a c=故选：B 5.若平面向量a，b满足2aba b=，则对于任意实数，()1ab+的最小值是（）A.3 B.32 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】设向量,a b 夹角为，设()ab+与(1)ab+的夹角为，利用1cos2aba b=和()(1)46ababa b+=+=，得到(1)cos6abab+=，进而得到()1+ab的最小值【详解】由题意得，设向量,a b 夹角为，则1cos2aba b=，()(1)46ababa b+=+=，设()ab+与(1

14、)ab+的夹角为，(1)cos6abab+=，222212ababa b+=+=，(1)cos3ab+=，0,2，(1)3ab+故选：A【点睛】关键点睛：解题关键在于利用1cos2aba b=，得到()(1)46ababa b+=+=，关键点在于根据()ab+与(1)ab+的夹角，得出()1+ab的最小值，难度属于中档题#QQABBYyAoggIABJAAAhCUwVoCkOQkBECCIoGxFAEsAAACQFABCA=#第4页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 6.如图，在平行四边形 ABCD 中，12DEEC=，F 为 BC 的中点，G 为 EF 上的一点，且79AGABmAD=+

15、，则实数 m 的值为 A.23 B.13 C.13 D.23【答案】A【解析】【分析】可根据条件得出11,32DEAB BFAD=，并可设(1)AGAEAF=+，然后根据向量加法的几何意义和向量的数乘运算即可得出21(1)()322AGABAD=+，从而根据平面向量基本定理即可得出27139122m=+，解出m即可【详解】解：12DEEC=，F 为 BC 的中点，1,3DEAB=12BFAD=，设(1)AGAEAF=+()(1)()ADDEABBF=+11(1)32ADABABAD=+211322ABAD=+，又79AGABmAD=+，#QQABBYyAoggIABJAAAhCUwVoCkOQ

16、kBECCIoGxFAEsAAACQFABCA=#第5页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 27139122m=+，解得23m=.故选：A.【点睛】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于中档题 7.ABC所在平面内一点P满足22sincosCPCACB=+，若2PABP=，则cos2=（）A.23 B.23 C.13 D.13【答案】C【解析】【分析】根据平面向量基本定理，用,CA CB 作为基底表示出CP.即可求得22sin,cos，由余弦二倍角公式即可求得cos2.【详解】ABC所在平面内一点P，2PABP=所以CPCBBP=+13C

17、BBA=+()13CBCACB=+2133CBCA+=因为22sincosCPCACB=+所以2212sin,cos33=由余弦二倍角公式可得cos2=22211cossin333=故选：C【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用，用基底表示向量形式，余弦二倍角公式的简单应用，属于基础题.8.已知函数()22sin cos4cos1f xxxx=+，若实数 a、b、c使得()()3af xbf xc+=对任意的实数x恒成立，则2cosabc+的值为（）#QQABBYyAoggIABJAAAhCUwVoCkOQkBECCIoGxFAEsAAACQFABCA=#第6页/共20页 学科网（北京）股份

18、有限公司 A.12 B.32 C.2 D.52【答案】B【解析】【分析】设()()5sin 21f xx=+，得到()()5sin 221f xcxc+=+，根据题意转化为()()()()5cos2sin 25 sin2 cos 230abcxbcxab+=，由此得出方程组cos20sin2030abcbcab=，分0b=和sin20c=，两种情况讨论，即可求解.【详解】设()()22sin cos4cos1sin22cos215sin 21f xxxxxxx=+=+=+，可得()()5sin 221f xcxc+=+，其中02，1b，D错.故选：ACD.10.若直线()00 xkyk+=与函

19、数()()()221 1 2sin21xxxf x=+图象交于不同的两点A，B，已知点()9,3C，O为坐标原点，点(),D m n满足DADBCD+=，则下列结论正确的是（）A.()()11f xfx+=B.3COOD=C.3nm=D.80CA CBDA DB=【答案】CD【解析】【分析】首先判断()f x的奇偶性，即可判断 A，从而得到A、B两点关于原点对称，再根据平面向量的坐标运算求出m、n，即可判断 B、C，设()00,A xy()00 x，则()00,Bxy，根据数量积的坐标运算判断D.【详解】对 A，因为()()()()221 1 2sin21 cos22121xxxxxxf x=

20、+定义域为R，#QQABBYyAoggIABJAAAhCUwVoCkOQkBECCIoGxFAEsAAACQFABCA=#第8页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 则()()()1121 cos 22121xxxf x+=+，()()()()()()111121 cos2221 cos 22112121xxxxxxfxfx+=+，故 A错误；对 B，由()()110f xfx+=，所以()()0f xfx+=，所以()f x为奇函数，又直线()00 xkyk+=与函数()f x图象交于不同的两点A，B，则A、B两点关于原点对称，且A、B的中点为坐标原点O，所以()22,2DADBDOmn+

21、=，又()9,3CDmn=，DADBCD+=，所以2923mmnn=，解得31mn=，所以()3,1D，则()3,1OD=，又()9,3CO=，所以3COOD=，故 B错误；对 C，又133nm=，故 C正确；对 D，不妨设()00,A xy()00 x，则()00,Bxy，所以()009,3CAxy=，()009,3CBxy=，()003,1DAxy=，()003,1CBxy=，所以CA CBDA DB ()()()()()()()()0000000099333311xxyyxxyy=+222200008199180 xyxy=+=，故 D正确.故选：CD 11.已知()()20f xaxb

22、xc a=+，且方程()f xx=无实数根，下列命题正确的是（）A.方程()ff xx=也一定没有实数根 B.若0a，则不等式()ff xx对一切实数都成立 C.若a成立 D.若0abc+=，则不等式()ff xx或()(0)f xx a或()()ff xf xx 或()(0)f xx a或()()ff xf xx，则不等式()()ff xf xx 对一切实数x都成立，故 B 正确；若a0，则不等式()ff xx，故 C错误；若0abc+=，则()101f=，可得a0，因此不等式()ff xx对一切实数都成立，故 D 正确；故选：ABD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3小题，每小题小题

23、，每小题 5 分，共分，共 15 分分.12.已知向量a，b满足4a=，()1,2b=，a与b的夹角为3，则a在b上的投影向量为_（用坐标表示）【答案】2 5 4 5,55【解析】【分析】直接利用向量在向量上的投影向量的定义求解.【详解】向量a在向量b上的投影向量是()12 52 5 4 5cos41,2,325555bbab=，故答案为：2 5 4 5,55.13.如图，在ABC和AEF中，B是EF的中点，2ABEF=，3CACB=，若7AB AEAC AF+=，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于_.#QQABBYyAoggIABJAAAhCUwVoCkOQkBECCIoGxFAEsAAAC

24、QFABCA=#第10页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】13【解析】【分析】由题设得27ABABACBEABC BFA+=+，由ACABBC=求AC AB ，又()AB BEABBF=，即可得112EF BC=，进而求EF 与BC 的夹角的余弦值.【详解】由图知：AEABBE=+，AFABBF=+，2()()7AB AEAC AFABABBEABBACAFBEABBBAFBACAC+=+=+=，又2222()29ACABACAC ABABBC=+=，且3CA=，2AB=，2AC AB=，1ABAFCBEB=+，而()AB BEABBF=，即1()12BFACABEF BC=，又

25、2EF=，3CB=1cos,3EF BC=.故答案为：13.【点睛】关键点点睛：根据几何图形，结合向量加减法的几何应用及数量积的运算律，得到1()12BEBFBFACABABAECF BC=+，进而求向量夹角余弦值.14.已知平面向量1e，2e，3e，p，满足1231eee=，120ee=，1p，则()()12pepe+()()()()2331pepepepe+的最大值为_.【答案】53 2+#QQABBYyAoggIABJAAAhCUwVoCkOQkBECCIoGxFAEsAAACQFABCA=#第11页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】先将所求向量式转化变形，参变向量分

26、离，再由变形向量式的几何意义判断最值状态，最后坐标运算求解最值.【详解】设()()()()()()122331Mpepepepepepe=+，则()()()()21223311231233Mpeepeepeepe eeeee=+()()212312323132e eeeepeeepe+=+()()22123123123231333e eeeeeeeeepee+=+()()23222212312311231231232333e eeeeeeeeeeeeeeeeep+=+21213132323133e eeeeeeeep+=+设(,)OPpx y=，120e e=，不妨设11(1,0)OEe=，2

27、2(0,1)OEe=，33(cos,sin)OEe=，0,2)，1233eeeOG+=，即G为123E E E的重心.则221233eeepPG+=，点P位于圆上或圆内，故当P在射线GO与圆周交点时，2PG 最大，即()21OG+最大时.()22123312(1 cos,1 sin)sincos311311333e eeeMeOGe+=+21sincos332(cossin)1133+=+由2sincos2+得，212332 21153 233M+=+.当且仅当4=时，M取到最大值53 2+.故答案为：53 2+.#QQABBYyAoggIABJAAAhCUwVoCkOQkBECCIoGxFA

28、EsAAACQFABCA=#第12页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】向量式的最值问题求解，要重视三个方面的分析：一是其本质上与函数的最值求解一致，变形时要搞清参变向量，从而把握变形方向；二是要重视向量本身数形兼具的特点，利用几何意义求解最值；三是坐标应用，向量坐标化将问题转化为函数最值问题求解.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5小题，共小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在OAB中，G为中线OM上一点，且2OGGM=，过点G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q.（1）用向量OA，OB 表示OG；（

29、2）设向量43OAOP=，OBnOQ=，求n的值.【答案】（1）1133OAOB+；（2）53【解析】【分析】（1）根据23OGOM=，结合向量线性运算，再用OA，OB 表达OM 即可；（2）用OP，OQ表达OG，结合,P G Q三点共线即可求得n.【小问 1 详解】G中线OM上一点，且2OGGM=，.的为#QQABBYyAoggIABJAAAhCUwVoCkOQkBECCIoGxFAEsAAACQFABCA=#第13页/共20页 学科网（北京）股份有限公司()22213333OGOMOAAMOAAB=+=+()21113333OAOBOAOAOB=+=+；小问 2 详解】43OAOP=，OB

30、nOQ=，1133OGOAOB=+，111443333393nnOGOAOBOPOQOPOQ=+=+=+，又G，P，Q三点共线，4193n+=，解得53n=，故n的值为53.16.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B，C满足1233OCOAOB=+.（1）求ACCB 的值；（2）已知(1,cos)Ax，(1cos,cos)Bxx+，,03x，若函数2()(2)3f xOA OCmAB=+最大值为 3，求实数m的值.【答案】（1）2；（2）12.【解析】【分析】(1)化简得2BCCA=，即得ACCB 的值；（2）先求出2()cos2cos1f xxmx=+，再换元利用二次函数的图像和性质求

31、实数m的值.【详解】（1）由题意知，32OCOAOB=+，即2()OCOBOAOC=，所以2BCCA=，即2ACCB =.（2）易知(1,cos)OAx=，(1cos,cos)OBxx=+，(cos,0)ABx=，则2(1cos,cos)3OCxx=+，cosABx=，所以2()cos2cos1f xxmx=+，令costx=，则2()21g ttmt=+，1,12t，其对称轴方程是tm=.当34m 时，()g t的最大值为(1)1213gm=+=，解得12m=；【的#QQABBYyAoggIABJAAAhCUwVoCkOQkBECCIoGxFAEsAAACQFABCA=#第14页/共20页

32、学科网（北京）股份有限公司 当34m 时，()g t的最大值为11()1324gm=+=，解得74m=（舍去）.综上可知，实数m的值为12.【点睛】本题主要考查向量的线性运算和平面向量的数量积，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17.如图，在等腰梯形ABCD中，/AD BC，2AD=，60ABC=，E是AD的中点.（1）记BDm=，BAn=且228mn=，求m，n值；（2）记()12BCAD=，F是线段CD上一动点，且CDCF=，求22BE BF 的取值范围.【答案】（1）2n=，2 3m=（2）12 65,2【解析】【分析】（1）由BDBAAD=+

33、，将两边平方，结合数量积的运算律及定义得到方程，解得即可；（2）建立平面直角坐标系，利用坐标法表示出数量积，再根据对勾函数的性质计算可得.【小问 1 详解】依题意BDBAAD=+，所以()22222BDBAADBABA ADAD=+=+，即2222cos60BDBABAADAD=+，即2224mnn=+，又228mn=，解得2n=，2 3m=（负值舍去）；【小问 2 详解】#QQABBYyAoggIABJAAAhCUwVoCkOQkBECCIoGxFAEsAAACQFABCA=#第15页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 过点A作AOBC，如图建立平面直角坐标系，因为()12BCAD=，2

34、AD=，所以()1,0B，()1,0C+，()()0,31A，()()1,31E，()()2,31D，所以()(),31BE=，()()1,31CD=，()2,0BC=，因为CDCF=，所以1CFCD=所以()()()231311122,0,BFBCCF+=+=+=，所以()2222311222BE BF+=+()2313125=+=+，令()32f xxx=+，()1,2x，设()12,1,2x x 且12xx，则()()()121212121212233322x xf xf xxxxxxxx x=+=，当126,1,2x x时，12312x x，则12230 x x，又120 xx；当12

35、6,22x x时，12342x x，又120 xx，所以()()120f xf x；#QQABBYyAoggIABJAAAhCUwVoCkOQkBECCIoGxFAEsAAACQFABCA=#第16页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 所以()f x在61,2上单调递减，在6,22上单调递增，又()15f=，()1122f=，62 62f=，且112 652，所以()112 6,2f x，所以31252 65,2+，即22BE BF 的取值范围为12 65,2.18.如图，AB是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且AOB=（为锐角）.点 C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M.（1）

36、求OA AB （结果用表示）；（2）若60=求CA CB 的取值范围：设(01)OMtOBt=，记()COMBMASf tS=，求函数()f t的值域.【答案】（1）22sin2OA AB=（2）0,3；()0,2【解析】【分析】（1）根据数量积的定义以及几何意义结合图形分析运算；（2）根据数量积结合三角函数运算求解；结合图形分析可得=COMBMASOM CMSMB AM，根据向量的相关知识运算整理，再结合函数单调性与最值，运算求解.#QQABBYyAoggIABJAAAhCUwVoCkOQkBECCIoGxFAEsAAACQFABCA=#第17页/共20页 学科网（北京）股份有限公司【小问

37、1 详解】2()1cos12sin2OA ABOA OBOAOA OB=【小问 2 详解】()()2=+CA CBOAOCOBOCOA OBOA OCOC OBOC.设BOC=.由题意得20,3，则2c1,=oscos,3,12+=OA OBOA OCOC OBOC 所以3313coscoscossincos23222=+=+CA CB 3333313cossin3cossin3cos.22222226=+=+因为20,3，则 5,666+所以33cos,622+，则0,3CA CB ；（2）设(01)AMAC=，则()1OMOAAMOAACOAOCtOB=+=+=+=，所以1tOCOBOA=

38、，由1OC=得11tOBOA=，即221121OAttOB+=，整理得212ttt+=，所以22111CMtAMtt=+，所以22221111COMBMAOMCMSttttStttttMBAM+=+.即()()2222221(01),1111tttttf ttf ttttttt+=+.#QQABBYyAoggIABJAAAhCUwVoCkOQkBECCIoGxFAEsAAACQFABCA=#第18页/共20页 学科网（北京）股份有限公司()22421(11),11,311122aataag aaaa=+=+令()12,1,1 a a，令12aaaaa a，则()()120g ag a，即()(

39、)12g ag a()2413=+ag aa在()1,1上单调递增，则()()0,2g a 所以函数()22(01)1ttf tttt+=+值域是()0,2.19.如图所示，ABC为等边三角形，4 3AB=，I为ABC的内心，点P在以I为圆心，1为半径的圆上运动.（1）求出()()()222PAPBPC+的值.（2）求PA PB 的范围.（3）若()0,xPAyPBz Cx y zP+=R ，当xy最大时，求zxy+的值.【答案】（1）51 （2）11,3 （3）35【解析】【分析】（1）以I为原点，IA为y轴建立平面直角坐标系如图所示，依题意点P在圆221xy+=上，设()cos,sinP，

40、即可表示PA，PB，PC，根据平面向量模的坐标表示及同角三角函数的基本关系计算#QQABBYyAoggIABJAAAhCUwVoCkOQkBECCIoGxFAEsAAACQFABCA=#第19页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 可得；（2）由（1）知4sin73PA PB=，根据正弦函数的性质计算可得；（3）根据平面向量线性运算的坐标表示得到()2 3cos422sinzyxyzxyzxyz=+=+，再根据同角三角函数的基本关系，得到2225556660 xyzxyxzyz+=，又0y，两边同除2y，令xmy=，zny=，将原式化为()225665650nmnmm+=，再根据0 求出m的

41、取值范围，即可得解；【小问 1 详解】以I为原点，IA为y轴建立平面直角坐标系如图所示 由正弦定理得ABC外接圆半径14 342sin60R=，则()0,4A，进而可得()2 3,2B，()2 3,2C 因为点P在以I为圆心，1为半径的圆上运动，故设()cos,sinP，则()cos,4sinPA=，()2 3cos,2sinPB=，()2 3cos,2sinPC=，所以()()()222PAPBPC+()()()()()222222cos4sin2 3cos2sin2 3cos2sin=+()223 cossin4851=+=【小问 2 详解】由（1）知2 3cos2sin74sin73PA

42、 PB=，#QQABBYyAoggIABJAAAhCUwVoCkOQkBECCIoGxFAEsAAACQFABCA=#第20页/共20页 学科网（北京）股份有限公司 又因为sin1,13，所以114sin733 ，即11,3PA PB .【小问 3 详解】因为0 xPAyPBzPC=+()()()()2 3cos,422sinzyxyzxyzxyz=+，所以()2 3cos422sinzyxyzxyzxyz=+=+，代入22sincos1+=整理得2225556660 xyzxyxzyz+=，(),x y zR，显然0y，两边同时除以2y，得222225556660 xzxxzzyyyyy+=，令xmy=，zny=，则225556660mnmmnn+=，即()225665650nmnmm+=，所以()()22664 55650mmm=+，即2310mm+，解得353522m+，所以xy（即m）的最大值为352+此时0=，所以335mn+=，所以335mzy+=，xmy=，所以33355myzxymyy+=+.【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是建立平面直角坐标系，将问题转化为三角函数及不等式问题.#QQABBYyAoggIABJAAAhCUwVoCkOQkBECCIoGxFAEsAAACQFABCA=#